第2章 一元二次方程全章复习攻略与检测卷（1个概念1个解法2个关系1个应用3种数学思想）（解析版）

【关注公众号：林樾数学】免费获取更多初高中数学学习资料第2章一元二次方程全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习五种方法【1个概念】一元二次方程定义【1个解法】一元二次方程的解法【2个关系】1.一元二次方程的根的判别式2.一元二次方程的根与系数的关系【1个应用】一元二次方程应用【3种思想】1.整理思想2.转化思想3.分类讨论思想【检测卷】【倍速学习五种方法】【1个概念】一元二次方程定义【例1】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋eq\f(1,x2)＝1B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【例2】关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|k－1|＝2，,k＋1≠0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3或k＝－1，,k≠－1.))∴k＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．【例3】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．【1个解法】一元二次方程的解法【例4】运用开平方法解下列方程：(1)4x2＝9；(2)(x＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x＋3)2＝2，则x＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x2＝9，得x2＝eq\f(9,4)，两边直接开平方，得x＝±eq\f(3,2)，∴原方程的解是x1＝eq\f(3,2)，x2＝－eq\f(3,2).(2)移项，得(x＋3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝±eq\r(2).∴x＋3＝eq\r(2)或x＋3＝－eq\r(2).∴原方程的解是x1＝eq\r(2)－3，x2＝－eq\r(2)－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x1＝eq\r(,a)，x2＝－eq\r(,a).【例5】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝±eq\r(3).∴x1＝2＋eq\r(3)，x2＝2－eq\r(3).方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【例6】用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(－1±\r(49),2×2)＝eq\f(－1±7,4)，即原方程的解是x1＝－2，x2＝eq\f(3,2).(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝eq\f(－4±\r(24),2)＝－2±eq\r(6).∴原方程的解是x1＝－2＋eq\r(6)，x2＝－2－eq\r(6).(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－eq\f(3,2).方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．【例7】用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解为x1＝5，x2＝7.【例8】用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解为x1＝eq\f(16,7)，x2＝eq\f(4,3).方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【2个关系】1.一元二次方程的根的判别式【例9】不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋eq\f(1,4)＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋eq\f(1,4)＝0，a＝1，b＝－1，c＝eq\f(1,4).∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×eq\f(1,4)＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【例10】已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．2.一元二次方程的根与系数的关系【例11】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值为()A．－1B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．1解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝eq\f(1,2)，mn＝－1，eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(n＋m,mn)＝eq\f(\f(1,2),－1)＝－eq\f(1,2).故选C.方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【例12】已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是()A．x2－6x＋8＝0B．x2＋9x－1＝0C．x2－x－6＝0D．x2＋x－20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【例13】已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【例14】关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是()A．－1或5B．1C．5D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【例15】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－eq\f(2a,a－6)，x1x2＝eq\f(a,a－6).由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－eq\f(2a,a－6)＋4＝eq\f(a,a－6)，解得a＝24.经检验a＝24是方程－eq\f(2a,a－6)＋4＝eq\f(a,a－6)的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－eq\f(2a,a－6)＋eq\f(a,a－6)＋1＝eq\f(6,6－a)为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.【1个应用】一元二次方程应用【例16】有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为xcm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．【例17】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．解析：先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．【例18】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解之，得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：又将有448人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【例19】月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得：x1＝8，x2＝－9(舍去)．答：每个支干长出8个小分支．【例20】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.【例21】某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【例22】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【例23】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．【例24】现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为xcm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【例25】如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【例26】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.则根据题意，得eq\f(1,2)·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得eq\f(1,2)(6－x)·2x＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．【3种思想】1.整理思想【例27】（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2+m＝1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴2023﹣m2﹣m＝2023﹣（m2+m）＝2023﹣1＝2022．故答案为：2022．【点评】本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【例28】．（2023春•沭阳县月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2+4m+2021的值为．【分析】由方程根的定义得到m2+2m＝1，整体代入2m2+4m+2021即可得到答案．【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴2m2+4m+2021＝2（m2+2m）+2021＝2×1+2021＝2023．故答案为：2023．【点评】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．【例29】．（2023春•兴化市月考）已知m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则2m2+4m的值是．【分析】由m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，可得m2+2m＝1，即可得2m2+4m﹣4＝2（m2+2m）﹣4＝﹣2．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，∴m2+2m﹣1＝0，即m2+2m＝1，∴2m2+4m＝2（m2+2m）＝2×1＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是整体代入思想的应用．2.转化思想【例30】（2023•沭阳县模拟）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2021﹣2a﹣4b的值为．【分析】将x＝1代入原方程，可得出a+2b＝﹣1，再将其代入2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）中，即可求出结论．【解答】解：将x＝1代入原方程得：1+a+2b＝0，∴a+2b＝﹣1，∴2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）＝2021﹣2×（﹣1）＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出a+2b是解题的关键．【例31】（2022秋•丹徒区期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则6a2﹣3a+3的值等于．【分析】根据方程的根的定义，把a代入方程求出2a2﹣a﹣3＝0，把6a2﹣3a+3化为（2a2﹣a）+3即可求得答案．【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，∴2a2﹣a﹣3＝0，整理得，2a2﹣a＝3，∴6a2﹣3a+3＝3（2a2﹣a）+3＝3×3+3＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解决问题的关键．【例32】．（2023•鼓楼区二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．【分析】先移项得到x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6），x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，∴x﹣6＝0或x+4＝0∴x1＝6，x2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．3.分类讨论思想【例33】．（2022秋•阜宁县期中）如图，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．（1）运动几秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分？（2）运动几秒时，P，Q两点之间的距离是10cm？【分析】设运动时间为t秒，根据题意可得0≤t≤；（1）由题意可得CQ＝tcm，AP＝4tcm，即知S梯形PADQ＝＝9t+42，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2时，9t+42＝×14×6，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5时，9t+42＝×14×6，解方程可得答案；（2）过P作PM⊥CD于M，可证明四边形ADMP是矩形，故∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm，由勾股定理可得|14﹣5t|2+62＝102，即可解得答案．【解答】解：设运动时间为t秒，根据题意可得0≤t≤；（1）∵点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，∴CQ＝tcm，AP＝4tcm，∴DQ＝（14﹣t）cm，∴S梯形PADQ＝＝＝9t+42，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2时，9t+42＝×14×6，解得t＝2，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5时，9t+42＝×14×6，解得t＝﹣2（舍去），∴运动2秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分；（2）过P作PM⊥CD于M，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵PM⊥CD，∴∠APM＝90°，∴四边形ADMP是矩形，∴∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm∴QM＝|DQ﹣DM|＝|14t﹣t﹣4t|＝|14﹣5t|（cm），∵QM2+PM2＝PQ2，P，Q两点之间的距离是10cm，∴|14﹣5t|2+62＝102，解得t＝或t＝（大于，舍去），∴运动秒时，P，Q两点之间的距离是10cm．【点评】本题考查一元一元一次方程和一元二次方程的应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度．【检测卷】一、单选题1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）方程的两个根为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将原方程的常数项移项到方程右边，利用平方根的定义开方即可求出方程的解．【详解】解：方程，移项得：，开方得：，∴．故选：D．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣直接开方法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A．且 B．且 C． D．【答案】D【分析】分两种情况讨论：①，为一元一次方程；②，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可．【详解】解：①当时，此时方程为，有实数根；②当时，此时方程为为一元二次方程，∵方程有实数根∴，解得：综上所述：故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：，二次项化系数为1得：，移项得：，配方得：，整理得：，故选：D．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）方程的两个根为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据解一元二次方程——因式分解法，进行计算即可解答．【详解】解：，，或，，故选D．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程——因式分解法是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（

）A． B．C．（ D．【答案】A【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可．【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文，则可列方程为：，故选：A．【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．6．（2022秋·湖南怀化·九年级校考期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及整理即可求解．【详解】解：由题意得：，，则：，即：，解得：，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的是解题的关键．7．（2023·山东临沂·统考一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．【详解】解：，，，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．8．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（

）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022【答案】D【分析】令代入原方程即可求出原式的值．【详解】解：令代入∴∴原式故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．9．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）随着春天的到来，到植物园赏花的游客越来越多，2023年3月份的游客人数是元月份的3倍．设2、3月份游客人数的平均增长率为x（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设2、3月份游客人数的平均增长率为x，元月份的游客人数为a人，则2月份的游客人数为，3月份的游客人数为人，再根据3月份的游客人数是元月份的3倍列出方程即可．【详解】解：设2、3月份游客人数的平均增长率为x，月份的游客人数为a人，由题意得，，即．故选：C．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列方程中，有一个根为的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别利用因式分解法解方程，进而判断得出答案．【详解】解：A、，解得：，故此选项错误；B、，解得：，故此选项错误；C、，解得：，故此选项正确；D、，解得：，故此选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握因式分解法解方程是解题关键．二、填空题11．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的值为，【答案】【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：根据题意得，，即：，故答案是：．【点睛】本题主要考查的一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．12．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程的根，则这个三角形的周长为．【答案】11【分析】先运用因式分解法解一元二次方程得到第三边的可能长度，再根据三角形的三边关系确定第三边的长，最后求周长即可．【详解】解：，解得：，∵一个三角形的两边长为3和5，∴第三边长的取值范围是：，则第三边长为：3，∴这个三角形的周长为：11．故答案为：11．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，根据题意确定确定第三边的长是解答本题的关键．13．（2023秋·江苏·九年级专题练习）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是．【答案】【分析】时为一元一次方程，有实根；时为一元二次方程，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．【详解】解：依题意得：时，即，方程为：，是一元一次方程，有实根，时，一元二次方程有实数根，，解得．综上所述：，故答案是：．【点睛】本题考查了根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想．14．（2023秋·江苏·九年级专题练习）请你写出一个关于的一元二次方程，使得方程的两根互为相反数，你所写的方程是．【答案】（答案不唯一）【分析】先设所求方程式，根据根与系数的关系、结合两根互为相反数，可求以及满足条件，从而可求方程的解析式．【详解】解：设所求方程式，∵是方程的两个根，且互为相反数，∴，∴所求方程是，故可取（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系，设所求方程二次项系数等于1是解决问题的关键．15．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x和y满足，则．【答案】【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】解：∵，∴且，解得：，，则，故答案为：．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：且，，那么的值等于．【答案】或2【分析】先把已知条件化为，再利用因式分解法得到或，然后把或分别代入中计算即可．【详解】解：∵，即，∴，∴或，当时，即；当时，即，∴的值等于或2．故答案为：或2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．17．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为，则依题意可得到的方程是．【答案】【分析】设这三个奇数为根据题意列方程求解．【详解】解：设第二个奇数是，则第一个为，第三个为，根据题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用连续奇数的特点列出方程．18．（2023·河北衡水·统考二模）六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示．（1）若，则矩形A的水平边长为；（2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长：；（3）若矩形A，B的面积相等，则．【答案】【分析】（1）根据图可得矩形A的长个小矩形宽，即可得到矩形A的水平边长；（2）根据图可得矩形A的宽个小矩形宽，进而得到矩形A的竖直边长，即可得到答案；（3）分别表示出矩形A，B的面积，根据矩形A，B的面积相等即可得到答案．【详解】解：设矩形A的水平边长为，矩形A的竖直边长，（1）由图可知，；（2）由（1）可知，由图可知矩形A的周长；（3）由题知，矩形A的面积；由图知，矩形B的面积矩形A，B的面积相等,①小矩形纸片长，矩形A的水平边长为由图可知小矩形纸片长矩形A的水平边长②联立①②解得，（舍去）．故答案为：；；．【点睛】本题主要考查列多项式，多项式的值，一元二次方程，掌握解题的方法以及解方程的方法是解题的关键．三、解答题19．（2023秋·江苏·九年级专题练习）解关于的方程（合适的方法）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；（2）把看作一个整体，因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）∴或∴；（2）∴或∴．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．化简，得，故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)(2)【分析】（1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得；（2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得．【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，得：，故答案为：；（2）解：设所求方程的根为，则，于是，把代入方程，得，去分母，得，若，有，于是，方程有一个根为，不合题意，∴，故所求方程为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．【答案】(1)见解析(2)当时，或，当时，或【分析】（1）计算其判别式，判断其为正数，即可证得结论；（2）由根与系数的关系可求得和的值，代入已知等式可得到关于k的方程，可求得k的值，再代入方程求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵是上述方程的两个实数根，∴，∵，∴，即，解得或，当时，方程为，解得或，当时，方程为，解得或．【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，利用根与系数的关系表示出两根积与两根和是解题的关键．22．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米．

(1)求y与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？【答案】(1)(2)7米【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出的长为米，利用矩形的面积计算公式，可用含的代数式表示，再结合边的长大于0且长度不超过米，即可得出的取值范围；（2）根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）解：的长为米，且篱笆的总长度为米，的长为米．花圃的面积，∵墙的长度为，∴，，∴；（2）解：依题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），．答：的长是米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停