专题01 一元二次方程（解析版）

专题一一元二次方程【专题导航】目录【考点一一元二次方程的定义】【考点二一元二次方程的一般形式】【考点三一元二次方程的解】【考点四一元二次方程的解法】【考点五适当方法解一元二次方程】【聚焦考点1】一元一次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数为2（二次）的整式方程。一元二次方程满足条件（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2（3）整式方程【典例剖析1】【典例1-1】关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，∴|m|+1＝2且m+1≠0，解得m＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．【典例1-2】若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k≠0 C．k＜0 D．k为实数【分析】根据是一元二次方程的条件：二次项系数不为0，即可确定k的取值范围．【解答】解：根据题意得：k≠0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．针对训练1【变式1-1】若是关于x的一元二次方程，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣2＝2，进一步求解即可．【解答】解：∵是关于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，∴m＝2或m＝﹣2，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键【变式1-2】若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【分析】根据一元二次方程的定义，x的最高次数是2，且二次项系数不等于0，从而得出答案．【解答】解：根据题意得m+1＝2，∴m＝1，故选：C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．【变式1-3】已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？【分析】（1）由一元一次方程的定义得到：m2﹣1＝0，由此可求得m的值；（2）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣1≠0，由此可求得m的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程，∴m2﹣1＝0，解得m＝±1；（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1．【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零是解题的关键．【能力提升1】【提升1-1】.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；（2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键．【提升1-2】已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2．根据以上信息，解答下列问题：（1）若P（x）＝x2﹣2x，则Q（x）＝；（2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝2x的解；（3）已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，Q（x）为P（x）的导出多项式，若关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值．【分析】（1）利用题目已知的规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x），即可解答；（2）根据题目已知的规定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）导出的多项式Q（x），进行计算即可；（3）根据题目已知的规定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2导出的多项式Q（x），再根据关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，进行计算即可．【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，∴它的导出多项式Q（x）＝2•x+（﹣2）＝2x﹣2，故答案为：2x﹣2；（2）∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，∴它的导出多项式Q（x）＝2•2x+8＝4x+8，∵Q（x）＝2x，∴4x+8＝2x，∴x＝﹣4，∴关于x的方程Q（x）＝2x的解为：x＝﹣4；（3）∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，∴它的导出多项式Q（x）＝2•（a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，∵Q（x）＝﹣x，∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，∴（2a﹣3）x＝6，∵关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，∴2a﹣3≠0，∴x＝，∴2a﹣3的值为：±1，±2，±3，±6，∴a的值为：2，1，，，0，3，，，∴正整数a的值为：2，1，3，又∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴正整数a的值为：1，3．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解，根据题目的已知理解P（x），Q（x）是解题的关键．【提升1-3】阅读与理解已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2．根据以上信息，回答问题：（1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝；（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解；②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值．【分析】（1）利用题目已知的规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x），即可解答；（2）①根据题目已知的规定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）导出的多项式Q（x），进行计算即可；②根据题目已知的规定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2导出的多项式Q（x），再根据关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，进行计算即可．【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，∴它的导出多项式Q（x）＝2•x+（﹣2）＝2x﹣2，故答案为：2x﹣2，（2）①∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，∴它的导出多项式Q（x）＝2•2x+8＝4x+8，∵Q（x）＝0，∴4x+8＝0，∴x＝﹣2，∴关于x的方程Q（x）＝0的解为：x＝﹣2；②∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，∴它的导出多项式Q（x）＝2•（a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，∵Q（x）＝﹣x，∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，∴（2a﹣3）x＝6，∵关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，∴2a﹣3≠0，∴x＝，∴2a﹣3的值为：±1，±2，±3，±6，∴a的值为：2，1，，，0，3，，，∴正整数a的值为：2，1，3，又∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴正整数a的值为：1，3，【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解，根据题目的已知理解P（x），Q（x）是解题的关键．【聚焦考点2】一元二次方程的一般形式：a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项注意：a≠0【典例剖析2】一元二次方程的一般形式【典例2-1】把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；（2）．【分析】各方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【解答】解：（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【典例2-2】关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，于是得到b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，然后解方程得到b、c的值．【解答】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，解得b＝1，c＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．针对训练2【变式2-1】若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值．【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由题意，得：m2﹣3m﹣4＝0，且m+1≠0，解得m＝4．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【变式2-2】阅读理解：定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0．（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．【能力提升2】【提升2-1】将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．【分析】根据二阶行列式计算方法列出方程．【解答】解：根据题意，得：（x+1）•2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，即：x2+2x﹣18＝0，它符合一元二次方程的定义．【点评】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题的关键．【提升2-2】请写出一个你喜欢的，仅含有二次项、一次项的一元二次方程，并求出它的解．【分析】直接利用一元二次方程的定义结合其解法得出答案．【解答】解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确解方程是解题关键.【聚焦考点3】一元二次方程的解：能使方程成立的未知数的值。【典例剖析3】一元二次方程的解【典例3-1】已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+4＝0，变形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：由题意得：a2﹣2020a+4＝0，∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7＝a﹣4++7＝+3＝+3＝2023．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．【典例3-2】已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式的值应（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】根据一元二次方程解的意义可得3m2﹣m﹣1＝0，从而可得3m2﹣m＝1，然后把3m2﹣m＝1代入式子中进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：3m2﹣m﹣1＝0，∴3m2﹣m＝1，∴＝2（3m2﹣m）+＝2×1+＝2+，∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴代数式的值应在3和4之间，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．针对训练3【变式3-1】若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9【分析】根据一元二次方程根的定义，将﹣1代入关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．【解答】解：由题意得：把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，解得：k＝±3，∵k﹣3≠0，∴k≠3，∴k＝﹣3，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．【变式3-2】已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4【分析】利用一元二次方程的解，可得出t2﹣1011t＝﹣3，再将其代入2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）中，即可求出结论．【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，∴t2﹣1011t+3＝0，∴t2﹣1011t＝﹣3，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．【能力提升3】一元二次方程的解【提升3-1】若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0【分析】先根据一元二次方程的定义得到3a2﹣a＝2023，再把2023+2a﹣6a2变形为2023﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，∴3a2﹣a﹣2023＝0，∴3a2﹣a＝2023，∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【提升3-2】若a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则2a2﹣4a＝10．【分析】根据一元二次方程根的概念直接代入进行求解即可．【解答】解：由a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则有a2﹣2a﹣5＝0，∴a2﹣2a＝5，∴2a2﹣4a＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的计算方法。【聚焦考点4】1.直接开平方法解一元二次方程：若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。2.配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。3.因式分解法如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。4.公式法一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。【典例剖析4】一元二次方程的解法【典例4-1】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，求的值．【分析】由ax2＝b利用直接开平方法得x＝±，又方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，则方程的两个根分别是2与﹣2，据此求的值即可．【解答】解：∵ab＞0，a≠0，∴b≠0．给方程ax2＝b两边同时除以a得x2＝，∴x＝±．∵方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4＝0，∴m＝1．∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2．又∵x＝±，∴＝2，∴＝4．【点评】本题考查代数式求值，熟练运用直接开方法解一元二次方程是解答关键；【典例4-2】以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：解：移项得：x2﹣2x＝4配方：x2﹣2x+1＝4（x﹣1）2＝4开平方得：x﹣1＝±2移项：x＝±2+1所以：x1＝3，x2＝3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：移项得：x2﹣2x＝4，配方：x2﹣2x+1＝4+1，（x﹣1）2＝5，开平方得：x﹣1＝±，移项：x＝±+1，所以：x1＝+1，x2＝﹣+1．【点评】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键．【典例4-3】解方程：（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0，（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝1．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．【典例4-4】解方程：（x﹣3）2＝3x2﹣9x．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣3）2＝3x2﹣9x，（x﹣3）2﹣（3x2﹣9x）＝0，（x﹣3）2﹣3x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣3x）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣3x＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．针对训练4【变式4-1】解方程：（x﹣5）2﹣36＝0．【分析】利用直接开方法解一元二次方程．【解答】解：∵（x﹣5）2﹣36＝0，∴（x﹣5）2＝36，∴x﹣5＝±6，∴x1＝11，x2＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【变式4-2】用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+8＝2+8，（x﹣2）2＝10，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【变式4-3】解方程：x（2x﹣1）＝4x﹣2．【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【解答】解：x（2x﹣1）＝4x﹣2，即x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0，解得：．【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式4-4】解方程：2x2﹣5x﹣1＝0．【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：2x2﹣5x﹣1＝0，∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的应用，能熟记公式是解此题的关键．【能力提升4】一元二次方程的解法【提升4-1】已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，（1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程：（2）当a＝2时，解这个方程．【分析】（1）要证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论a为什么值时a2﹣4a+5的值都不是0，可以利用配方法来证明；（2）当a＝2时，就可以求出方程的具体形式，解方程就可求出方程的解．【解答】（1）证明：a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≠0，∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程；（2）解：当a＝2时，原方程变为x2+4x+4＝0，解得x1＝x2＝﹣2．【点评】本题主要理解配方法，证明一个二次三项式大于或小于0的方法．【提升4-2】解下列方程：（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）；（2）x2+3＝2（x+2）．【分析】（1）首先把方程化成一般形式，然后把方程的左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解．（2）先进行整理，求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1），整理得：x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0，x﹣1＝0，解方程得：x1＝3，x2＝1，故原方程的解是x1＝3，x2＝1．（2）x2+3＝2（x+2），整理得：x2﹣2x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，x＝，x1＝1+，x2＝1﹣．故原方程的解是x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程﹣因式分解法、公式法等知识点的理解和掌握，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键【聚焦考点5】选择适当方法解一元二次方程1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法；２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法.３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或