2024届河北省张家口市高三下学期第三次模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3河北省张家口市2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷一、选择题1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,故对应的点为，在第三象限，故选：C2.已知双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可知，，所以，所以该双曲线的离心率为.故选：C3.现有一组数据，将这组数据按照从小到大的顺序排列，去掉第一个数和最后一个数后，则下列统计量一定不变的是（）A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差〖答案〗B〖解析〗现有一组数据，将这组数据按照从小到大的顺序排列为，去掉第一个数和最后一个数后为.原平均数为，删除后平均数为，不一定相等，故A不正确；根据中位数的定义可知，中位数不会发生改变，故B正确；因为最小的数据变大，最大的数据变小，其余数据不变，方差的意义是新数据与新平均值的波动情况，不能确定不变，故C不正确.原极差为，删除后极差为，不一定相等，故D不正确.故选：B.4.已知数列为等比数列，，则（）A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗C〖解析〗记数列的公比为，由题知，则，所以.故选：C5.的展开式中的系数为（）A. B.5 C. D.10〖答案〗A〖解析〗的展开式通项为，则的展开式中项为，所以的展开式中的系数为.故选：A6.已知抛物线的焦点为F，O为原点，直线与该抛物线交于M，N两点，且，则（）A.12 B.13 C.14 D.15〖答案〗B〖解析〗设，将直线与抛物线联立，消去有：，有，则,由于，因此，即，得到,因此，由于抛物线中，抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离，因此.故选：B7.已知正数m，n满足，则的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗因m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立，因为，所以，在等式两边同时乘以，可得：，即，解得.当且仅当时，即当时，取得最大值8.故选：D8.已知数列的前n项和为，且满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，，且，所以，记，则，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，，记的前n项和为，则.故选：A二、选择题9.已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，所以，又，，所以，所以，A正确；对于B，当时，直线不一定垂直于，B错误；对于C，由面面平行的判定定理可知，C正确；对于D，由面面垂直性质定理可知，若直线时，直线不一定垂直于，D错误.故选：AC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的一个周期为B.函数的图象关于点对称C.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为D.若，其中为锐角，则的值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，所以的最小值周期，所以是函数的一个周期，A正确；对于B，因为，所以，点不是函数的对称中心，B错误；对于C，由题知，，若函数为偶函数，则，得，因为，所以的最小值为，C正确；对于D，若，则，因为为锐角，，所以，所以，D正确.故选：ACD11.二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现．当前的计算机系统使用的基本都是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，我们用表示十进制数n在二进制下的数字各项之和（例如：，则十进制数5的二进制数为101，），则下列说法正确的是（）A.十进制数25的二进制数为1101 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，A错误；对于B，因为，所以十进制数100的二进制数为1100100，所以，B正确；对于C，设，则，则，所以，C正确；对于D，因为，所以，D正确.故选：BCD三、填空题12.圆与圆的公切线的方程为_______．〖答案〗〖解析〗圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6，因为，所以两圆内切，只有一条公切线，将圆化为一般式得：，，两式相减得，即，所以圆的公切线的方程为.故〖答案〗为：13.已知向量，若，则在上的投影向量为__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，所以，解得，因为，所以在上的投影向量为.故〖答案〗为：14.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率__________．〖答案〗〖解析〗因为比赛结束时，两人的得分总和为n，其中且两人的得分的差的绝对值为，所以，且为偶数，所以当，时，，当时，，当，且偶数时，若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下比赛中，第21球开始，奇数球与其之后的偶数球均为甲乙一胜一负，所以事件甲赢得比赛的概率为，同理乙赢得比赛的概率为，所以，时，的值也符合关系，所以，，，故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：．（1）解：的定义域为，因为，所以曲线在点处的切线斜率为，又，所以切线方程为，即.（2）证明：，令，则，因为，所以存在，使得，即，易知在上单调递增，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以当时，取得最小值：，由二次函数性质可知，在上单调递减，所以，即，所以.16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．（1）证明：；（2）若为内角A的平分线，且，求．（1）证明：记的中点为，则，因为，所以，所以为的垂直平分线，所以.（2）解：记，因，所以，所以，，又为内角A的平分线，所以，，在中，分别由余弦定理得：，联立可得，在中，由余弦定理得，所以.17.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，且平面平面．（1）求三棱锥体积的最大值；（2）若，点E为线段上一点，当二面角为时，求的值．解：（1）记BD的中点为O，连接OC，AO，因为为正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以，记，则，三棱锥体积，当时，三棱锥体积取得最大值.（2）记BC，CD的中点分别为F，H，连接OF，OH，则，又，所以，由（1）知平面，平面，所以，以O为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，所以，则，，，设，则，设为平面的法向量，则，取，则，易知，为平面的一个法向量，因为二面角为，所以，即，解得，所以.18.已知点分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，．（1）求椭圆C的离心率；（2）若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且面积的最大值为，直线与直线相交于点M，求的取值范围．解：（1）令，得，解得，所以，，即，整理得，解得（舍去）或.（2）易知，当点在短轴端点时，的面积最大，所以，解得，所以，椭圆C的方程为.易知，直线的斜率不为0，设其方程分别为：，，联立，解得，所以，由斜率公式可得，所以，，因，所以，，所以，，联立得，，所以，不妨记，，则，所以，易知，，所以所以，即的取值范围为.19.在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为．（1）假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式；（2）当N足够大时，证明：（其中）；（3）将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）．解：（1）由题知，投入资金为，所获利润为，所以.（2）由题可知，，即，所以.（3）由（2）可得，,因为，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即，记，则，根据实际意义知，，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即取得最大值.河北省张家口市2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷一、选择题1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,故对应的点为，在第三象限，故选：C2.已知双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可知，，所以，所以该双曲线的离心率为.故选：C3.现有一组数据，将这组数据按照从小到大的顺序排列，去掉第一个数和最后一个数后，则下列统计量一定不变的是（）A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差〖答案〗B〖解析〗现有一组数据，将这组数据按照从小到大的顺序排列为，去掉第一个数和最后一个数后为.原平均数为，删除后平均数为，不一定相等，故A不正确；根据中位数的定义可知，中位数不会发生改变，故B正确；因为最小的数据变大，最大的数据变小，其余数据不变，方差的意义是新数据与新平均值的波动情况，不能确定不变，故C不正确.原极差为，删除后极差为，不一定相等，故D不正确.故选：B.4.已知数列为等比数列，，则（）A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗C〖解析〗记数列的公比为，由题知，则，所以.故选：C5.的展开式中的系数为（）A. B.5 C. D.10〖答案〗A〖解析〗的展开式通项为，则的展开式中项为，所以的展开式中的系数为.故选：A6.已知抛物线的焦点为F，O为原点，直线与该抛物线交于M，N两点，且，则（）A.12 B.13 C.14 D.15〖答案〗B〖解析〗设，将直线与抛物线联立，消去有：，有，则,由于，因此，即，得到,因此，由于抛物线中，抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离，因此.故选：B7.已知正数m，n满足，则的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗因m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立，因为，所以，在等式两边同时乘以，可得：，即，解得.当且仅当时，即当时，取得最大值8.故选：D8.已知数列的前n项和为，且满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，，且，所以，记，则，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，，记的前n项和为，则.故选：A二、选择题9.已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，所以，又，，所以，所以，A正确；对于B，当时，直线不一定垂直于，B错误；对于C，由面面平行的判定定理可知，C正确；对于D，由面面垂直性质定理可知，若直线时，直线不一定垂直于，D错误.故选：AC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的一个周期为B.函数的图象关于点对称C.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为D.若，其中为锐角，则的值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，所以的最小值周期，所以是函数的一个周期，A正确；对于B，因为，所以，点不是函数的对称中心，B错误；对于C，由题知，，若函数为偶函数，则，得，因为，所以的最小值为，C正确；对于D，若，则，因为为锐角，，所以，所以，D正确.故选：ACD11.二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现．当前的计算机系统使用的基本都是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，我们用表示十进制数n在二进制下的数字各项之和（例如：，则十进制数5的二进制数为101，），则下列说法正确的是（）A.十进制数25的二进制数为1101 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，A错误；对于B，因为，所以十进制数100的二进制数为1100100，所以，B正确；对于C，设，则，则，所以，C正确；对于D，因为，所以，D正确.故选：BCD三、填空题12.圆与圆的公切线的方程为_______．〖答案〗〖解析〗圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6，因为，所以两圆内切，只有一条公切线，将圆化为一般式得：，，两式相减得，即，所以圆的公切线的方程为.故〖答案〗为：13.已知向量，若，则在上的投影向量为__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，所以，解得，因为，所以在上的投影向量为.故〖答案〗为：14.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率__________．〖答案〗〖解析〗因为比赛结束时，两人的得分总和为n，其中且两人的得分的差的绝对值为，所以，且为偶数，所以当，时，，当时，，当，且偶数时，若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下比赛中，第21球开始，奇数球与其之后的偶数球均为甲乙一胜一负，所以事件甲赢得比赛的概率为，同理乙赢得比赛的概率为，所以，时，的值也符合关系，所以，，，故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：．（1）解：的定义域为，因为，所以曲线在点处的切线斜率为，又，所以切线方程为，即.（2）证明：，令，则，因为，所以存在，使得，即，易知在上单调递增，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以当时，取得最小值：，由二次函数性质可知，在上单调递减，所以，即，所以.16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．（1）证明：；（2）若为内角A的平分线，且，求．（1）证明：记的中点为，则，因为，所以，所以为的垂直平分线，所以.（2）解：记，因，所以，所以，，又为内角A的平分线，所以，，在中，分别由余弦定理得：，联立可得，在中，由余弦定理得，所以.17.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，且平面平面．（1）求三棱锥体积的最大值；（2）若，点E为线段上一点，当二面角为时，求的值．解：（1）记BD的中点为O，连接OC，AO，因为为正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以，记，则，三棱锥体积，当时，三棱锥体积取得最大值.（2）记BC，CD的中点分别为F，H，连接OF，OH，则，又，所以，由（1）知平面，平面，所以，以O为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，所以，则，，，设，则，设为平面的法向量，则，取，则，易知，