人教版高中数学平面向量全部教案

第五章平面向量

第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已

知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程:

一、开场白：课本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,

问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。AB

二、提出课题：平面向量

1.意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1°数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2。从19世纪末到20世纪初，向量就夕戈为一套优良通性的数学

体系，用以研究空间性质。\/

2.向量的表示方法：勤/"B

1。几何表示法：点一射线—（终点）

有向线段——具有一定方向的线段A（起点）

有向线段的三要素：起点、方向、长度/1'

记作（注意起讫）、

2。字母表示法：而可表示为力（印刷时用黑体字）

P95例用1cm表示5nmail（海里）

3.模的概念：向量而的大小——长度称为向量的模。'

记作：I而I模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量:

1。零向量——长度（模）为o的向量，记作6。。的方向是任意的。

注意。与0的区别

2。单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：而与就是否同一向量？

答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、向量间的关系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：a//b//c

规定：。与任一向量平行V

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。/

记作：a=b

规定：6=6

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3.共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

COBA

0A=aOB—bOC=c

例（P95）略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（在，而，区）

四、小结：

五、作业：P96练习习题5.1

第二敬时

教材：向量的加法

目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作

几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向

量计算。

过程：

六、复习：向量的定义以及有关概念

强调：1。向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。

2。正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何

向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

七、提出课题：向量是否能进行运算？

5.某人从A到B,再从B按原方向到C,_____________________

ABC

则两次的位移和：AB+BC=AC

6.若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,

则两次的位移和：AB+BC=AC

7.某车从A到B,再从B改变方向到C,

则两次的位移和：AB+BC^AC

8.船速为AB，水速为BC,

则两速度和：AB+BC=AC

提出课题：向量的加法

叫做向量的余1法。B

三、1.定义：求两个向量的和的运算,

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

2.三角形法则：

h

a+b

CAB

1°“向量平移”（自由向量）:使前一个向量的终点为后一个向量的起

占

八、、

2。可以推广到n个向量连加

3。4+6=6+<7=4

4。不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

3.例一、已知向量a、b,求作向量a+b

作法：在平面内取一点,

作。4=aAB=b

则丽=3+3

4.加法的交换律和平行四边形法则

上题中B+3的结果与5+B是否相同验证结果相同

从而得到：1。向量加法的平行四边形法则

2。向量加法的交换律：a+b^b+a

9.向量力口法的结合律：（a+B）+c=a+（B+c）

证：如图：使=BC=b,CD=c

B

则(5+%)+1=就+而=而

a+(b+c)=AB+BD=AD

.'.(a+b)+c=a+(b+c)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二(P98—99)略

五、小结：1。向量加法的几何法则

2。交换律和结合律

3。注意：++不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100练习P102习题5.21—3

第三教时

教材：向量的减法

目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。

过程:

八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律：

例：在四边形中，CB+BA+~BA^CD

解：CB+BA+~BA=CB+BA+M)=CD

九、提出课题：向量的减法

1.用“相反向量”定义向量的减法

1。“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作-a

2。规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-«)=a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a+(-a)=0

如果a、分互为相反向量，则a=—方，b=-a,a+b=0

3。向量减法的定义：向量。加上的》相反向量，叫做a与〃的差。

即：a-b=a+(-/>)求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若/>+x=a,则x叫做a与》的差，记作a-》

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量

*.*(a-8)+b=a+(-6)+b=a

作法：在平面内取一点。，

作OA=a,AB=b

则BA=a—8

即a可以表示为从向量〃的终点指向向量”的终点的向量。

注意：表示强调：差向量“箭头”指向被减数

2。用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a+（-b）

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

十、例题:

例一'、（P101例三）已知向量a、b、c、d,求作向量c-do

解：在平面上取一点0,作次=凡0B=b,0C=c,0D=d,

例二、平行四边形中，，用表示向量，

解：由平行四边形法则得：

A£=a+b,DB=AB-AD=

变式一：当a,5满足什么条件时，a+b与a-）垂直？（3=则）

变式二：当a,5满足什么条件时，=\a-b\2（a,b互相垂直）

变式三：a+A与可能是相当向量吗？（不可能，•••仁对角线方向不同）

十一、小结：向量减法的定义、作图法I

十二、作业：P102练习

P103习题5.24—8

第四数时

教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课

目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌

握向量的加法与减法的意义与几何运算。

过程:

十三、复习：

1。向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、

相等向量、共线向量

2。向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律

十四、1.处理《教学与测试》P135—136第64课（略）

2.处理《教学与测试》P137—138第65课

例一、设。表示“向东走3%〃”，〜表示"向北走弘

则a+b表示向东北走3、/^太根

解：OB=OA+ABay\h

5

OB=-2+32=3V2（km）<―—

例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证：由向量加法法则：Dc

AB=AO+OB,~DC=~DO+OC/

由已知：AO=OC,DO=OB

：.AB=DC即AB与CD平行旦相等

：.ABCD为平行四边形人口

AB

例三、在正六边形中，若苏=a,OE=b,试用

向量a、》将无、0C.而表示出来。。仁二——

解：设正六边形中心为P\VV\//

则丽=丽+丽=（3+而）+3=a+方+a

OC-OP+PC-a+b+a+b

由对称性：OD=b+b+a

3.处理《教学与测试》P139—140第66课（略）

十五、有时间可处理“备用题”：

例一、AB+DF+CD+BC+FA

解：~AB+~DF+CD+~BC+~FA=~AB+~BC+CD+~DF+~FA

AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0

例二、在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果

船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进

的方向应该指向何处？

解：如图：船航行的方向是

与河岸垂直方向成30。夹角，

即指向河的上游。

十六、作业：上述三课中的练习部分

第五教时

教材：实数与向量的积

目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。

过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1.引入新课：已知非零向量2作出不+万+5和(一万)+(-菊+(-2)

o,aaa

---->z：--->---->---->

OABC

--Z7—»―*—►

<—J—a

广MQP

OC=OA+AB+BC=a+a+a=3a

PN=PQ+QM+MN=(-5)+(-a)+(-a)=-3a

讨论：1。32与。方向相同且13滔=31小

2。-3。与。方向相反且I-3洲=31万I

2.从而提出课题：实数与向量的积

实数人与向量5的积，记作：Xa

定义：实数人与向量彳的积是一个向量，记作：Aa

1°|Xal=|XHal

2。入>0时入方与万方向相同；入<0时入方与万方向相反；入=0时入

3.运算定律：结合律：入也编=(人口)。①

第一分配律：(A+g)a=Xa+[ia②

第二分配律：入(。+5)=入)+入B③

结合律证明：

如果入=o,|i=o,5=6至少有一个成立，则①式成立

如果入日N0,有：|人(M)|=|入ga|=|X|g||a|

|(Xg)tz|=|Ap.||a=|Xpa

，I入(M)1=1(%)万I

如果入、N同号，则①式两端向量的方向都与方同向；

如果入、N异号，则①式两端向量的方向都与。反向。

从而入(四方)=(入|1)五

第一分配律证明：

如果入=0,g=o,万=6至少有一个成立，则②式显然成立

如果入M,"6

当入、H同号时，则人1和N不同向，

|(入+g)a\=\X+g|\a|=(lXI+|pl)IaI

I入a+[ia\=\X5|+|(i5|=|||a|+|g||a|=(|入|+1M.l)I5I

:入、pi同号二②两边向量方向都与方同向

即：(X+p,)a|=|Xa+gal

当入、H异号，当人〉pi时②两边向量的方向都与人)同向

当入〈口时②两边向量的方向都与U行同向

还可证：|(A+g)a|=|Xa+y.a\

•••②式成立

第二分配律证明：

如果。=0,中至少有一个成立，或入=0,入=1则③式显然成立

当Gw。，必。且入M,“1时

1。当入＞0且入n时在平面内任取一点O,

作OA=dAB=bOAi=XaA[8]=入

则无=。+坂OB、=\a+b

由作法知：AB〃4片有NOAB=NOAiBi\AB\=WAyBXI

=入.,.△OAB^AOAiB,

\OA\\AB\

...I^J=入/AOB=NAIOB,

\OB\

因此，O,B,Bi在同一直线上，I两1=1入为I函与人历方向也

相同

A(a+b)=X5+Xb

当入＜0时可类似证明：X（5+K）=Xa+\bA\

，③式成立

4.例-（见P104）略

三、向量共线的充要条件（向量共线定理）

1.若有向量2（不如）、b,实数入，使3=入万则由实数与向量积的定义

知：彳与B为共线向量

若方与B共线（）*6）且区I：应|=山则当方与B同向时方

当彳与B反向时B=—口口

从而得：向量彼与非零向量）共线的充要条件是：有且只有一个非零实数

x

使彼=X.a

2.例二（P104-105略）

三、小结：

四、作业：课本P105练习P107-108习题5.31、2

第六敖时

教材：平面向量基本定理

目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；

或一个向量分解为两个向量。

过程：一、复习：L向量的加法运算（平行四边形法则）。

2.实数与向量的积3.向量共线定理

二、由平行四边形想到：

1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？

2.对于平面上两个不共线向量1是不是平面上的所有向量都可以用它们

来表示？

——提出课题：平面向量基本定理

三、新授：1.（P105-106）］,或是不共线向量，5是平面内任一向量

d

OA=etOM=1OC=）=OM+0N=入9+人外

OB=e2ON=A2e2

得平面向量基本定理：如果［,1是同一平面内的两个不共线向量，那么

对于这一平面内的任一向量不，有且只有一对实数人”入2使。=入©+

入202

注意几个问题：1。［、［必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组

基底

2°这个定理也叫共面向量定理

3。3，L是被不，■，晟唯一确定的数量

2.例…（P106例三）已知向量竹，e2求作向量-2.5C］+362。

作法：1。取点O,作方=-2.5［08=3^

-►

至作OACB,女即为所求十

例二、（P106例4）如图口ABCD的两条对角线交于点M,且凝=2,AD=b,

用不，B表示忘，MB,标和通

口解：在

~DB=~\B-~\D=a-b

—■I—>111_

MA=——AC=一一(«+/?)=——a——b

2222

—.]—.]]1_——•1—■1]-

MB=-DB=-(a-b)=-a——bMC=-AC=-a+-b

2222222

------1---1一1-

MD=-MB——DB=—G+—Z?

222

例三、已知。ABCD的两条对角线AC与BD交于E,0是任意一点,

求证：OA+OB+OC+OD=4OE

证：YE是对角线AC和BD的交点

:.AE=EC=-CE

BE=ED=-DE

在aOAE中OA+AE=OE

同理：+=OC+CE=OEOD+~DE=OE

以上各式相加，得：OA+OB+OC+OD=4OE

例四、(P107例五)如图，OA,而不共线，1P=tJB(teR)用d，而表示赤

解,/AP=tAB

P

OP=OA+~\P^A\X'AB

=OA+t(OB-OA)

=OA+tOB-tOA

=(l-t)OA+tOB

四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表

示为两个不共线向量的线性组合。

五、作业：课本P107练习P108习题5.33-7

第七数时

教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-14467.68课

目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本

定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：一、复习：1.实数与向量的积(强调：''模”与“方向”两点)

2.三个运算定律(结合律，第一分配律，

第二分配律)

3.向量共线的充要条件

4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实

质)

二、处理《教学与测试》

1.当入eZ时一，验证：X(a+^)=Xa+Xb

iJB当入=0时，左边=0・(。+3)=6右边=0・2+0范=。分配律成立

当人为正整数时，令入=n,则有：

n(a+h)=(a+b)+(a+b)+"'+(a+h)

=a+a+^*+a-^-b+b+b^-^*+b=na+nb

即人为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令人=-n(n为正整数)，有

-n(a+b)=n[-(a+b)]=n[(-a)+(-b)]=n(-a)+n(-b)=-na+(-nb)=-n

a-nb

分配律仍成立

综上所述，当人为整数时，入(W+B)=入方+入3恒成立。

2.如图，在AABC中，AB=a,BC=bAD为边BC的中线，G为二

ABC的重心，求向量标

.—»,■…I.1—»

解——：VAB-a.BC=b贝=—BC=—。

22

A.._..]—•,_.2，

A••AD=AB+BD=ad—b而AG=一AD

23

—•21-

...AG=-a+-b

JL_____L_J33

B》DC

解二：过G作BC的平行线，交

AB、AC于E、F

VAAEF^AABC

—2―2

AE=-AB=-a

33

BhDC

―►2―2-

EF=—BC=—h

33

----1---•1-

EG=-EF=-b

23

—,—■—,■21-

，AG=AE+EG=-a+-b

33

•.—»—».*

3.在7ABCD中，设对角线AC=2,8O=b试用心匕表示A6,BC

——■1―•1—.1-

解一：AO=OC=-aBO=-BD=-h

222

AAB=AO+0B=AO-B0=-a--b7ss—二

BC=BO+OC=OC+~BO^-a+-b

22

B

解二：设布="'BC=y

-*1­

则4B+BC=ACx+y=ax=~(a-b)

AD-=1BDx-y=b

--1_一

y=—(a+h)

2

—►I一—►I一

即：AB=-(a-b)BC=一("b)

22

4.设r,牡是两个不共线向量，已知A8=2e]+ke2,CB=e}+3e2,

而若三点A,B,D共线，求k的值。

解：BD—CD—CB=(26—e?)—(q+3e?)=%-4g

VA,B,D共线JAB，访共线，存在入使Q=入BD

—►—*—*—*2=A

H|12G+ke?=人(G—4e?)・•1・•k二—8

12'2[k=-42

5.如图，已知梯形ABCD中，AB〃CD且AB=2CD,乂,？4分别是口(2,人8

中点，设通=不，AB=b,试以鼠B为基底表示丽，BC,MN

——•I->1_

解：DC=-AB=-b

22

连ND则DC^ND

,0

A

MB

BC=ND=AD-AN=a——b

2

-----1-----1-

DM=—DC=—b

24

MN=DN—DM=CB-DM=-BC-DM

=(一G+—b)——h=—h-a

244

6.1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态(如图)，已知两细绳

与水平线分别成30。,60。角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90°

\OP\=\(kg)ZP,OP=60°NP20P=30°

：.\OP\l=IOPIcos600=l-1=0.5(kg)/

3那zA60。

\OPil=IOPIcos30°=l-^=0.87(kg)

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kgp,

三、作业：《教学与测试》67、68课练习

第八赦时

教材：向量的坐标表示与坐标运算

目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐标运算。

过程：一、复习：1.复习向量相等的概念yf

自由向量

OA=BC

2.平面向量的基本定理(基底)

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不

共线向量的线性组合。

二、平面向量的坐标表示

1.在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示

问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？

取x轴、y轴上两个单位向量i,/作基底，则平面内作一向量)=xi+yj,

如：a=0A=(2,2)

b=OB=(2,-1)

OC=(1,-5)

J=(0,0)

2.注意：1。每一平面向量的坐标表示是唯一的；

2°设A(xbyi)B(X2,y2)则AB=(x2-xby2-yi)

3。两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

3.例一:(P109)略

三、平面向量的坐标运算

1.问题：1。已知2(xi,yDb(x2,y2)求M+5,B的坐标

2。已知a(x,y)和实数入，求入万的坐标

2.解：a+b=(xii+yij)+(x2j+y2j)=(xi+x2)(yi+y2)j

即：a+b=(xi+x2,yi+y2)

同理：a-b=(xi-x2,yi-y2)

3.结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的

坐标。

用减法法则：

VAB=OB-OA=(x2,y2)-(x,,y()

=(x2-xi,y2-yi)

4.实数与向量积的坐标运算：已知。=(x,y)实数人

则入a=X(xz+yJ)=Xxz+Ayj

X5=(Xx,Ay)

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

四、例二(P110例二)

例三(P111例三)

例四(P145例一)已知三个力齐(3,4),及(2,-5),元(x,y)的合力

F[+尸2+后=。

求元的坐标。

..3**

解：由题设4+6+^=0得：(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

3+2+x=0x=-5

0=]

Fy(—5,1)

4-5+y=0

例五、已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐

标使这四点构成平行四边形四个顶点。

解：当平行四边形为ABCD时，

仿例三得：口=(2,2)

当平行四边形为ACDB时,

仿例三得：D2=(4,6)

当平行四边形为DACB时,

仿上得：D3=(-6,0)

五、小结：1.向量的坐标概念

六、作业：P112练习1—3习题5.41—6

第九赦时

教材：向量平行的坐标表示

目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且

能用它解决向量平行(共线)的有关问题。

过程：一、复习：1.向量的坐标表示(强调基底不共线，《教学与测试》P145

例三)

2.平面向量的坐标运算法则

练习：1.若M(3,-2)N(-5,-l)且MP=±MN,求P点的坐标；

2

解：设P(x,y)贝iJ(x-3,y+2)=，(-8,1)=(-4,

x-3=-4x=-l3

.13・点坐标为

y+2=].•PGL-5)

2.若A(0,1),B(l,2),C(3,4)则而-2前=(-3,-3)

3.已知：四点A(5,1),B(3,4),C(l,3),D(5,-3)求证：四边形ABCD是

梯形。

解：:AB=(-2,3)~DC=(-4,6)/.AB=2DC

：.AB//DC月.IAB闺。Cl二四边形ABCD是梯形

二、1.提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数人使得B=入心那

么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

2.推导：设G=(xi,yOb=(x2,y?)其中Bwd

由1=入B(xi,yi)=A(X2,ys)=><1尸2消去人：

3=加2

xiy2-x2yi=0

结论：a//b(〃w。)的充要条件是xiy2-X2yi=0

注意：1。消去人时不能两式相除，•••力,丫2有可能为0，

x2,y2中至少有一个不为0

2。充要条件不能写成、.=五•；x],X2有可能为0

x}x2

3。从而向量共线的充要条件有两种形式：a//b(BwG)o"苏

一%一看%=°

三、应用举例

例一(P111例四)例二(P111例五)

例三若向量万=(-l,x)与很=(-x,2)共线且方向相同，求x

解：,.,乙=(-16)与5=(%2)共线.'.(-l)X2-"(-x)=0

.,.x=±V2与行方向相同.,.x=V2

例四已知A(-L,-1)B(l,3)C(l,5)D(2,7)向量4B与CO平行吗？直线AB

与平行于直线CD吗？

解：•..丽=(1-(T),3-(-1))=(2,4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)

又：72X2-4-1=0，AB//CD

又：AC=(l-(-l),5-(-1))=⑵6)薪=(2,4)

2X4-2X6M忌与丽不平行

:.A,B,C不共线，AB与CD不重合；.AB〃CD

四、练习:1.已知点A(0,1)B(l,0)C(l,2)D(2,1)求证:AB/7CD

2.证明下列各组点共线：1°A(l,2)B(-3,4)C(2,3.5)

2°P(-l,2)Q(0.5,0)R(5,-6)

3.已知向量5=（T,3）B=（x,T）且1〃B求x

五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）

六、作业：P112练习4习题5.47、8、9

《教学与测试》P1464、5、6、7、8及思考题

第十敖时

教材：线段的定比分点

目的：要求学生理解点P分有向线段质所成的比人的含义和有向线段的定比

分点公式，并能应用解题。

过程：一、复习：1.向量的加减，实数与向量积的运算法则

2.向量的坐标运算

二、提出问题：线段的定比分点

1.线段的定比分点及人

Pl,P2是直线/上的两点，P是/上不同于Pl,P2的任一点，存在实

数人，

使PJ>=X~PP2人叫做点P分而所成的比，有三种情况：

入>0（内分）（外分）入<0（入<-1）（外分）入

<0（-l<X<0）

2.定比分点公式的获得：

设［P=入PP2点

Pi,P,P2坐标都以MJx,y)(X2,y2)

由向量的坐标运算

々P=(x-xi,y-yi)PP2=(X2-X1,y2-yi)

P、P=Xpp2

(x-xi,y-y()=X(x2-xi,y2-y()

.[x-=2(X-x)

•**21+彳定比分点坐标公式

月+仪

y-y]=〃)’2-y)

1+2

3.中点公式：若P是而中点时,

4.注意几个问题：1°入是关键，入＞0内分入＜0夕卜分AH-1

若P与P］重合，X=0

P与P2重合人不存在

2。中点公式是定比分点公式的特例

------1------

3。始点终点很重要，如P分尸产2的定比入=5则P分尸2尸1的定比入=2

4°公式：如Xi,X2,x,A知三求一

三、例题：例一（P114例一）知三求一

例二（P114例二）△重心公式

例三若P分有向线段通的比为之，则A分而所成比为-工（作示意图）

43

例四过点P,（2,3）,P2（6,-1）的直线上有一点，使IPiPklPP2I=3,求P点

解：当P

当入=3得P(5,0)

当X=-3得P(8,-3)

例五4ABC顶点A(l,1),B(-2,10),C(3,7)ZBAC平分线交BC边于

D,

求D点坐标

解：：AD平分角NBAC

IACI=722+62=2回

IABI=7（-3）2+92=3V10

；.D分向量在所成比入=2

3

3+—（—2）

设D点坐标（x,y）则x=一——=1

14--

3

...D点坐标为：（1,日）

四、小结：定比分点公式，中点公式

五、作业：P115-116练习习题5.5

--数时

教材：平面向量的数量积及运算律

目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质

和它的一些简单应用。

过程：

十七、复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。

它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。

但这种运算与实数的运算有了很大的区别。

十八、导入新课：

5.力做的功:W=IFI-lsIcosG

。是尸与s的夹角

6.定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab=kzllZ>lcos0,

并规定0与任何向量的数量积为0。•

7.

8.注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

1。两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的符号所决

定。

2。两个向量的数量积称为内积，写成al；今后要学到两个向量的外积

aXb,而她是两个数量的积，书写时要严格区分。

3。在实数中，若aM,且。2=0,则6=0；但是在数量积中,若aM,

且a2=0,不能推出方=0。因为其中cos。有可能为0。这就得性质2。

4°已知实数a、b、c(bM),