2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上.1.已知向量，，若，则m的值为（）A.－1 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得：.故选：D.2.已知复数z满足，则复数z实部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以实部是.故选：C.3.甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n的值是（）A.200 B.240 C.260 D.280〖答案〗B〖解析〗甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，利用分层抽样方法抽取一个样本量为的样本，因为样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则，解得．故选：B．4.塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，，，则，，由正弦定理得，即，所以，得，在直角中，，则.故选：D.5.从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗两位数共有个，其各位数字之和为5的两位数有：14，41，23，32共4个数，所以各位数字之和等于5的概率为.故选：A.6.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的高为，母线长为，底面圆半径为，则，解得：，，所以，所以圆台体积为：.故选：A.7.已知，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，解得，所以.故选：C.8.在平行四边形ABCD中，，，则的最小值为（）A.－10 B.－13C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，设，且，中，由余弦定理可得，即，可得可得，，所以，设，可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以，则，当时，取得最小值，最小值为.故选：B.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.若，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，由，得，因此，A正确；对于B，令，则，，，即，B正确；对于C，令，，而，C错误；对于D，取，显然，而，且，D错误.故选：AB.10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是（）A.A与B互斥 B.A与C互斥C.B与C独立 D.B与D对立〖答案〗BC〖解析〗先后两次掷一枚质地均匀的骰子，样本空间，故事件，事件，事件，事件.A选项，，故A与B不互斥，A错误；B选项，，故A与C互斥，B正确；C选项，，故，又，，故，所以B与C独立，C正确；D选项，，但，所以B与D不对立，D错误.故选：BC.11.已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，且该三角形有两解，则C.若，则为等腰三角形D.若，则锐角三角形〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，由正弦定理，可知，故A正确；如图，，，且该三角形有两解，所以，即，故B正确；由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或，即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；因为，且，所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确.故选：ABD.12.如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（）A.若，则平面MPNB.若，则平面MPNC.若平面MPQ，则D.若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形〖答案〗ACD〖解析〗对于A，连接，在正方体中，可知，当时，是中点，则，所以，由于平面，平面，所以平面MPN，故A正确；对于B，当时，与点重合，连接交于点，连接，若平面MPN，则平面，且平面平面，则，由于是的中点，则为中点，这显然不符合要求，故B错误；对于C，若平面MPQ，则，由于平面平面，又，平面，所以平面，平面，则，显然与平面不垂直，故，则，由于为中点，所以为中点，故，C正确；对于D，取中点，在上取点，使得，在棱取，使得，在棱上取，由于分别为的中点，所以，同理，连接即可得到截面多边形，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置.13.已知，，则______.〖答案〗〖解析〗，则，由半角公式可得.故〖答案〗为：.14.已知某个数据的平均数为，方差为，现加入数字构成一组新的数据，这组新的数据的方差为______.〖答案〗〖解析〗设原数据为，则，，加入2后，所得4个数据的平均数为，所得4个数据的方差为.故〖答案〗为：.15.在〖解析〗几何中，设、为直线l上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把直线l垂直的向量称为直线l的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点P到直线l的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点P到直线l的距离为______.〖答案〗〖解析〗由已知得，，，所以，在直线l上的投影向量的长度为，故点P到直线l的距离.故〖答案〗为：.16.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______.〖答案〗〖解析〗设三棱锥中，面，面，面两两垂直，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，可设三条侧棱的长度分别为a，b，c，由题意可得：，解得，设三棱锥的外接球半径为，则，即，外接球的体积；设三棱锥的内切球半径为，由勾股定理可知：，则，则有，解得：，则表面积为：.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.解：（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为，可列等式为，，所以样本中停车时长在区间上的频率为，估计该天停车时长在区间上的车辆数是50.（2）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，则满足，，确定免费停车时长为分钟.18.已知，，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由题意，所以，所以.（2）由为锐角，可得，，所以.19.已知中，，，，点D在边BC上且满足.（1）用、表示，并求；（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.解：（1），所以.（2）易知，所以，又，所以.20.我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C.（1）求、、；（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率.解：（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2，记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C，，，，甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、.（2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D，，甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率.21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.解：（1）由正弦定理可得：，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即.（2）法一：由及（1）知的面积，由正弦定理得，由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，因为在上单调递增，故，故，故，从而，因此面积的取值范围是.法二：因为，，由余弦定理得，即，故，为锐角三角形，则，即，由①得，解得，由②得，解得或（舍去），综上，所以.22.如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，D是边AC中点.（1）求证：∥平面；（2）求异面直线与所成的角；（3）F是边一点，且，若，求的值.解：（1）如图，连接与交于点，连接，在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，则是的中点，又是中点，则∥，又平面，平面，则∥平面.（2）取的中点，连接，斜三棱柱底面边长均为2，则，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即为与平面所成角，中，，，则，又，则在中，由余弦定理得，因为，所以，因为∥，∥，所以异面直线与所成的角为，即为.（3）由（2）知平面，又，则，又，，平面，所以平面，又平面，所以，在菱形中，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，所以，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得.江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上.1.已知向量，，若，则m的值为（）A.－1 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得：.故选：D.2.已知复数z满足，则复数z实部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以实部是.故选：C.3.甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n的值是（）A.200 B.240 C.260 D.280〖答案〗B〖解析〗甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，利用分层抽样方法抽取一个样本量为的样本，因为样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则，解得．故选：B．4.塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，，，则，，由正弦定理得，即，所以，得，在直角中，，则.故选：D.5.从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗两位数共有个，其各位数字之和为5的两位数有：14，41，23，32共4个数，所以各位数字之和等于5的概率为.故选：A.6.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的高为，母线长为，底面圆半径为，则，解得：，，所以，所以圆台体积为：.故选：A.7.已知，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，解得，所以.故选：C.8.在平行四边形ABCD中，，，则的最小值为（）A.－10 B.－13C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，设，且，中，由余弦定理可得，即，可得可得，，所以，设，可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以，则，当时，取得最小值，最小值为.故选：B.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.若，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，由，得，因此，A正确；对于B，令，则，，，即，B正确；对于C，令，，而，C错误；对于D，取，显然，而，且，D错误.故选：AB.10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是（）A.A与B互斥 B.A与C互斥C.B与C独立 D.B与D对立〖答案〗BC〖解析〗先后两次掷一枚质地均匀的骰子，样本空间，故事件，事件，事件，事件.A选项，，故A与B不互斥，A错误；B选项，，故A与C互斥，B正确；C选项，，故，又，，故，所以B与C独立，C正确；D选项，，但，所以B与D不对立，D错误.故选：BC.11.已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，且该三角形有两解，则C.若，则为等腰三角形D.若，则锐角三角形〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，由正弦定理，可知，故A正确；如图，，，且该三角形有两解，所以，即，故B正确；由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或，即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；因为，且，所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确.故选：ABD.12.如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（）A.若，则平面MPNB.若，则平面MPNC.若平面MPQ，则D.若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形〖答案〗ACD〖解析〗对于A，连接，在正方体中，可知，当时，是中点，则，所以，由于平面，平面，所以平面MPN，故A正确；对于B，当时，与点重合，连接交于点，连接，若平面MPN，则平面，且平面平面，则，由于是的中点，则为中点，这显然不符合要求，故B错误；对于C，若平面MPQ，则，由于平面平面，又，平面，所以平面，平面，则，显然与平面不垂直，故，则，由于为中点，所以为中点，故，C正确；对于D，取中点，在上取点，使得，在棱取，使得，在棱上取，由于分别为的中点，所以，同理，连接即可得到截面多边形，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置.13.已知，，则______.〖答案〗〖解析〗，则，由半角公式可得.故〖答案〗为：.14.已知某个数据的平均数为，方差为，现加入数字构成一组新的数据，这组新的数据的方差为______.〖答案〗〖解析〗设原数据为，则，，加入2后，所得4个数据的平均数为，所得4个数据的方差为.故〖答案〗为：.15.在〖解析〗几何中，设、为直线l上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把直线l垂直的向量称为直线l的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点P到直线l的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点P到直线l的距离为______.〖答案〗〖解析〗由已知得，，，所以，在直线l上的投影向量的长度为，故点P到直线l的距离.故〖答案〗为：.16.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______.〖答案〗〖解析〗设三棱锥中，面，面，面两两垂直，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，可设三条侧棱的长度分别为a，b，c，由题意可得：，解得，设三棱锥的外接球半径为，则，即，外接球的体积；设三棱锥的内切球半径为，由勾股定理可知：，则，则有，解得：，则表面积为：.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.解：（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为，可列等式为，，所以样本中停车时长在区间上的频率为，估计该天停车时长在区间上的车辆数是50.（2）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，则满足，，确定免费停车时长为分钟.18.已知，，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由题意，所以，所以.（2）由为锐角，可得，，所以.19.已知中，，，，点D在边BC上且满足.（1）用、表示，并求；（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.解：（1），所以.（2）易知，所以，又，所以.20.我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概