2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题01 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（原卷版）

专题01圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。模型1、切线长模型1）切线长模型（标准类）条件：P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切线长模型（拓展类）条件：AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；例1．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则点在量角器上所对应的锐角度数是（

）A． B． C． D．例2．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．A，O，C三点共线例3．（2022·河南南阳·统考二模）阅读下列材料，完成相应任务：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．(1)任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是外一点，__________________________________________．求证：__________________________________________．证明：(2)任务二：如图2，在任务一的条件下，CD是的直径，连接AD、BC，若，，，求OP的长．模型2.燕尾模型条件：OA，OB是的半径，OC=OD。结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线．[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长．例3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．模型3.蝴蝶模型条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．例2．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：．例3．（2022·河南南阳·统考一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知：如图1，______．求证：______．证明：如图2，作，交BD于点E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．(1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；(2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长．模型4.手拉手（旋转）模型注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；特别地，当=60°时，CD=CA+CB；当=90°时，CD=CA+CB；例1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山东德州·统考一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？例3．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，(1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证：课后专项训练1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（

）

A． B．3 C． D．2．（2023·浙江杭州·校考三模）如图，，分别与半径为3的相切于点A，B，直线分别交，于点C，D，并切于点E，当时，的周长为．

3．（2022秋·浙江九年级期中）如图所示，点为外一点，过点作的切线，，点，为切点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，，则的长为．

4．（2022·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，已知ABC，AB＝AC，∠A＝70°．O，D分别为BC，AB的中点，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB的另一个交点为E，与AC交于点G，F，则∠DOE+∠FOG的度数是．5．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，四边形的顶点、、在上，顶点在外，连接，点是边上的中点，和是的切线，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹迹）．(1)如图，在上找一点，使得为等腰三角形；(2)如图，在上找一点，使得为等腰三角形．6．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点E，交于点D，交于点C．(1)求证：；(2)如果，，F为的中点，连接，求．7．（2022·湖北襄阳·统考二模）如图，已知△OAB中，OA=OB，⊙O与AB切于点C，与OA、OB分别交于点E、G，与AO的延长线交于点D，连接BD、DG，延长DG交AB于点F，已知BD=BC．(1)判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AE=2，求图中阴影部分的面积．8．（2022·四川德阳·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．(1)求证：△BOQ≌△POQ；(2)若直径AB的长为12．当PE＝时，四边形AEOP为菱形，并说明理由．9．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图，已知是的直径，点、为圆上两点，且弧弧，于点，的延长线于点．（1）试说明：；（2）若，，求的面积．10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；(2)如图2、若、平分，，求的长度．11．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在中，弦和相交于点，点为中点，，求证：．12．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．(1)求∠E的度数；(2)当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．13．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知圆内接四边形的边长分别为，，，求四边形的面积．

14．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．15．（2022·吉林松原·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）16．（2023·河南周口·统考二模）数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下：利用尺规过圆外一点作圆的切线．已知：如图（1），为⊙的切线，切点为A．求作：圆的另一条切线，切点为B．

下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题．(1)进步小组的作法：以点P为圆心，长为半径作弧，交⊙于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线．问题：①请你在图（2）中补全进步小组的作图痕迹．②进步小组通过连接，，证明，他们证明两个三角形全等的依据为______（填“”“”或“”）．(2)希望小组的作法：如图（3），连接，作的垂直平分线m交于点M，以点M为圆心，长为半径作圆，交于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线．问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程．证明：连接，由作图知，是的※，∴，（理由：◎）即又是的半径，∴为的切线．在上述证明过程中，※处应该填写______；◎处应该填写______（填序号）①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②90°的圆周角所对的弦是直径③直径所对的圆周角是直角；④同弧所对的圆周角相等(3)拓展小组的作法：如图（4），连接交于点C，过点C作的垂线n，以点O为圆心，长为半径作弧，交直线n于点D，连接交于点B，作直线，则直线即为所求作的切线．问题：请你结合该组作图方案给出证明过程．17．（2023·福建·九年级校考阶段练习）如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D．点E是圆上一点，且，连接交于点F．(1)求证：(2)当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．(3)探究线段、、之间的数量关系，并证明．18．（2023·河南驻马店·统考二模）《义务教育数学课程标准（2022年版）》是风向标，梅老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在《切线的性质与判定》学习完毕后，遂命制一题：“已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B”．李华同学经过探索，想出了两种作法．具