2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）第09讲 三角形的中位线（解析版）

第09讲三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（任意一个三角形都有三条中位线）．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝QUOTEBC.证明：（方法1）如图（1）所示，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF.∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，∴△ADE≌△CFE，∴∠ADE＝∠F，AD＝CF.∴AD∥CF.∵D为AB的中点，∴BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC.∵DE＝QUOTEDF，∴DE∥BC且DE＝QUOTEBC.（1）（2）（方法2）如图（2）所示，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，CD和AF.∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AD.∵D是AB的中点，∴CF∥BD.∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC.∵DE＝QUOTEDF，∴DE∥BC且DE＝QUOTEBC.三角形的中位线：（1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据．（2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．（3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点．考点剖析考点一、利用三角形的中位线求线段长度【例1】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是的中点，若，则的长为(

)

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】四边形是平行四边形，，，，，，，故选B．【变式1】如图，为了测量一块不规则绿地，两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点，然后测量出，的中点，，如果测量出，两点间的距离是，那么绿地、两点间的距离是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】中，、分别是、的中点，为三角形的中位线，，，故选B．考点二、利用三角形的中位线求角【例2】如图，四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，，则．【答案】/20度【解析】∵E，F，G分别是的中点，∴是的中位线，是的中位线，∴，，，，又∵，∴，，，∴，∴，故答案为：．【变式2】如图，在四边形中，P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，，，则的度数是.

【答案】【解析】∵P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，∴，，∵，∴，∵，∴.考点三、利用三角形的中位线求周长【例3】如图，已知的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，……，则第个三角形的周长为

【答案】【解析】设第n个三角形的周长为Cn.∵下一个三角形是以上一个三角形三边中点为顶点，∴，∴，∴，故答案为：.【变式3】如图，在中，，，，点，，分别是的三边，，的中点，则的周长为（

）

A．12 B．11 C．10 D．9【答案】D【解析】∵点，，分别是的三边，，的中点，∴是的中位线，∵，，，∴，∴的周长，故选D．考点四、利用三角形的中位线求面积【例4】如图所示，在中，是边上任一点，分别是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为（

）A．32 B．48 C．64 D．72【答案】B【解析】过点F作FH⊥BC于点H，交GE于点M，如图所示：∵点分别是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∵点F是AD的中点，∴，∵，∴，故选B．【变式4】如图，在中，分别是的中点，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，又∵AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm，∴EF=5cm，DE=4cm，DF=3cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形，∴S△EDF=DE•DF=×3×4=6（cm2）．故选A.考点五、三角形的中位线有关计算与证明【例5】如图，中，中线相交于O．F、G分别为的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若的面积为12，求四边形的面积．【解析】（1）证明：∵是的中线，F、G分别为的中点，∴分别是的中位线，∴，，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵分别是的中线，且的面积为12，∴，∵四边形是平行四边形，中线相交于O，F为的中点，∴O为的中点，∴，,∴，∴四边形的面积为4．【变式5】如图，等边三角形ABC的边长为，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD，EF，DE．(1)求证：DE＝CF；(2)求EF的长．【解析】解：(1)证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，．∵，∴DE＝CF．(2)由(1)得，DE∥CF，DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF．∵D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是，∴，CD⊥AB，∴在Rt△CDB中，，∴EF＝DC＝3．考点六、利用三角形的中位线判断线段关系【例6】如图，于点于点，连接分别为的中点，连接．

(1)求证：．(2)猜想线段之间的数量关系并证明．【解析】（1）证明：取的中点G，连接，

∵F为的中点，∴，，又∵E为的中点，∴，，∵，，∴，∴，∴点在同一直线上，∴；（2）解：由（1）得：F为的中点，E为的中点，点G是的中点，点在同一直线上，∴，，∴，∴．【变式6】如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点，线段与之间有什么关系？为什么？

【解析】，，理由如下：连接，

、分别是、的中点，，，同理，，，，．过关检测一、单选题1．中，D、E分别是的中点，，，，则（）

A． B． C． D．不确定【答案】B【解析】∵D、E分别是的中点，∴是的中位线，∴，故选B．2．如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（

）

A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m【答案】D【解析】过点B作交的延长线于D，

∵，∴，∵，∴，∴是的中位线，∴，故选D．3．如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（）

A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【答案】B【解析】∵E，F，G，H是四边形各边中点，∴，，．又∵，，∴四边形的周长是．故选B．4．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（

）

A．4 B．3 C．2 D．不确定【答案】B【解析】∵在平行四边形中，，∴，∵M，N分别为，的中点，∴是的中位线，∴，故选B.5．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】，，，，平分，，，是的中位线，．故选A．二、填空题6．如图，在四边形中，，，E，F，M分别为边，和对角线的中点．连接，，则．【答案】1【解析】∵F，M分别为边和对角线的中点，∴，故答案为：1．7．如图，在中，点M，N分别是AB，AC的中点，点P，Q分别是AM，AN的中点，连接MN，PQ，若BC的长为12，则PQ的长为．【答案】3【解析】点，分别是，的中点，是的中位线，，点，分别是，的中点，是的中位线，．故答案为：．8．如图，四边形中，，，为的平分线，，，，分别是，的中点，则的长为．

【答案】【解析】∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵为的平分线，∴，∴，∴，连接并延长交于，

∵，∴，∵是的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵是的中点，∴．故答案为：．9．如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若，则四边形的周长是．【答案】4【解析】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，、、、分别为、、、的中位线，∵AB=CD=2，，，∴四边形的周长．故答案为：．10．如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别为、的中点，连接，则的最小值为．

【答案】【解析】如图，连接，

、分别为、的中点，，的最小值，就是的最小值，当时，最小，在中，，，，，，的最小值是．故答案为：．三、解答题11．如图所示，在四边形中，，E，F，G分别是的中点．求证：是等腰三角形．

【解析】证明：∵E，F，G分别是的中点，∴分别是的中位线，∴，又∵，∴，∴是等腰三角形．12．已知：在中，D，E，F分别是边的中点．求证：四边形的周长等于．【解析】如图，D，E，F分别是边的中点，、是的中位线，，，四边形的周长，即四边形的周长等于．13．如图，在平行四边形中，两条对角线、交于点O，点E为延长线上的一点，且，连接，分别交和于点F和G，连接，求证：．

【解析】证明：∵四边形为平