九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）第09讲二次函数的概念与y=ax2(a≠0)的图象和性质（10种题型）（解析版）

第09讲二次函数的概念与y=ax2(a≠0)的图象和性质（10种题型）【知识梳理】一、二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.三、二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.四：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.【考点剖析】题型一．二次函数例1.下列函数是二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A、当a＝0时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；B、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【变式】如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键．【变式2】是关于x的二次函数需要满足的条件是_____________．【答案】且．【解析】，解得且．【总结】本题考察二次函数的概念，二次函数需满足二次项系数不为零．【变式3】二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则_____．【答案】．【解析】，所以，，，代入得．【总结】本题考察二次项系数、一次项系数、常数项的概念，做题的关键是把函数化为 一般式．【变式4】已知二次函数．（1）当时，求函数值；（2）当取何值时，函数值为0？【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）把代入得；（2）把代入得，．【总结】本题一方面考察了函数值求解问题，已知自变量的值代入函数解析式即可，另一方面考察了已知函数值求自变量的值的问题．【变式5】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）是，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2）不是；（3）是，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）不是【解析】形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项．【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．【变式6】已知函数．（1）当m为何值时，这个函数是二次函数？（2）当m为何值时，这个函数是一次函数？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当函数为二次函数时，则时，即．（2）当函数为一次函数时，则，得．【总结】本题考察了二次函数与一次函数的概念．【变式7】．如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为____________．【答案】．【解析】阴影部分的长方形的的长为，宽为，所以面积．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【变式8】某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x()，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析．【答案】【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为，所以5月份的营 收为万元，12月份的营收为万元．【总结】本题是平均增长率的问题，可用公式来解题．【变式9】用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x米，面积为y平方米，求y与x的函数解析式及函数的定义域．【答案】．【解析】设花圃的宽为x米，则长为米，∴面积．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【变式10】三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x厘米，三角形的面积为y平方厘米，试写出y与x之间的函数解析式及定义域．【答案】．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．设厘米，则厘米，∵，∴，三角形面积．【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【变式11】设，与成反比例，与成正比例，则y与x的函数关系是（）A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数【答案】C．【解析】∵与成反比例，∴设，∵与成正比例，∴设，∴，∴y与x的函数关系是二次函数．【总结】本题主要考察反比例、正比例和二次函数的定义，属于基础题．【变式12】已知正方形的周长是C厘米，面积是S平方厘米．（1）求S关于C的函数关系式；（2）当S=1平方厘米，求正方形的边长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正方形的周长是C厘米，所以边长为厘米，所以；（2）当S=1平方厘米，代入得正方形的边长为厘米．题型二：二次函数y=ax2(a≠0)的图象例2.已知二次函数的图像经过点Q（-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【答案】，．图像如图所示：【解析】把Q（-1，-2）代入得，解析式为．【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式及二次函数图像画法．【变式】二次函数的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【答案】抛物线；轴；；向下．【解析】图像为抛物线，顶点坐标为；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下【总结】本题考察二次函数的性质．题型三：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值例3.抛物线与的形状相同，则a的值为______．【答案】．【解析】∵抛物线与的形状相同，∴，得．【总结】本题考察二次函数的性质．【变式1】已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？【答案】时，图像开口向上；时，图像开口向下．【解析】当，即，抛物线图像开口向上；当，即，抛物线图像开口向下．【总结】本题考察二次函数的开口方向与二次项系数a的关系．【变式2】已知二次函数的图像开口向下，求m的值．【答案】．【解析】由题意得，得．【总结】本题考察了二次函数的概念和性质．题型四：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小例4.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是点；对称轴都是轴；不同点：开口大小不同．【解析】（1）略；（2）图像顶点为坐标原点；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质．【变式】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴；不同点：开口方向不同．【解析】（1）略；（2）图像顶点坐标为；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．题型五：一题多解法——比较函数值的大小例5.函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【答案】＜.【解析】解法一：将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：，∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，，∴解法二：画函数y＝x2的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x＜0)时，y随x的增大而减小，又∵，a＜b，即a-b＜0．【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数形结合的思想．题型六：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式例6.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？xxyABCDO【答案】（1）；（2）5小时．【解析】（1）设抛物线解析式为（），如图，设，则，把、代入得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）由（1）知，∴（小时）【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．【变式】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．【答案】．【解析】∵为二次函数，∴，解得，， 又∵，∴，可得，∴二次函数为．∵要求的抛物线与开口方向相反，形状相同，∴要求的这个二次函数的解析式为．【总结】本题考查二次函数的概念及性质．题型七：双图像问题例7.函数与的图像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．【答案】D．【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．题型八：二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数综合问题例8.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．【答案】；抛物线不经过点．【解析】把3和-2分别代入得、，把代入得，∴抛物线的表达式为；把代入得，与B点纵坐标不同，∴抛物线不经过点B．【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式．【变式】.物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．【答案】（1），；（2），顶点坐标为，对称轴为轴；（3）当时，二次函数的值随的增大而增大．【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交点坐标为．把代入得，∴；（2）由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴；（3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而增大．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．题型九：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换例9.若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线（）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【答案】；；是．【解析】若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为；若抛物线（）沿着x轴翻折，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为．【总结】本题主要考察了二次函数图像与几何变换．题型十：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论例10.如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．AABOxy【答案】，．【解析】把横坐标-1，2分别代入（）得、，∴，，，当时，，即，解得，（舍）；当时，，即，解得，（舍）；当时，，，此方程无解，综上，当为直角三角形，a的值为1或．【总结】本题主要考察直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海九年级一模）下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】形如：这样的函数，则是的二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：，当时，不是的二次函数，故错误；，不是的二次函数，故错误；，不是的二次函数，故错误；，符合是的二次函数的定义，故正确；故选：【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．2．（2020·上海九年级月考）下列函数中，关于的二次函数是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：，当时，不是的二次函数，故错误；，不是的二次函数，故错误；，即，是的二次函数，故正确；，即，不是的二次函数，故错误；故选：【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．3．（2020·上海九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】将函数表达式进行整理，使其右边含自变量的代数式，左边为因变量，右边为整式，且自变量最高次数为2的函数为二次函数，逐个判断即可.【详解】解：A、是一次函数，故A选项错误；B、右边不是整式，不是二次函数，故B选项错误；C、右边是整式，自变量最高次数是2，是二次函数，故C选项正确；D、整理为是一次函数，故D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的定义，是二次函数，注意含自变量的代数式是整式.4．（2021·上海九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．【详解】A、中含有分式，故不是二次函数；B、=2x-1，不符合定义，故不是二次函数；C、符合定义，故是二次函数；D、中a不确定不等于0，故不是二次函数；故选：C．【点睛】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．5．（2021·上海九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0），a，b，c是常数的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c为常数项，x为自变量，y为因变量，据此解题．【详解】A．右边不是整式，不是二次函数，故A错误；B．

右边是二次根式，不是整式，不是二次函数，故B错误；C．是二次函数，故C正确；D．是一次函数，故D错误，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·上海九年级一模）下列各点在抛物线上的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线的解析式中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．【详解】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上．

B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上．

C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上．D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列关于抛物线和的关系的说法中，错误的是（）A．它们有共同的顶点和对称轴B．它们都是关于y轴对称C．它们的形状相同，开口方向相反D．点A（-2，4）在这抛物线上，也在抛物线的图像上．【答案】D【分析】根据抛物线的性质直接回答即可．【详解】解：抛物线和的性质可知，二次项系数的绝对值相等，所以开口方向相反，并且都关于轴对称，顶点都为原点，但是点A（-2，4）在这抛物线上，但不在抛物线的图像上，综上所述，A，B，C选项都正确，只有D错误，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如的抛物线的性质．8．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）函数y=ax2（a≠0）的图象与a的符号有关的是（

）A．对称轴 B．顶点坐标 C．开口方向 D．开口大小【答案】C【解析】解：二次函数图象中a的符号决定了抛物线的开口方向，故选C．二、填空题9．（2021·上海九年级一模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为____．【答案】【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．【详解】原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），边长增加x厘米后边长变为：x＋2，则面积为：（x＋2）2平方厘米，∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x．故答案为：y＝x2＋4x．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积．10．（2020·上海九年级一模）如果函数是二次函数，那么m＝_____．【答案】2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【详解】解：∵函数是二次函数，∴m2﹣m＝2，即（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.11．（2020·上海九年级月考）如果函数是关于的二次函数，则__________．【答案】0【分析】根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．【详解】∵函数是关于的二次函数，

∴且，解方程得：或(舍去)，

∴．

故答案为：0．【点睛】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数．12．（2021·上海九年级一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是________．【答案】【分析】根据二次函数有最高点，得出抛物线开口向下，即k+1＜0，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，∴k+1＜0，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．13．（2021·上海九年级专题练习）抛物线开口向上，则的取值范围是____________．【答案】m＞1【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由题意可知：m-1＞0，

∴m＞1；

故答案为：m＞1【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．14．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）抛物线在y轴的左侧部分是________的．（填“上升”或“下降”）【答案】下降【分析】根据的图象即可求解．【详解】∵a<0，开口向上∴抛物线在y轴的左侧部分是下降．故答案为下降．【点睛】此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知的图象特点．15．（2021·上海九年级专题练习）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是_____．【答案】a＞﹣1．【分析】利用二次函数的性质得到1+a＞0，然后解关于a的不等式即可．【详解】解：∵抛物线y＝（1+a）