2022-2023学年江苏省扬州市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，则，所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可得：，所以，则，所以.故选：B.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.4.已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（）A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.82〖答案〗B〖解析〗因为10个样本数据是从小到大排列的，且，所以第75百分位数是第8个数2.80．故选：B.5.已知非零向量与的夹角为，，，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为非零向量与的夹角为，，，所以，又，所以.故选：C.6.已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，则〖答案〗A〖解析〗对于选项A，因为，则垂直平面内任意一条线，又，所以，所以，则有，所以选项A正确；对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误；对于选项C，当，，，时，与可以相交，所以选项C错误；对于选项D，若，，时，有或与异面，所以选项D错误.故选：A.7.抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（）A.A与B对立 B.A与B互斥C. D.A与B相互独立〖答案〗D〖解析〗由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生，所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误；又因为，而，，所以，，故C错误，D正确.故选：D.8.如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，在直角中，，所以，在直角，，所以，即，在中，，，由余弦定理得，即，因为，所以解得，即大运塔的高为.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，错误.故选：AC.10.已知函数，下列选项中正确的有（）A.的最大值为B.的最小正周期是C.在区间上单调递增D.在区间上有且仅有2个零点〖答案〗AB〖解析〗由题意得，则的最大值为，故选项A正确；的最小正周期是，故选项B正确；由解得，所以当时，单调递增，同理，当时，单调递减，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C错误；令，解得或或，故选项D错误.故选：AB.11.从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表：甲厂产品35677888910乙厂产品4667888888记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由题意可得，，，，，，，，，则，，，.故选：BD.12.在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（）A. B.C. D.的面积最小值为〖答案〗ACD〖解析〗依题意，即，所以，所以，故A正确；，所以，当且仅当时取等号，所以或（舍去），则，当且仅当时取等号，故D正确；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正确；由余弦定理，即，所以，由于由已知条件无法得知的值，故无法确定的值，故B错误.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数（为虚数单位），则=______．〖答案〗5〖解析〗因为复数，所以.故〖答案〗为：514.已知非零向量与的夹角为45°，，向量在向量上投影向量为，则_____________.〖答案〗2〖解析〗由题意可知：.故〖答案〗为：2.15.求值：__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.16.已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_____________.〖答案〗〖解析〗连接，在正四棱柱中，平面，所以为直线与平面所成角，因为在等腰直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，，又正四棱柱的外接球的直径为，则半径，所以球的表面积为：.故〖答案〗为：四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.解：（1）因为，所以，解得：.（2）因为，所以，解得：或.18.如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，.（1）求证：//平面EAC；（2）求三棱锥的体积.解：（1）因为底面ABCD为正方形，所以F为BD中点，因为E为棱的中点，所以//，且平面，平面，所以//平面（2）因为平面ABCD，底边ABCD为正方形，则为直角三角形，且，所以三棱锥的体积.19.已知函数，.（1）求的最大值；（2）证明：函数有零点.解：（1）因为，因为，所以，所以在上单调递减，所以.（2）因为，，因为，，且图象在上不间断，所以在区间上有零点.20.某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：，，，，，并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）求的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平）（2）为查找影响学生阅读时间因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在的概率.解：（1）由题意得：，这100名学生阅读时间的平均数为：，所以这100名学生阅读时间的平均数为26.（2）由直方图得：课外阅读时间为与的学生数的比为1:2，所以，课外阅读时间在有2名，阅读时间在有4名，记从这6名学生中随机抽取2人，恰好有一人读书时间在为事件M，课外阅读时间在的2名学生分别记为a、b，阅读时间在的4名学生分别记为A、B、C、D，所以从这6人中任意抽取2人，样本空间，共15个样本点，其中，共8个样本点，所以.21.如图，在三棱锥中，平面平面，，，.（1）求证：；（2）求二面角的大小.解：（1）平面平面，平面平面，又平面，由面面垂直的性质定理得平面又平面（2）由（1）知平面平面平面就是二面角的平面角，，，，，又，所以，，，，二面角的大小为.22.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C的大小；（2）若D是边AB的三等分点（靠近点A），.求实数t的取值范围.解：（1）由正弦定理可得：，∴，∴，又∵，∴.（2）设，，，则，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，又，由，得，因为，所以，因为，所以，∴，，，∴，.江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，则，所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可得：，所以，则，所以.故选：B.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.4.已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（）A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.82〖答案〗B〖解析〗因为10个样本数据是从小到大排列的，且，所以第75百分位数是第8个数2.80．故选：B.5.已知非零向量与的夹角为，，，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为非零向量与的夹角为，，，所以，又，所以.故选：C.6.已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，则〖答案〗A〖解析〗对于选项A，因为，则垂直平面内任意一条线，又，所以，所以，则有，所以选项A正确；对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误；对于选项C，当，，，时，与可以相交，所以选项C错误；对于选项D，若，，时，有或与异面，所以选项D错误.故选：A.7.抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（）A.A与B对立 B.A与B互斥C. D.A与B相互独立〖答案〗D〖解析〗由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生，所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误；又因为，而，，所以，，故C错误，D正确.故选：D.8.如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，在直角中，，所以，在直角，，所以，即，在中，，，由余弦定理得，即，因为，所以解得，即大运塔的高为.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，错误.故选：AC.10.已知函数，下列选项中正确的有（）A.的最大值为B.的最小正周期是C.在区间上单调递增D.在区间上有且仅有2个零点〖答案〗AB〖解析〗由题意得，则的最大值为，故选项A正确；的最小正周期是，故选项B正确；由解得，所以当时，单调递增，同理，当时，单调递减，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C错误；令，解得或或，故选项D错误.故选：AB.11.从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表：甲厂产品35677888910乙厂产品4667888888记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由题意可得，，，，，，，，，则，，，.故选：BD.12.在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（）A. B.C. D.的面积最小值为〖答案〗ACD〖解析〗依题意，即，所以，所以，故A正确；，所以，当且仅当时取等号，所以或（舍去），则，当且仅当时取等号，故D正确；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正确；由余弦定理，即，所以，由于由已知条件无法得知的值，故无法确定的值，故B错误.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数（为虚数单位），则=______．〖答案〗5〖解析〗因为复数，所以.故〖答案〗为：514.已知非零向量与的夹角为45°，，向量在向量上投影向量为，则_____________.〖答案〗2〖解析〗由题意可知：.故〖答案〗为：2.15.求值：__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.16.已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_____________.〖答案〗〖解析〗连接，在正四棱柱中，平面，所以为直线与平面所成角，因为在等腰直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，，又正四棱柱的外接球的直径为，则半径，所以球的表面积为：.故〖答案〗为：四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.解：（1）因为，所以，解得：.（2）因为，所以，解得：或.18.如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，.（1）求证：//平面EAC；（2）求三棱锥的体积.解：（1）因为底面ABCD为正方形，所以F为BD中点，因为E为棱的中点，所以//，且平面，平面，所以//平面（2）因为平面ABCD，底边ABCD为正方形，则为直角三角形，且，所以三棱锥的体积.19.已知函数，.（1）求的最大值；（2）证明：函数有零点.解：（1）因为，因为，所以，所以在上单调递减，所以.（2）因为，，因为，，且图象在上不间断，所以在区间上有零点.20.某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学