2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）专题01 三角形（原卷版）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

专题01三角形思维导图核心考点聚焦1、三角形的三边关系的计算问题2、有关三角形高、角平分线的计算3、根据三角形的中线求长度问题（分类讨论）4、利用三角形的中线求面积5、三角形内角和的证明问题6、与平行线有关的三角形内角和问题7、三角形折叠角度问题8、有关三角形外角的计算问题9、多边形的内角与外角10、复杂图形的内角和问题11、三角形中的内角、外角平分线问题12、三角形中的几何模型一、三角形的分类1．定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.2．三角形的分类（1）按角分类：从角的方面判断一个三角形的形状的方法：①若最大内角为锐角，则该三角形是锐角三角形；②若最大内角为直角，则该三角形是直角三角形；③若最大内角为钝角，则该三角形是钝角三角形．（2）按边分类：二、三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为，，则第三边长的取值范围是．三、三角形的高、中线和角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．注意：①三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；②中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；四、三角形的稳定性1．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就不会改变了，这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中有很多用处．例如，桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构，就是这个道理．2．四边形没有稳定性.五、三角形的内角和定理1．三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为的方法：添加平行线：3．三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．六、直角三角形直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形．常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形．七、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：①已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个；②可证一个角等于另两个角的和；③经常利用它证明两个角相等．八、多边形的对角线多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线能使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形．①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．边形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．九、多边形的内角和1．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2．n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．3．正多边形的每个内角都相等，都等于．十、多边形的外角和1．多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关．2．正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于．三角形中内角、外角平分线的夹角问题（1）如图所示，在△中，分别是和的平分线，则．（2）如图所示，△的外角平分线和相交于点D，则．（3）如图所示，△的内角平分线和外角平分线相交于点D，则．考点剖析考点一、三角形的三边关系的计算问题例1．已知△的三边长分别为，，．(1)化简式子________．(2)若，，．①的取值范围是________；②当△为等腰三角形时，求，，的值．考点二、有关三角形高、角平分线的计算例2．在△中，，平分，F为射线上一点（不与点E重合），且于点D．(1)如图1，若点F与点A重合，且，，求的度数；(2)如图2，若点F在线段上（不与点A重合），求证：；(3)如图3，若点F在△外部，探究此时，，之间的数量关系，并说明理由．考点三、根据三角形的中线求长度问题（分类讨论）例3．如图，在△中，，中线将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长．

考点四、利用三角形的中线求面积例4．如图所示，是△的中线，是的中线，是△的中线，是△的中线．(1)与的面积有何关系？请说明理由；(2)若，求的面积．考点五、三角形内角和的证明问题例5．探究三角形的内角和(1)下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于．已知：如图，△．求证：．证明：在上任取一点，过点作，交于点，过点作，交于点．(2)请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理．考点六、与平行线有关的三角形内角和问题例6．如图，，平分，平分，，求的度数．

考点七、三角形折叠角度问题例7．如图，△是一个三角形的纸片，点D，E分别是△边，上的两点．(1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是_________．(2)如图（2），如果沿直线折叠后点A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由．(3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由．考点八、有关三角形外角的计算问题例8．在△中，分别是平分线，相交于点P．(1)如图1，如果，则_________；(2)如图2，如果，不是直角，求的度数．考点九、多边形的内角与外角例9．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的．(1)求这个多边形是几边形；(2)求该多边形的内角和．考点十、复杂图形的内角和问题例10．（1）如图1，这是一个五角星，则_________．（2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．（3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．

考点十一、三角形中的内角、外角平分线问题例11．阅读下面的材料，并解决问题．

(1)已知在△中，，图的△的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1，_________；如图2，_________；如图3，_________；如图4，，的三等分线交于点，，连接，则_________．(2)如图5，△中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．考点十二、三角形中的几何模型例12．已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”．试解答下列问题：(1)在图1中，，，，之间有何数量关系？直接写出结论．(2)如图2，在（1）的结论下，与的平分线和相交于点P，并且与，分别相交于点M，N．与，之间有何数量关系？并说明理由．过关检测一、选择题1．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是（

）A．10 B．11 C．12 D．132.如图，是四边形的外角，若，，则（）

A． B． C． D．3.如图所示，在△中，，将△沿着直线折叠，点落在点的位置．则的度数是（

）

A． B． C． D．4.如图，和分别是△的角平分线和高线．若，，，则用和表示的度数为（

）

A． B． C． D．5.如图，在△中，分别平分交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论：①，②，③，④，正确的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④二、填空题6．等腰三角形的边长分别为4和8，则周长为．7.如图，直线，一块含角的直角三角尺如图放置，，则．

8.如图所示，．

9.如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是△两外角平分线的交点，如果，那么度．10.如图，在△中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序号是．的面积等于的面积；；；．

三、解答题11.一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？这个多边形共有多少条对角线？12.如图，在△中，是高线，、是角平分线，它们相交于点O，，，求与的度数．13.在四边形中，．(1)如图1，若，求出的度数；(2)如图2，若的平分线交于点，且，求出的度数．14.将一块直角三角板放置在锐角△上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点B、C．(1)如图①，若时，点D在△内，则____度，______度，_____度；(2)如图②，改变直角三角板的位置，使点D在△内，请探究、、之