2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高二下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要条件，，当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，若，则需；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.2.某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，则，，，，所以．3.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数定义域为，由，得，

设，则，由得，此时函数单调递增，

由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，当时，∴函数有两个零点，即方程有两个不同的根，即函数和有两个不同的交点，则，

故选：C.4.设、分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（）A.当时，取最大值 B.当时，C.当时， D.当时，〖答案〗C〖解析〗∵，∴，解得，对选项A，∵无法确定和的正负性，∴无法确定是否有最大值，故A错误，对选项B，，故B错误，对选项C，，故C正确，对选项D，，，∵，∴、，，故D错误，故选：C.5.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：）近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为（）A.30 B.60 C.70 D.140〖答案〗B〖解析〗因为，且在区间内的人数占总人数的，故，所以，所以这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为.故选：B.6.设，，，则下列说法错误的是（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为9 D.的最小值为〖答案〗D〖解析〗因为，，，则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；因为，故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确；，当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；，故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误．故选：D．7.已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，．若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（）A.12010 B.12100C.11200 D.11202〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，所以，，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，可得，，，，，，，，，不合题意，所以.故选：D.8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗构造函数，其中，则，当时，；当时，.所以，函数的增区间为，减区间为.因为，，，因为，则，则，故.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.

图象关于点成中心对称C.

的最大值为D.幂函数在上为减函数，则的值为〖答案〗BD〖解析〗对于A，函数的定义域为，由得，则函数的定义域为，A错误；对于B，函数的图象的对称中心为，将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，则函数的图象的对称中心为，B正确；对于C，函数在R上单调递减，且，则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；对于D，因为函数为幂函数，所以，解得，D正确.故选：BD.10.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗事件“零件为第台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则，，，，，，故A正确，B错误；，故C正确；，故D正确．故选：ACD．11.在数列中，，且对任意不小于2的正整数n，恒成立，则下列结论正确的是（）A.B.C.成等比数列D.〖答案〗BCD〖解析〗当时，，当时，，则，所以，所以，所以，所以，所以因为不满足上式，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，则，所以成等比数列，所以C正确，对于D，因为，所以当时，，当时，满足上式，所以，所以D正确，故选：BCD12.定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A. B.函数关于对称C.函数是周期函数 D.〖答案〗ACD〖解析〗因为为奇函数，所以，取可得，A对，因为，所以所以，又，即，，故，所以函数的图象关于点对称，B错，因为，所以所以，为常数，因为，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，因为，所以，，所以，所以，所以，故的值为0，D正确；因为，即故函数也为周期为4的函数，C正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数f（x）＝－的值域为________．〖答案〗[－，]〖解析〗因为，所以－2≤x≤4，所以函数f（x）的定义域为[－2，4]．又y1＝，y2＝－在区间[－2，4]上均为减函数，所以f（x）＝－在[－2，4]上为减函数，所以f（4）≤f（x）≤f(－2)．即－≤f（x）≤．故〖答案〗为：[－，].14.已知函数满足，且当时，.若，恰有6个解，则t的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗因为且当时，，即自变量增加两个单位，函数值扩大两倍，由此，可得函数图像，如图所示：当时，；当时，；因为，恰有6个解，即与在恰有6个交点，结合函数图象可得或，即故〖答案〗为：.15.设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______（填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为______．〖答案〗①增②〖解析〗已知，则，令，，则，所以在为增函数，即函数在定义域内是增函数；，，又，，可得，由于在为增函数，所以，解得，即的最小值为，故〖答案〗为：增；16.已知数列满足，是数列的前n项和且，则______．〖答案〗〖解析〗由，得，即，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即．当n为偶数时，，所以，所以，故．故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列.（1）探究：数列是等差数列还是等比数列，并说明理由；（2）求使得成立的最小正整数的值.解：（1）依题意，，当时，，即，故，则，故，故，而，故是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，故，记，故，易见是递增数列，又，，故满足的最小正整数的值为12.18.某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为，甲做完4道题后的总得分为．（1）试建立关于的函数关系式，并求；（2）求的分布列及．解：（1）由题意，由，得．所以，而，所以．（2）由题意，知．的对应值表为：01234－8－241016于是，；；；；．19.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1），，，的图像在处的切线方程为，即.（2）解法一：由题意得，因为函数，故有，等价转化为，即在时恒成立，所以，令，则，令，则，所以函数在时单调递增，，，，使得，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，故，由，得在中，，当时，，函数在上单调递增，，即与，，，即实数的取值范围为.解法二：因为函数，故有，等价转化为：，构造，，所以可知在上单调递减，在上单调递增，，即成立，令，令，在单调递增，又，所以存在，使得，即，可知，当时，可知恒成立，即此时不等式成立；当时，又因，所以，与不等式矛盾；综上所述，实数的取值范围为.20.区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A＝“性别为男”，B＝“得分超过85分”，且，，．（1）完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分人数得分超过85的人数男女合计（2）学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为X，求X的分布列与数学期望．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由，超过85分的人数为（人），不超过85分的人数为（人），因为，，，，所以，即，，，故200人中男性人数为（人），女性人数为（人），又，即不超过85分的人中，男性为（人），女性为（人），故在超过85分的人中，男性=（人），女性（人），列联表如下：性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分的人数得分超过85的人数男20100120女305080合计50150200零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联．经计算得到根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；（2）X可能取0，1，2，3，4．；；；；所以X的分布列为X01234P所以．综上，在犯错误的概率不大于0.001的前提下认为了解安全知识的程度与性别有关，数学期望为.21.已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．（1）求数列、的通项公式；（2）设的前项和为，求（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．解：（1）设等差数列的公差为，，，.设等比数列公比为（其中），因为，由，可得，解得或（舍去）；所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，则①．②由①减去②得，则，所以的前n项和.（3）由(1)可知，，则恒成立，恒成立，单调递增，时，，最大值为.22.已知函数.（1）若有两个不同的极值点，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：.解：（1）由得，有两个不同的极值点，则有两个不同的零点，即方程有两个不同实根，即直线与的图象有两个不同的交点，设，则，时，单调递增，且的取值范围是；时，单调递减，且的取值范围是，所以当时，直线与的图象有两个不同的交点，有两个不同的极值点，，故实数的取值范围是.（2）由（1）知，设，则，由得，所以要证，只需证，即证，即证，设，即证，即证，设，则，所以在是增函数，，所以，从而有.辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要条件，，当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，若，则需；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.2.某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，则，，，，所以．3.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数定义域为，由，得，

设，则，由得，此时函数单调递增，

由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，当时，∴函数有两个零点，即方程有两个不同的根，即函数和有两个不同的交点，则，

故选：C.4.设、分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（）A.当时，取最大值 B.当时，C.当时， D.当时，〖答案〗C〖解析〗∵，∴，解得，对选项A，∵无法确定和的正负性，∴无法确定是否有最大值，故A错误，对选项B，，故B错误，对选项C，，故C正确，对选项D，，，∵，∴、，，故D错误，故选：C.5.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：）近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为（）A.30 B.60 C.70 D.140〖答案〗B〖解析〗因为，且在区间内的人数占总人数的，故，所以，所以这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为.故选：B.6.设，，，则下列说法错误的是（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为9 D.的最小值为〖答案〗D〖解析〗因为，，，则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；因为，故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确；，当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；，故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误．故选：D．7.已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，．若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（）A.12010 B.12100C.11200 D.11202〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，所以，，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，可得，，，，，，，，，不合题意，所以.故选：D.8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗构造函数，其中，则，当时，；当时，.所以，函数的增区间为，减区间为.因为，，，因为，则，则，故.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.

图象关于点成中心对称C.

的最大值为D.幂函数在上为减函数，则的值为〖答案〗BD〖解析〗对于A，函数的定义域为，由得，则函数的定义域为，A错误；对于B，函数的图象的对称中心为，将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，则函数的图象的对称中心为，B正确；对于C，函数在R上单调递减，且，则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；对于D，因为函数为幂函数，所以，解得，D正确.故选：BD.10.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗事件“零件为第台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则，，，，，，故A正确，B错误；，故C正确；，故D正确．故选：ACD．11.在数列中，，且对任意不小于2的正整数n，恒成立，则下列结论正确的是（）A.B.C.成等比数列D.〖答案〗BCD〖解析〗当时，，当时，，则，所以，所以，所以，所以，所以因为不满足上式，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，则，所以成等比数列，所以C正确，对于D，因为，所以当时，，当时，满足上式，所以，所以D正确，故选：BCD12.定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A. B.函数关于对称C.函数是周期函数 D.〖答案〗ACD〖解析〗因为为奇函数，所以，取可得，A对，因为，所以所以，又，即，，故，所以函数的图象关于点对称，B错，因为，所以所以，为常数，因为，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，因为，所以，，所以，所以，所以，故的值为0，D正确；因为，即故函数也为周期为4的函数，C正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数f（x）＝－的值域为________．〖答案〗[－，]〖解析〗因为，所以－2≤x≤4，所以函数f（x）的定义域为[－2，4]．又y1＝，y2＝－在区间[－2，4]上均为减函数，所以f（x）＝－在[－2，4]上为减函数，所以f（4）≤f（x）≤f(－2)．即－≤f（x）≤．故〖答案〗为：[－，].14.已知函数满足，且当时，.若，恰有6个解，则t的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗因为且当时，，即自变量增加两个单位，函数值扩大两倍，由此，可得函数图像，如图所示：当时，；当时，；因为，恰有6个解，即与在恰有6个交点，结合函数图象可得或，即故〖答案〗为：.15.设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______（填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为______．〖答案〗①增②〖解析〗已知，则，令，，则，所以在为增函数，即函数在定义域内是增函数；，，又，，可得，由于在为增函数，所以，解得，即的最小值为，故〖答案〗为：增；16.已知数列满足，是数列的前n项和且，则______．〖答案〗〖解析〗由，得，即，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即．当n为偶数时，，所以，所以，故．故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列.（1）探究：数列是等差数列还是等比数列，并说明理由；（2）求使得成立的最小正整数的值.解：（1）依题意，，当时，，即，故，则，故，故，而，故是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，故，记，故，易见是递增数列，又，，故满足的最小正整数的值为12.18.某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为，甲做完4道题后的总得分为．（1）试建立关于的函数关系式，并求；（2）求的分布列及．解：（1）由题意，由，得．所以，而，所以．（2）由题意，知．的对应值表为：01234－8－241016于是，；；；；．19.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1），，，的图像在处的切线方程为，即.（2）解法一：由题意得，因为函数，故有，等价转化为，即在时恒成立，所以，令，则，令，则，所以函数在时单调递增，，，，使得，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，故，由，得在中，，当时，，函数在上单调递增，，即与，，，即实数的取值范围为.解法二：因为函数，故有，等价转化为：，构造，，所以可知在上单调递减，在上单调递增，，即成立，令，令，在单调递增，又，所以存在，使得，即，可知，当时，可知恒成立，即此时不等式成立；当时，又因，所以，与不等式矛盾；综上所述，实数的取值范围为.20.区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A＝“性别为男”，B＝“得分超过85分”，且，，．（1）完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分人数得分超过85的人数男女合计（2）学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加