上海市八年级数学第一学期教案

八年级上半学期教案

课题16.1(1)二次根式

原目标：

1.知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、代数

式及其运算的发展；

2.理解而有意义的条件，理解叱二问；

3.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范

一、教学目标

围.

现目标：知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、

代数式及其运算的发展；

2.理解正有意义的条件，理解=

二、教学重点理解有意义的条件，掌握籽=同.

和难点

三、教学准备粉笔

四、教学过程

教学步

师生活动意图说明

骤

导入复习回顾，引出新

上学期学习了开平方运算，正数a的平方根可表示为土

课。

练习：当a20时，化简册7和(6)2

新授1、观察思考：

«(a>0)是一个代数式，叫做二次根式，a是被开方数.

举例说明：双、g、，。2+1、正—4ac(M-4acNU)

等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方根，所以象提高学生的小结

能力

G，%S<0)这样的式子没有意义，二次根式有意义的条

件是被开方数是非负数.

二次根式的两个性质：1)后=a(aN0)；2)

(«)2=a(a>0)

例一帮助学生理

例1：设X是实数，当X满足什么条件时，下列各式有意义？

解4a有意义的

1)J2x-1；

条件并体会他的

基本运用。

3)6

例二:注意本例与

4)y/1+x2

问题1中的分类

例2：求下列二次根式的值：讨论的结果的联

系,这类题学生容

1)[(3-7

易错。

2)Vr—2x+1,其中x=—V3.

例3：本题是一道

例3：设d、。、。分别是三角形三边的长，化简：综合性题，既结合

前两题的特点有

d(a-b+c)~+Q(b-c-a)~

又结合上学期的

三角形知识，巩固

填表，日为任意实数时，C与的关系.

M又知新。

a(a>0)

即C=«="

0(。=0)

-a(a<0)

五、巩固回家作业练习册习题16.1(1)

训练

课堂练习：1)设X是实数，当X满足什么条件时,下列各式有意义？

2—x；②—JgX—2

①J

2)课本16.1

六、教学

掌握与时的关系是本堂课的重点及难点，不仅是二次根式的一个重要性

反思

质，同时也渗透了分类思想；另外，要使二次根式有意义，不仅要满足被开方数为

非负数，还要注意分母不能为0.

课题二次根式(2)

一、教学目标

原目标：掌握二次根式的性质3、4,会根据二次根式的性质化简二次根式

现目标：掌握二次根式的性质3、4,会根据二次根式的性质化简二次根式

二、教学重点和

根据二次根式的性质化简二次根式.

难点

三、教学准备

四、教学过程

教学步骤师生活动意图说明

导入一、复习提问：

1.什么叫二次根式？二次根式有意义所要满足的条件是什么？回顾已学知

2.我们学了哪些二次根式的性质？识，引出新

3、回忆另外两个二次根式的性质：知识。

\[ab=>[a<\[b(a>0,b>0)；(«>0,Z?>0)

新授1、观察思考：提问：通过

比较两对二

提问2：屈与3正相等吗？为什么？

次根式的大

答：相等小，顺利引

出“化简二

利用二次根式的性质很容易把化成囱乂行，从而得

次根式”的

概念，尤其

至U3后.一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因式的乘

对于化去二

积，其中有的因式是完全平方式，则可用它的非负平方根代替次根式中的

分母要着重

后移到根号外面.即：=b4a(a>0,b>0)

讲解，并多

加练习，是

提问2：与逅相等吗？为什么？

本节课的一

V84

个难点.

答：相等

利用分数的基本性质以及二次根式的性质能证明它们相

等，如果二次根式中被开方数是分式(或分数)则要化去分母.

把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者

化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”，通常把形

如加、后(。20)的式子也叫做二次根式，如3及，2ay/b2+1

等.

例3：化简二次根式：例3

本节课的教

1)V72

学设计，力

求体现出在

2)2a3

教师引导

下，师生共

3)>0)

同讨论、分

例4：化简二次根式：析、归纳，

掌握化简二

次根式的一

般步骤，并

通过课堂练

2,后

习让学生在

课堂上达到

3,&>0)巩固所学知

识的目的.

总结

(1)注意掌握化简二次根式的两个基本步骤，即先将二次根式

中的分母化去，再把二次根式中所含的完全平方因式移到根号

外.

(2)在化简二次根式时，要注意判断根号内字母的取值范围，

从而正确化简.

五、巩固训练习册习题16.1(2)

练课本16.1(2)

六、教学反

思在化简二次根式时，除了养成规范的解题步骤外，还应特别注意学会判断

题目中字母的符号.

16.2(1)最简二次根式和同类二次根式

课题

一、教学目标

原目标：1.经历最简二次根式概念的形成过程，理解最简二次根式的概

念，通过化简二次根式,体会研究二次根式的方法.

2.会判别最简二次根式，会化最简二次根式.

现目标：1.经历最简二次根式概念的形成过程，理解最简二次根式的概

念，通过化简二次根式,体会研究二次根式的方法.

2.会判别最简二次根式，会化最简二次根式.

二、教学重点和

会判别最简二次根式，会把不是最简的二次根式化为最简二次根式.

难点

三、教学准备

四、教学过程

教学步骤师生活动意图说明

导入

通过观察三个

一、复习提问：二次根式的化

1.如何化简二次根式？简结果，顺利

2.化简下列二次根式：引出“最简二

次根式”的概

V183后

念，并通过举

例学会判断一

Fa

个二次根式是

V3亍

否为最简二次

根式.

b2八、by/a..

A—(^>0)-0>»)

v9a3a

新授

1、观察思考：

观察每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变

化,化简后的被开方数是由那些共同的特征.

师生共同讨论总结：

1)被开方数中各因式的指数都为1;

2)被开方数不含分母.

师生共同总结：同时符合上述两个条件的二次根式，叫做

最筒二次根式.例一和二：在

教师引导下，

举例说明：如J荻、22+y、J6加(/+/)等都是师生共同讨

论、分析、归

最简二次根式.纳，掌握化成

2、例题分析：最简二次根式

例1：判断下列二次根式是不是最简二次根式：的一般步骤，

并通过课堂练

Y

习让学生在课

堂上达到巩固

所学知识的目

2)V42fl

的.

例2：将下列二次根式化成最简二次根式：

1)j4x3y2(y>0)

2)J(a2-b2)(a+b)(a>b>0)

总结

(1)掌握判断最简二次根式的依据：二次根式里被开方数

中各因式的指数都为1且被开方数不含分母.

(2)化简二次根式时，要特别注意判断根号内字母的取值范围，

从而正确化简.

五、巩固训练习册习题16.2(1)

练

课堂练习：1),24/

2)(m>n>0)

\m-n

3)J3(Q~+2a+1)(〃N-1)

六、教学反

思在化简二次根式时，如果要将被开方数中某个完全平方式的因式用它的正的

平方根(即算术平方根)代替后移到根式外，那么这个正的平方根(即算术平方

根)必须是“非负”的.因此，要根据二次根式有意义以及已给定的条件，判断

字母或因式的取值范围.

16.2(2)最简二次根式和同类二次根式

课题

一、教学目标

原目标：

理解同类二次根式的含义，会判别几个二次根式是否是同类二次根

式；通过与同类项类比，体会类比思想.

现目标：

合并同类二次根式

二、教学重点和

合并同类二次根式.

难点

三、教学准备

四、教学过程

教学步骤师生活动意图说明

导入

一、复习提问：通过化简两

1.最简二次根式必须满足的条件是什么？个二次根

1±式，进一步

观察得出化

2.把庖和12a化成最简二次根式：

简后的被开

方数完全相

同，从而顺

J8a=2j2a；\2ala

利引出“同

类二次根

式”的概念，

并通过举例

学会判断几

个二次根式

是否为同类

二次根式.

新授

1、观察思考：

观察化简后的有何特征？

师生共同归纳总结：

二次根式里两个被开方数都是2a,完全相同.

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，

「1±

那么这几个二次根式叫做同类二次根式.上述'8。和就

是同类二次根式.例3：使学生

在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根从中体会判

式也可以合并，它的依据是提取公因式.断几个二次

2、例题分析：根式是否是

例3：下列二次根式，那些是同类二次根式：同类二次根

3_式，只看他

们化为最简

V12V24,V27,

二次根式后

24a3b(a>0),-Ja/(a>0)被开方数是

否相同；字

母的取值范

围是根式自

身的要求。

例4的教学，

例4：合并下列各式中的同类二次根式：只是被开方

数相同的二

2V2--V3+-V2+V3

次根式的加

1)23；

减，不涉及

2)3y[xy-ay[xy+by[xy二次根式的

化简；同时

与整式加减

时的合并同

类项类比，

体会其中的

数学思想.

总结

(1)掌握判断同类二次根式的依据：即先化成最简二次根式，再看被开方数

是否相同.

(2)合并同类二次根式时，可类比合并同类项.

五、巩固训1课堂练习：课本习题16.2(2)

练回家作业:练习册习题16.2(2)

六、教学反最简二次根式和同类二次根式是进一步研究二次根式运算的的知识基础，

思所以在教学中要注重这两个基本概念的形成过程，体会从具体到抽象，从特殊

到一般的思考方法.

16.3(1)二次根式的加法和减法

课题

一、教学目标

原目标：掌握二次根式的加减法运算法则：

在二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透分析、概括、类比

等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣.

现目标：掌握二次根式的加减法运算法则；

在二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透分析、概括、类比

等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣.

二、教学重点和

掌握二次根式的加减法运算法则.

难点

三、教学准备

四、教学过1里

教学步骤师生活动意图说明

导入

复习提问：首先让学生

问题1:如何化简二次根式？回顾最简二

问题2：什么是同类二次根式？如何合并同类二次根式？次根式、同

类二次根式

等概念，从

而引入二次

根式加减

法.

新授

1、新课引入：

通过整式的加减归结为合并同类项，类比得到二次根式的加减

也归结为合并同类二次根式.

2、例题分析：

例题1（师生共同完成）怎样计算

a1+，5面——J—+26?

2\a

原式二2a2y/2a+5a42a-4-14a例题1让

2学生自己总

=(2a2+5a一耳)J2cl+25/^结出二次根

式的加减的

由此可见，二次根式的相加减的一般过程是：一般步骤：

先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式先化简后合

分别合并.并巩固二次

根式加减

例题2（集体练习，个别演示）计算：法：接着通

(1)36+叵

过例题2、3

2巩固二次根

(2)(A/0^5-2-^-)-~V75)式加减法的

运算能力.

通过二次根

例题3（集体练习，个别演示）计算：式的加减法

(1)—X9m.H—V16/77—Y2m解含二次根

34式的一元一

⑵g屈+6后-2噌次方程、不

等式.

_________

(3)J5O(〃—(先判断出(p-q)大于零)

'Vp-q

例题4（集体练习，个别演示）解方程和不等式：

（1）后

⑵2x+4>4x-4

总结1、二次根式的加减归结为合并同类项；

2、二次根式的相加减的一般过程.

五、巩固训课堂练习课本16.3（1）

练回家作业：练习册习题16.3（1）

六、教学反

思此节教学的难点是正确化简二次根式尤其是被开方数比较复杂的二次根式的

化简.解含二次根式的一元一次方程、不等式也容易出错.

§16.3（2）二次根式的乘法和除法

课题

一、教学目标

原目标：掌握二次根式的乘法和除法运算：在二次根式的乘法和除法

运算法则的学习中，渗透类比、化归等数学思想方法，提高学生的思维品

质和学习兴趣.

现目标：

同上

二、教学重点和

难点掌握二次根式的乘除法运算法则.

三、教学准备

四、教学过程

教学步骤师生活动意图说明

导入

一、情景引入：情景引入：

1、引例：如图，将一个正方形分割成面积为S（平方单位）和通过将大正

2s（平方单位）的两个小正方形和两个长方形，求图中每个长方形中已知

方形（阴影部分）的面积.两小正方形

的面积，求

剩下的长方

形面积的问

题引入二次

根式的乘法

及乘法法

则；

新授

1、概念引入：

通过引例的计算，让学生说明运算的依据：二次根式的性质3：

五•、历=据此总结归纳出二次根式的乘法法则：两个

二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.

2、例题分析：

通过例题1

例题1计算：（集体练习，个别演示）

利用总结出

（1）724x732二次根式的

乘除法则进

（2）

行计算同时

解：⑴注意结果要

化简；再次，

工方法2：利用乘除法

万法1：r-

.—.—V24x<32关系引入二

V24xV32广r-次根式的除

_________=276x472

法法则并用

=J24X32=@X3X25要罚还

之计算；最

=13=1神后，通过二

方法3：次根式的乘

除法来解决

724x732

实际问题.

=2A/3xV2x472

=873xV2xV2

=16\/3

说明三种解法每一运算步骤的依据，讨论三种解法的异

同，

注意事项：结果必须化为最简二次根式.

(2)原式=2/?及

(3)原式=2abc\Q

思考：两个二次根式相除，怎样进行运算？依据是什么？

二次根式除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，

例2：解题时

根指数不变.只用除法法

则，不涉及

例题2计算：(集体练习，个别演示)

分母有理

(1)42a^^3b

化。结果要

(2)4a+b+ddc-b2c(a>b>0)化成最简根

式。

注意事项：结果必须化为最简二次根式.

解：(1)原式=近巫

3b

(3)原式=J，(“一〃).(思考为什么要注明a>b>0?)

c(a-b)

例题3探索：如果圆的面积与正方形的面积相等，那么

圆的周长与正方形的周长的比值是多少？

例3综合练

习

总结1、二次根式的乘除法法则；

2、运用二次根式的乘除法法则的注意事项.

五、巩固训练习册习题16.3(2)

练

课堂练习：

(1)(U〉O))

(2)y/abc^2>Jah(^

六、教学反二次根式的除法有两种算法，一是运用二次根式的除法法则；二是进行分母有

思理化。实际上归根到底是分母有理化。

§16.3(3)二次根式的乘法和除法

课题

一、教学目标

原目标：进一步掌握二次根式的乘除法，理解分母有理化的概念，初步掌

握分母有理化的方法，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一

次不等式.

现目标：

同上

二、教学重点和掌握分母有理化的方法，解系数或常数项含二次根式的一元一次方程(不等

难点式).

三、教学准备

四、教学过程

教学步骤师生活动意图说明

导入

1、问题思考：两个根式相除，岳十回可以写为半9,而引出新知识

而+J豆化简的结果是立迈.怎样把分母中的回化为

3b

3b?

新授

新课引入：

把捶的分数上、下两式看作两个数相除，利用除法的性

43b

质以及根式乘法法则可得：

42a_41a•43b_J6al_46ab

®(呵2_3b

把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，

一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根

号.

归纳：回回=3b,这个过程称为分母有理化而称为

回的有理化因式

思考：（1）如果二次根式是廊，J12m,Jx+y,怎样对

他们进行分母有理化？

思考：（2）如果二次根式是右+质.J%-J藐，....,

他们的有理化因式又是怎样的？（留待课后或下节课思考）

思考：（1）中的二次根式的异同点是什么？他们的有理化过例6：本题展示通

程是怎样的？过分母有理化实

在教师的指导下，学生完成思考：（1）中的问题.施二次根式除法

2、例题分析：的过程。再让学

例题6计算：（集体练习，个别演示）生比较各种算

法，学会灵活处

(1)72x712

理。

(2)Ja2-b2+2b(a>b>0)

说明：先确定合理的有理化因式再继续化简，如（2）中除

数多一个系数3,分子分母不必同时乘以3J2a+2d

例题7如图所示，在面积为2a的正方形ABCD中，截得

V3例7是二次根式

直角三角形ABE的面积为a,求BE的长.

3除法的简单运

用。

例8本题让学生

例题8解下列方程和不等式：学会解含二次根

(1)6-2瓜=-2叵式的一元一次方

程和一次不等

(3)V2X+6A/2>V3X(注意判断(正一g)<0,不

式。

等号方向要变)

总结分母有理化的方法

五、巩固训1练习册习题16.3(3)

练

课堂练习：(1)aZa+b(2)+6^/3>345x

课本16.3(3)

六、教学反例7是二次根式除法在面积问题中