人教版高中数学《三角函数》全部教案7

第四章三角函数

第一教时

教材：角的概念的推广

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象

限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值

来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，

它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术

中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1.回忆：初中是任何定义角的？(从一个点出发引出的两条射线构成的几

何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭

隘”

2.讲解：“旋转”形成角(P4)

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于x轴正半轴

3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角《或Na可以简记成二

4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1°角有正负之分如：a=210。p=-150°Y=-660°

2°角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周(360°X2=720°)3周(360°X3=1080°)

3°还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来,

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在

坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)

例如：30°390°-330。是第I象限角300°-60。是第IV

象限角

585°1180。是第m象限角-2000。是第H象限

角等

四、关于终边相同的角

1.观察：390。，-330。角，它们的终边都与30。角的终边相同

2.终边相同的角都可以表示成一个0。到360。的角与攵（keZ）个周角的和

390°=30°+360°(k=1)

-330°=30°-360°(k=-l)30°=30°+0X360°

(女=0)

1470°=30°+4X360°(4=4)

-1770°=30°-5X360°(k=-5)

3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

S={Q|P=a+036(r,kez}

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和

4.例一（P5略）

五、小结：1°角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

2°“象限角”与“终边相同的角”

六、作业：P7练习1、2、3、4

习题1.41

第三教时

教材：弧度制

目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的

集合与实数集R一一对应关系的概念。

过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制一角度制的定义。

二、提出课题：弧度制一另一种度量角的单位制

它的单位是rad读作弧度

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心

角称为1弧度的角。

如图：ZA0B=1rad

ZA0C=2rad

周角二27trad

1.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2.角a的弧度数的绝对值囱=：3为弧长，/•为半径）

3.用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算

抓住：360°=27trad.,.180。=兀rad

，1°=—raJ»0.01745raJ

180

1必/=（竺3B57.30°=57°18'

例一把67。30,化成弧度

解：67。30'=1674/.6730'=—raJx67-=-Tirad

<2）18028

例二把三行〃化成度

33

解：一—xl80=108°

55

注意几点：1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进

行；

2.今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省

略如：3表示3radsin兀表示7trad角的正弦

3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9

表）

4.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是

弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应

的关系。

任意角的集合实数集R

四、练习（P11练习12）

例三用弧度制表示：1。终边在x轴上的角的集合2。终边在y轴

上的角的集合3。终边在坐标轴上的角的集合

解：1。终边在X轴上的角的集合S,={/3\/3=k^,keZ}

2。终边在y轴上的角的集合52=h\P=k7r+^k^Z

3。终边在坐标轴上的角的集合$3=£|力=勺，攵eZ

例四老《精编》P118-1194、5、6、7

五、小结：1.弧度制定义2.与弧度制的互化

六、作业：课本P11练习3、4P12习题4.22、3

第四教时

教材：弧度制（续）

目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的

问题。

过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

口答《教学与测试》P101-102练习题1—5并注意紧

扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二

二、由公式：H-―工I•囱比相应的公式/="简单

11rL--------11180

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

例一（课本P10例三）利用弧度制证明扇形面积公式5=,质其中/是扇

2

形弧长，/?是圆的半径。

证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：—TLR1

比较这与扇形面积公式5摒=%要简单

例二《教学与测试》P101例一直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对

的弧长⑴丝(2)165°

3

解：r-10cm(1)：I=ar=x10=~~~(cm)

TT1\jr

(2)：165°=---x165(raJ)=---rad/.

18012

/=—xlO=^^

例三如图，已知扇形A08的周长是6cm,该扇形

的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为r,弧长为/,则有

夕+/=6"=2-'一1

扇形的面积S=—rl—幺）

例四计算sin工

解：2=45°，sin-=sin450=—

1.5rad=57.30*x1.5=85.95°=85°57'

tanl.5=tan85°57'=14.12

例五将下列各角化成0到2兀的角加上2k^kGZ)的形式

19

(1)—n(2)—315°

TT

-315°=45°-360°=—-2万

4

例六求图中公路弯道处弧AB的长/（精确到1m）

图中长度单位为：m

解：60°=-

3

，Z=|a|./?=^x45«3.14xl5»47（m）

三、练习：P116、7《教学与测试》P102练习6

四、作业:课本P11-12练习8、9、10

P12-13习题4.25—14

《教学与测试》P1027、8及思考题

第五教时

教材：任意角的三角函数（定义）

目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解a角与B=2k7i+a（keZ）

的同名三角函数值相等的道理。

过程：一、提出课题：讲解定义：

1.设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点p（x,y）

则P与原点的距离r==G+y2>0（图示见P13略）

2.比值上叫做a的正弦记作：sin6Z=—

rr

X

比值也叫做a的余弦记作：COS6Z=

rr

比值上叫做a的正切记作：tana=y_

XX

X

比值二叫做a的余切记作：cota=

yy

比值二叫做a的正割记作：seccif=—

XX

r

比值立叫做a的余割记作：CSCa=

yy

注意突出几个问题：①角是“任意角”，当B=2k兀+a（keZ）时，p与a的

同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相

等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下

面有例子说明）

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④尸〉0,而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函

数的符号应由象限确定（今后将专题研究）

⑤定义域：

y=sinaRy二=cota

y=cosaRy==seca

y=tanaawkji-\——(kGZ)y二-esca

awk7i(kGZ)

冗

awk7r+—(kGZ)

awk兀(kGZ)

二、例一已知a的终边经过点P(2,-3),求a的六个三角函数值

〉|解：x=2,y=—3,r=^22+(―3)2=Vt3

3V132VT

0k.sina二-----------cosa=-----------------

1313

(二32

\P2,-3)tana:——cota=—

23

V13

sec"-----CSCOF一

2亍

例二求下列各角的六个三角函数值

3471

(1)0(2)兀(3)—(4)-

22

解：⑴⑵⑶的解答见P1677

(4)当a='时x=0,y=r

••Sin——1cos——0tan—彳、cot——0

2222

sec工不存在esc-=1

22

例三《教学与测试》P103例一求函数y=随W+誓的值域

cosx|tanx|

解：定义域：cosxM；.x的终边不在x轴上

又丁tanx^Ox的终边不在v轴上

・••当x是第I象限角时,x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|/.y=2

............II..................,x<0,y>0Icosxl-cosx|tanx|-tanx/.

y=-2

，

...............IllIV...........x>o,y<oIc1osx|='-cosxIt'anxl=tanxy=0

例四《教学与测试》P103例二

(1)已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值

⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(awO)求2sina+cosa的值

,342

ft?：(1)由:r=5sinot——cosot——♦.2sina+cosa=—

555

342

(2)若Ha>0r=5a贝ijsina=—cosa=­/.2sina+cosa=—

555

“342

若a<0r=-5a贝ijsina=—cosa=­/.2sina+cosa=—

555

三、小结：定义及有关注意内容

四、作业：课本P19练习1P20习题4.33

《教学与测试》P1044、5、6、7

第六教时

教材：三角函数线

目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数

的定义域、值域有更深的理解。

过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数

是一个“比值”

二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：

用单位圆中的线段表示三角函数值

三、新授：

2.介绍（定义）“单位圆”一圆心在原点0,半径等于单位长度的圆

3.作图：（课本P14图4-12）

此处略..................................

设任意角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，

角a的终边也与单位圆交于P,坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B

两点

过P（x,y）作PM_Lx轴于M,过点A（1,0）作单位圆切线，与a

角的终边或其反向延长线交于T,过点B（0,1）作单位圆的切线，与a角

的终边或其反向延长线交于S

4.简单介绍“向量”（带有“方向”的量一用正负号表示）

“有向线段”（带有方向的线段）

方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。

例：有向线段0M,0P长度分别为

当0M=x时若x>00M看作与x轴同向0M具有正

值x

若x<00M看作与x轴反向

0M具有负值x

yy

5.sina=—=—=y=MP、

r1

xx

cosa=—=—=x=OM有向线段

r1

MP,OM,AT,BS分别称作>')

yMPAT

tana====ATa角的正弦线，余弦线,

xOMOA

正切线,余切线>

xOMBS

cota=—=-----=-----=BS

yMPOB

四、例一.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

色。里与

1°sin-sin—2°tan-tan3cot

35353

工4万

cot——

5

解：'B如图可知：

.'A

2444

tan——<tan——

35

例二利用单位圆寻找适合下列条件的0。到360。的角

例三求证：若04弓<。2〈工时，贝Usinaysinaz

证明:分别作a”a?的正弦线x的终边不在x轴上

sinoti=MRsinaz=M2P2

・Q<a2<—

:.MR<M2P2即sinai<sina2

五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线

六、作业：课本P15练习P20习题4.32

补充：解不等式:(xG[0,2^-))

1°sinx2——2°tanx>-1

2

21

3°sinxW—

2

第七教时

教材：三角函数的值在各象限的符号

目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号,

并由此熟练地处理一些问题。

过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值

二、提出课题然后师生共同操作：

1.第一象限：/>0,y>0

sina>0,cosa>0,tana>0,cota>0,seca>0,csca>0

第二象限：.x<0,y>0二

sina>0,cosa<0,tana<0,cota<0,seca<0,csca>0

第三象限：.x<0,y<0

sina<0,cosa<0,tana>0,cota>0,seca<0,csca<0

第四象限：.x>0,y<0

sina<0,cosa>0,tana<0,cota<0,seca>0,csca<0

记忆法则：

sina，_

为正全正

esca

tana4丁cosa

为正为正

cotaseca

2.由定义:sin(a+2kn)=sinacos(a+2k?i)=cosa

tan(a+2kn)=tana

cot(a+2k7i)=coasec(a+2k?i)=seca

esc(a+2kju)=csca

三、例一(P18例三略)

sin。<0(1)

例二(P18例四)求证角0为第三象限角的充分条件是

tan<9>0⑵

证：必要性：

若0是第三象限角，则必有sin8<0,tan0>0

充分性：

若⑴⑵两式成立•.•若sin0<0贝哨角的终边

可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴

若tan0>0,则角0的终边可能位于第一或第三象限

V(l)(2)者械立二。角的终边只能位于第三象限

.•.角0为第三象限角

例三(P19例五略)

四、练习：

1.若三角形的两内角a,p满足sinacosp<0,则此三角形必为.......(B)

A：锐角三角形B：钝角三角形C：直角三角形D：以上三种情况

都可能

2.若是第三象限角，则下列各式中不成立的是......................

(B)

A：sina+cosa<0B：tana-sina<0

C：cosa-cota<0D：cotacsca<0

qq

3.已知。是第三象限角且cos上<0,问2是第几象限角？

22

JT

解：；(2k+1)》<<9<(2k+1)乃+5(kwZ)

k7V+-<-<k7T+~(keZ)则岂是第二或第四象

2242

限角

又•••cos,<0则口是第二或第三象限角

22

，,必为第二象限角

2

/［、sin26

4.已知3<1，贝帕为第几象限角？

z［、sin23

解：由卜<1，sin20>O

.\2k7r<20<2kjc+K(kGZ)kK<0<k7i+y

•••0为第一或第三象限角

五、小结：符号法则，诱导公式

六、作业：课本P19练习4,5,6

P20-21习题4.36-10

第八教时

教材：同角三角函数的基本关系

目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正

确运用进行三角函数式的求值运算。

过程：

一、复习任意角的三角函数的定义：

计算下列各式的值：

l.sin2900+COS29002.sin2300+cos23003.tan45°-cot245°

.n.3TI

sinsin—

/5兀5兀

475.—6.tan----cot——

兀3兀66

coscos—

34

二、1.导入新课：引导学生观察上述题目的结果(并像公式“方向”引导)

sina

引导猜想：sin2a+cos2a=1tanatana-cota=1

cosa

2.理论证明：(采用定义)

_2X.22i

1°,・•x2+y2=r2且sina-,cosa=—sina+cosa=1

rr

TTsina

20当a丰ku+Q（keZ）0寸,----；---——x———tana

cosarrrxx

3°当a。z兀且01。&兀+四时，tana-cota=—•—=1

2xy

3.推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：sec2a-tan2a=l

esc2a-cot2a=1

sina

=tana这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有:

cosa

cosa

-----=cota

sina

tana・cota=l这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：

escasina=1seca-cosa=1

4.点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。

5.注意：

1。“同角”的概念与角的表达形式无关，

.a

sin—）a

如：sin23a+cos23a=1------=tan—

a2

cos—

2

2。上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

3。据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数

值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解,

因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。

三、例题：

例一、（课本P25例一）略

注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。

例二、（课本P25例二）略

注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。

例三、（课本P25例三）略

实际上：sec2a=tan2a+1即cos?a=------------

1+tan-a

当a为第一、四象限角

当a为第二、三象限角

而

tana

当a为第一、四象限角

2

cosa=1+tana

jna_当a为第二、三象限角

+tan2a

四、小结：三种关系，八个公式

五、作业：P27练习1—4

P27—28习题4.41—4

第九教时

教材：同角三角函数的基本关系⑵——求值

目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并

从中了解一些三角运算的基本技巧。

过程：

二、复习同角的三角函数的基本关系：

练习：已知cosa=m（mw0,mw±1）,求a的其他三角函数值。

解：若a在第一、二象限，则

seca=—sina=yll-m21

esca=•/丁

mVl-w2

Jl一m2m

tana=-----------cota=」一

mVl-m2

若a在第三、四象限，则

1

seca=—sina=-Vl-zw2esca=--/

inyll-m2

Jl-m2m

tana=------------

mJl一团一

六、例一、（见P25例四）化简:

角星：71-sin2(360°+80°)=Vl-sin2800=Vcos280°=cos80°

例二、已知since=2cosa,求包上一生竺匕及sin2a+2sinacosa的值。

5sina+2cosa

解：*/sina=2cosatana=2

sina-4cosa_tana-4_-2_1

5sina+2cosa5tana+2126

.23•sin2a+2sinacosatan2a+2tana4+26

sin-a+2sinacosa=--------------------------=---------------------=-------=—

sina+cosatana+l4+15

强调（指出）技巧：1。分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

2。“化1法”

例三、已知sina+cosa=——，求tana+cota及sina-cosa的值。

3

解：将sina+cosa=两边平方，得：sinacosa=——

3

tana+cota=-.................=-3

sinacosa

25

(sina-cosa)72=1-2sinacosa=1+y=—

sina-cosa=±J-A----

3

例四、已知tana+cota=一,

求tana-cota,tan2a-cot2a,tan3a+cot3a,sina+cosa

解：由题设：tan2a+cot2a=^^--2,

144

.16257

・・tana-cota=±J-------4A=±一

V14412

tana-cot-a=(tana+cota)(tana-cota)=—x(±—)=

tan5a+cot3a=(tana+cota)(tan2a+cot2a-tanacota)

25月37-251934825

12144121441728

sina+cosa=±Jl+2sinacosa=

/12512.

(vtana+cota=--------------=—/.sinacosa=­)

sinacosa1225

例五、已知sina+cosa=:(0<0<TI),求tan0及sin,0-cos,0的值。

]2IT

解：1°由sinacosa=-石，0<0<K,得：cosO<00G(—,n)

497

由(sina-cosa)2=一,得：sin0-cos0=—

1sin0=1

sin0+cos04

联立:—=>tan0=——

尹c33

sin0-cos0cos0=——

55

例六、已知sina=土包，cosa=—,a是第四象限角，求

m+5m4-5

tana的值。

解:Vsin2a+cos2a=14—2加y+(-)2=]

m+5m+5

化简，整理得：m[m-8)=0/.mx—0,m2=8

一43

当加二0时，since=—,cosa=-（与a是第四象限角不合）

5

125_12

当/=8时，sina=-----,cosa=—,二.tana=

1313—一工

七、小结:几个技巧

八、作业:《课课练》P12例题推荐1、2、3

P13课时练习6、1、8、9、10

P14例题推荐1

《精编》P3514

第十教时

教材：同角三角函数的基本关系⑶——证明《教学与测试》第50课

目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。

过程：

三、复习同角的三角函数的基本关系：

例：（练习、《教学与测试》P25例一）

已知sina—cosa=-2,求sinacosa的值。

4

25259

角星：（sina-cosa）2-——即：l-2sinacosa--sinacosa-------

161632

九、提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）

例一、（见P25例四）化简:

解:原式=J1-sin2(360°+80°)=71-sin2800=7cos280°=cos80°

例二、已知a是第三象限角，化简、匕吧巴匕?吧（《教学与测试》

V1-sinaV1+sina

例二）

(1+sina)(l+sina)1(1-sina)(l-sina)

解:

(1+sina)(1-sina)\(1+sina)(l-sina)

(14-sina)2(1-sina)2_1+sina1-sina

1-sin2aV1-sin2a|cosa||cosa|

•・,a是第三象限角，.二cosa<0

...原式=1±包2一匕包W=—2tana（注意象限、符号）

-cosa-cosa

__、Tcosa1+sina

例/RIL二、求证：---------=----------（课本P26例5）

1-sinacosa

证左边=cosa(l+sina)=cosa(l+sina)cosa(l+sina)

(l-sina)(l+sina)1-sin2a=cos7a

1+sina/

=-------=右边.•.等式成立（利用平方关

cosa

系）

证二:

v(1-sina)(l+sina)=1-sin2a=cos2a且1-sinaw0,cosaw0

cosa_1+sina

（利用比例关系）

1-sinacosa

证三.

cosa1+sina_cos2a-(1-sina)(l+sina)_cos2a-(l-sin2a)

1-sinacosa(1-sina)cosa(1-sina)cosa

cos2a-cos2acosa_1+sina

（作差）

(1-sina)cosa1-sinacosa

例三、已知方程2x?-(6+1)工+机=0的两根分别是sin。,cos9,

求XL+_£2^_的值。(《教学与测试》例三)

1-cot01-tan0

Hasin20cos20sin20-cos20.八八

角牛：•・•原式=----------+-----------=-------------=sin。+cos0

sin0-cos0cos0-sin0sin0-cos0

.•.由韦达定理知：原式=且把(化弦法)

2

例四