1.1.5平面直角坐标系中的距离公式（10大题型提分练）

1.1.5平面直角坐标系中的距离公式题型一两点间的距离公式1．（2324高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为.【答案】10【分析】根据题意，由两点间距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】，，则两点间的距离为：.故答案为：10.2．（2324高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则【答案】10【分析】先确定和，由于两直线垂直，所以.【详解】由题意可得：，则，由，则，当时，两直线垂直，当时，两直线斜率之积等于，∴直线和直线垂直，则.故答案为：103．（2021高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为；的面积为.【答案】直角三角形5【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可.【详解】因为，，，所以，即是以A为直角顶点的直角三角形．由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以.故答案为：直角三角形；4．（2324高二上·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设所求点的坐标为，然后根据题意列方程组可求得结果.【详解】设所求点的坐标为，则，且，两式联立解得或，所以所求点的坐标为或故选：BC题型二：两点间的距离求函数最值1．（2324高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.【详解】，表示平面上点与点，的距离和，连接，与轴交于，此时直线方程为，令，则的最小值为，此时故选：C．2．（2324高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．【答案】B【分析】先将问题转化为动点到定点距离的和，再利用数形结合求解即可．【详解】解：设，则表示：，，则直线的方程为，令，则，所以直线与轴相交于点，所以，所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9.故选：B.

3．（2324高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】设，换元后所求式子为，转化为求动点与两定点距离和的最小值即可得解.【详解】设，则，所以x's'w'w'c'w'd'd'd'd'd'd'd'd'd'd'd'd'd078sc，而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，

由图可知当运动到时，最小，最小值为，所以的最小值为.故选：D4．（2324高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线.则的最大值为.【答案】【分析】根据，求出，先计算出，从而得到，得到答案.【详解】因为，所以，，两边平方得，即，解得，故，则，的最大值为.故答案为：题型三点到直线的距离公式辨析1．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可.【详解】原点到直线间的距离是：.故选：A2．（2324高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解.【详解】根据题意，，所以直线的方程为，即，点到直线的距离为.故选：C.3．（2324高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标.【详解】设曲线：上的点的坐标为，，则点到直线的距离，当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为.故选：B.4．（2324高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为.【答案】【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可.【详解】直线可化为，令，解得，于是此直线恒过点.由点到直线的距离公式得到直线的距离.故答案为：题型四点到直线的公式的应用1．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.【详解】直线l：，整理得，由，可得，故直线恒过点，点到的距离，故；直线l：的斜率，故，解得故选：B.2．（2122高一上·浙江·阶段练习）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得出动点在与平行且与的距离为2的直线上，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值.【详解】设中的边上的高为，因为，，所以，所以，所以动点在与平行且与的距离为2的直线上，如图所示：作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，在中，因为，，所以，即的最小值为：.故选：B.3．（多选）（2324高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（

）A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为【答案】BC【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D.【详解】对于A：因为直线：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误；对于B：令，则；令，则；所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B正确；对于C：点到直线的距离为，故C正确；对于D：设在直线关于轴对称的直线上，则关于轴对称的点在直线上，则有，即，所以直线关于轴对称的直线方程为，故D错误；故选：BC.4．（2324高二上·四川内江·期中）已知直线l：.(1)求原点到直线l的距离的最大值；(2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出直线l经过的定点，结合图形以及两点的距离公式，即可得出答案；（2）先求出的坐标，表示出.然后根据基本不等式，即可得出最小时，的值，代入方程，即可得出答案.【详解】（1）直线l：可化为.解可得，，所以直线l过定点.如图，过点作，垂足为，连接易知，当时，原点到直线l的距离取得最大值.（2）易知令，由可得，.令，由可得，.且，所以，所以，.因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，直线l的方程，即.题型五点到直线的距离公式求直线1．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可．【详解】因为点到直线的距离相等，所以，即，化简得，解得或.故选：C.2．（2324高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（

）A．1 B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解.【详解】若，在直线的同侧，则，解得．若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得．故选：C3．（多选）（2324高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据点到直线的距离相等，可得过的中点，或的斜率与的斜率相等，进而两种情况进行判断.【详解】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等，又的中点为，则过点的直线为AD选项；又的斜率为，则B选项符合条件.故选：ABD4．（多选）（2324高三上·安徽·阶段练习）已知直线经过点，且一个法向量为，若点，到的距离相等，则实数的可能值为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分直线和直线与直线相交两种情况求解即可．【详解】由直线经过点，且一个法向量为，可得，当直线时，则，即；当直线与直线相交时，则，在直线的两侧，则，解得或．故选：AC．题型六点到直线的距离公式中的对称问题1．（2324高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可.【详解】设所求对称点的坐标为，则，解得，故点关于直线对称的点的坐标为.故选：D.2．（2324高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程．【详解】设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以反射光线所在直线方程为，即．故选：B．3．（2223高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为．【答案】【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案.【详解】因为、，所以的中点为，因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上，所以，即，故答案为：4．（2223高二下·安徽安庆·开学考试）已知直线与交点为P，直线．(1)求过点P且倾斜角为的直线方程；(2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值【答案】(1)(2)【分析】（1）先联立直线和的方程求得交点的坐标，再由直线的点斜式方程，即可求解；（2）设点P的对称点，结合点关于直线对称的条件得到，即可求解.【详解】（1）联立直线和得：，解得，所以，又过点P的直线的倾斜角为，则过点P的直线的斜率由点斜式得，即过点的直线方程为；（2）由（1）知，由题意设点P的对称点，则有，消去m，得．解得，故实数k的值为.题型七两条平行直线之间的距离1．（2324高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】利用平行线间距离公式计算即得.【详解】平行直线和之间的距离.故选：A2．（2324高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（

）A． B． C．12 D．14【答案】BD【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解.【详解】将直线化为，则，之间的距离，即，解得或．故选：BD．3．（2324高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为．【答案】2或【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】由题意可得，解得或，故答案为：2或4．（2223高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是.【答案】【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解.【详解】由直线与直线互相平行，得，则直线与直线的距离为：.故答案为：题型八由两条平行直线之间的距离求直线

1．（2324高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案.【详解】设所求的直线方程为，由题意得，解得或，所以所求直线方程为或.故选：B2．（多选）（2324高二上·广东·期末）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】设出直线方程，根据两平行线间距离公式得到方程，求出答案.【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或，故所求直线的方程为或.故选：BC3．（多选）（2324高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（

）A．3 B．9 C．12 D．15【答案】BC【分析】根据平行关系求出，两平行线间的距离求出可得答案.【详解】由题意知，解得，所以：，又：，即，所以，解得或，所以或．故选：BC．4．（2122高一上·陕西宝鸡·期末）已知直线过点.(1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据直线上的两点求出斜率，即可得出答案；（2）设出直线的方程，代入点的坐标，求出方程.根据两条平行直线之间的距离公式，列出方程，即可得出答案.【详解】（1）由条件可知，直线过点和，所以直线的斜率所以所求直线的方程为，即（2）设所求的直线的方程为则有，得，即直线的方程为∵与直线间的距离为，∴，整理可得.又，∴题型九平行直线中的对称问题1．（2324高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.故选：A.【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【答案】.【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：3．（多选）（2324高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线l：，则下述正确的是（

）A．直线l始终过第二象限B．时，直线l的倾斜角为C．时，直线l关于原点对称的直线方程为D．点到直线l的最大距离为【答案】AD【分析】直线恒过定点，可判断A选项；时，直线，斜率为1，所以倾斜角为，可判断B选项；时，直线关于原点的对称直线为，即，可判断C选项；由图分析得，当直线与点和的连线垂直时，点到直线的距离最大，可判断D.【详解】直线，可变形为，当时，，解得，所以直线恒过定点，故A正确；当时，直线，斜率为1，所以倾斜角为，故B错误；当时，直线关于原点的对称直线为，即，故C错误；

如图，由图分析得，当直线与点和的连线垂直时，点到直线的距离最大，最大值为，故D正确.

故选：AD.4．（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．【答案】【小题1】【小题2】【小题3】【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解.（2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程.（3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可.【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为，则有题意可得，解得，故点关于直线的对称点的坐标为．（2）由可得，直线与直线的交点为，再在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，则由解得，即．由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为，则直线方程为，化简为．（3）在直线上任意取出两个点，求出这两个点关于点对称点分别为由题意可得，是所求直线上的两个点，则直线斜率为3，则所求直线方程为，即．题型十距离公式的应用1．（多选）（2324高二上·重庆长寿·阶段练习）对于直线系，，下列说法正确的有（

）A．存在定点与中的所有直线距离相等B．中不存在两条互相平行的直线C．中存在两条互相垂直的直线D．存在定点不在中的任意一条直线上【答案】ACD【分析】应用点线距离公式知，点到M的距离且该点不在M上，可判断A、D的正误；利用特殊值法可判断B、C的正误.【详解】A：由M的方程知：点到M的距离为，故正确；B：当有，当有，即存在平行的直线，故错误；C：当有，当有，即存在垂直的直线，故正确；D：显然存在，有，即不在中的任意一条直线上，故正确；故选：ACD.2．（2324高二上·浙江绍兴·期末）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.(1)若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?(2)若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.【答案】(1)(2)120【分析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，根据点到直线的距离公式可得；（2）先求补水点的坐标，根据直线过该点，结合所求，根据基本不等式可得.【详解】（1）根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，当时，则轮船返港的直线为，因为没有触礁危险，所以原点到的距离，解得.（2）根据题意可得，，点C在直线上，故点C，设轮船返港的直线是，则，所以.当且仅当时取到最小值.3．（2324高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为.【答案】【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为结合三角形三边关系即可求解.【详解】如图所示，

设点关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点.故答案为：.4．（2324高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为.【答案】/【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可.【详解】设：，圆心为，半径为点关于的对称点为则，解得，即则“将军饮马”的最短总路程为.故答案为：1．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（

）A． B．C．或 D．或.【答案】C【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.【详解】因为点为轴上一点，可设点，又因为点到直线的距离等于1，可得，整理得，即，解得或，所以点的坐标为或.故选：C.2．已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的模的几何意义作出图形，将求复数的模的最值转化为求两点之间距离的最值问题解决即可.【详解】如图，由复数的模的几何意义可知，满足的点的轨迹是以点为圆心，半径分别为1和2的两个圆组成的圆环内的区域（含内外圆弧）.而可理解为圆环区域内的点（含内外圆弧）到点的距离.由点与圆的位置关系可知，当且仅当点在线段的延长线与大圆的交点处时，距离取得最大，为，即的最大值为.故选：A.3．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可．【详解】因为点到直线的距离相等，所以，即，化简得，解得或.故选：C.4．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（

）A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点【答案】A【分析】由点到直线的距离公式再结合题意可得.【详解】设动点，曲线是平面内到两定点，距离之比等于常数，所以，显然也满足方程，故曲线关于轴对称，不关于轴、原点对称，且不过原点.故选：A.5．平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解.【详解】因为，所以，，解得，所以，故两平行直线间的距离．故选：C．6．已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是C．点到直线的距离是 D．若直线：，则【答案】B【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；点到直线的距离判断C；利用直线的斜率乘积判断D.【详解】对于A，直线，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以A错误；对于B，过与直线平行的直线方程是，即，故B正确；对于C，点到直线的距离是，所以C错误；对于D，直线：的斜率为，故，故D错误.故选：B．7．如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过O作于C，过N作于D，根据等面积求出，运用在直角三角形等知识求出结果.【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D，因为N在直线上且在第二象限内，设，则，又，即，所以，在中，由三角形的面积公式得：，所以，在中，，所以，即，在中，，即，解得：，因为N在第二象限内，所以，所，所以，故选：A.8．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.【详解】如图，设点关于直线的对称点为，则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．故，故选：B9．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：动点分别在直线与上移动，又线段的中点为，，在直线上运动，到直线的距离．到坐标原点的距离大于等于．故选：CD．10．（多选）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则两条平行直线之间的距离为C．若，则D．若，则直线一定相交【答案】ACD【分析】A选项，根据平行关系得到方程，得到，检验后A正确；B选项，根据平行线间距离公式求出B错误；C选项，根据垂直关系得到方程，求出答案；D选项，由A选项可知D正确.【详解】对于，两条直线的方程分别为与，当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确；对于，若，则，所以平行线间的距离，故错误；对于，当，则，解得，故正确；对于D，由选项A得：当，则直线一定相交，故D正确.故选：ACD.11．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】设出动点、的中点坐标，然后求出中点的轨迹方程，再求出原点到该直线的距离可得答案.【详解】令、分别在直线：与：上，设AB的中点M的坐标为，则有：，两式相加得：，所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能.故选：CD12．（多选）以下四个命题表述正确的是（

）A．直线的距离为B．已知直线过点，且在x，y轴上截距相等，则直线的方程为C．“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件D．过两点的直线方程为【答案】AC【分析】利用平行线间的距离公式可得A正确；若截距