人教版数学七年级下册五、六、七单元教案

5.1相交线

5.1.1相交线

1.理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认；（重点）

2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；（重点、难点）

3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力.

一、情境导入

同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相

交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交.这些都给

我们以相交线、平行线的形象.在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线.那么两条直

线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？

大桥卜.的钢梁和钢索棋盘I:的横线和纵线

二、合作探究

探究点一：对顶角和邻补角的概念

［类型一］对顶角的识别

W下列图形中N1与N2互为对顶角的是（

解析：观察N1与22的位置特征，只有C中/I和/2同时满足有公共顶点，且N1的

两边是/2的两边的反向延长线.故选C.

方法总结：判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两

边的反向延长线.

［类型二］邻补角的识别

鲍如图所示，直线A8和CD相交所成的四个角中，N1的邻补角是.

解析：根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线.Z1

和/2、Z1和N4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角.故

答案为N2和N4.

方法总结：邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补.但需要注意的是：互为邻补角

的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角.

探究点二：对顶角的性质

［类型—］利用对顶角的性质求角的度数

碰J如图，直线A3、C£＞相交于点。，若/8OD=42°,平分/COE,求/OOE

的度数.

解析：根据对顶角的性质，可得NAOC与ZBOD的关系，根据0A平分NCOE,可得

/COE与/AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案.

解：由对顶角相等得/4。。=/8。。=42°.：。4平分/(:0£,：.ZCOE=2ZAOC=

84°.由邻补角的性质得/OOE=180°—NCOE=180°—84。=96。.

方法总结：解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出

已知角和未知角之间的数量关系.

［类型二］结合方程思想求角度

画EI如图，直线AC,E尸相交于点O,0。是/AOB的平分线，0E在NBOC内，Z

BOE=；NEOC,ZDOE=72°,求NAOF的度数.

解析：因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设NBOE

=x,则N40F=/E0C=2x,然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程.

解：设NBOE=x,则NA0F=NE0C=2x.：/A0B与NBOC互为邻补角，ZAOB

13

=180°—3乂：。。平分/408,.../。08=2/408=90°一..,：NDOE=72°,/.900一

3

1x+x=72。，解得x=36。".NAOF=2x=72。.

方法总结：在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补.若已知

关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题.

［类型三］应用对顶角的性质解决实际问题

画曲如图，要测量两堵墙所形成的/AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？请

你写出测量方法，并说明几何道理.

O

解析：可以利用对顶角相等的性质，把NAOB转化到另外一个角上.

解：反向延长射线08到E,反向延长射线。4到F,则NEO尸和/40B是对顶角，所

以可以测量出NEOF的度数，NEOF的度数就是NAOB的度数.

方法总结：解决此类问题的关键是根据对顶角的性质把不能测量的角进行转化.

探究点三：与对顶角有关的探究问题

匹我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对;

四条直线交于一点，对顶角有12对……

（1）10条直线交于一点，对顶角有对；

（2）〃（〃22）条直线交于一点，对顶角有对.

解析：（1）仔细观察计算对顶角对数的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，

（4—2）X4

得出结论，代人数据求解.如图①，两条直线交于一点，图中共有-----4-----=2对对顶

角；如图②，三条直线交于一点，图中共有（6jX6=6对对顶危：如图③，四条直线

（8—2）x8

交于一点，图中共有-----4-----=12对对顶角……按这样的规律，10条直线交于一点，那

（20_2）X20

么对顶角共有工一——==90（对）.故答案为90;

（2）利用⑴中规律得出答案即可.由（1）得条直线交于一点，对顶角的对数为

—n(n—1).故答案为“(〃一1).

方法总结：解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化

规律，发现数据的变化特征.

'邻补角

两条直线相交1对顶角，求角的大小

.对顶角相等.

本节课通过对学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们

的生活密不可分;学生经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.这

样教学更能激发学生学习数学的兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展

5.1.1相交线

教学目标

1.理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认.

2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程.

3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力.

重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角.

难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角.

教学过程【教学备注】

一、创设情境，引入课题

问题：请同学们观察下面的图片，说一说那些道路是

交错的，那些是平行的？

教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的,而.

且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些©限I；'、.；：I

直线有些是相交线，有些是平行线.相交线、平行线多^-

都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应

用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准

备.我们先研究直线相交的问题.

二、目标导学，探索新知

目标导学1：理解对顶角和邻补角的概念，并会在图形中进行辨别

1.观察图片，注意剪刀剪开布片过程中有关角的变化.

2.将剪刀抽象为几何图形并画一画.

答：如图：

C

几何语言描述图形：直线AB、CD相交于点0.

概念：如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线

的交点。

3.观察上图，同桌讨论。

（1）两条直线相交组成几个角？

（2）这两条直线相交得到哪几对角？

（3）每对角中两个角的位置有怎样的关系？

（4）根据它们的位置和度数的关系将这几对角进行分类.

【教师提示】教师

统一学生观点并板

而近戌相交所形成的角分类书.

Z1用IN2Z2fiIZ3_

C\2O^BZ1Z2

ZJ^IZ_4_Z_3?,Z±

Z3Z4Z1和N3

,4、D

Z2^IZ_£

4.概念归纳

（1）Z1与N3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶

点0,没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角.

（2）N1与/2是直线AB、CD相交得到的，有公共顶点0,且有一条公共边，像

这样的两个角叫做邻补角.

5.概念深化

（1）找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？

（2）找一找上图中还有没有邻补角，如果有，是哪两个角？

学生口答：N2和N4再也是对顶角./3与N2、与N4、N3与N4也互为邻补

角。

6.初步应用

例1：（1）下列图中的与/2是邻补角吗？为什么？

(1)(2)

【教师强调】邻补角的特点：①顶点相同；②有一条公共边，另一边互为反向延长线;

③成对出现。

（2）下列各图中/1、N2是对顶角吗？

【教师强调】对顶角的特点：①顶点相同；②角的两边互为反向延长线；③成对出现

的。

（3）请分别画出下图中N1的对顶角和N2的邻补角.

学习目标2掌握对顶角的性质并会推导

问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？

1.动手操作，推出性质

己知，直线AB与CD相交于。点（如图）,试猜想N1、N3的大小关系，并借助量角

器或其他方式验证你的想法.

答：Z1=Z3.

【教学提示】学生

思考：你能用说理的方法推出N1=N3吗？以小组为单位展开

讨论，选代表发言,

解：与N2互补，N3与N2互补（邻补角定义），

并口答为什么.例

题比较简单，教师

；./l=N3（同角的补角相等）.

不做任何提示，让

学生在练习本上独

或写成：VZ1=180°-Z2,Z3=180°-Z2（邻补角定义），

立完成解题过程，

/.Z1=Z3（等量代换）.请一个学生板演。

教师提醒：/I与/2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内

不填己知，而填邻补角定义.

2.性质归纳：对顶角相等.

3.初步应用

例1：如图，直线a、b相交，Z1=40s,求N2,Z3,/4的度数.【教学说明】要求

学生能用文字语言

解:,••N1=N3（对顶角相等），N1=40”已知）说理，并让学生写

:.Z3=402.出推理过程，由于

本阶段对于推理的

又；N1+N2=180”邻补角定义）,N1=40。（已知）要求处在入门阶

段，因此形式上可

N2=N4（对顶角相等）不做过分要求。

Z4=Z2=1802-Z1=140s.

4.变式练习

学生活动：让学生把例题中=40。这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道

题.

变式1：把NI=40。变为/2—/1=40。

变式2：把/1=40。变为/2是NI的3倍

变式3：把/1=40。变为/1：/2=2：9.4/

【教学提示】表格

三、巩固训练，熟练技能

C中的结论均由学生

自己口答填出.

1.(1)若N1与/2是对顶角，Z1=16s,则N2=e；

(2)若/3与N4是邻补角，则N3+/4=e.

2.若与N2为对顶角，N1与N3互补，则N2+N3=e.

3.要测量两堵围墙所形成的/AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？

四、归纳总结，板书设计

角的特征性相同点不同点

质

名称

对①两条直线相交

对顶①都是两条直①有无公共边

形成的角；线相交而成的

顶角相

②有公共顶点；角：

等

角③没有公共边②两直线相

交时,对顶

②都有一个公

邻角只有两对，

①两条直线相交共顶点:

而成：邻补角有四

补语卜

②有公共顶点；对

角互3®星成对出

角③有一条公共边补逸的

五、课后作业，目标检测

见本教辅同步内容

教学反思

成功之处：本节课是在七年级上册学过线、角的有关知识的基础上，进一步研究两直线位置关系的第一课

时.对顶角是几何求解、证明中的一个基本图形，其中对顶角相等也是证明中常用的结论，以此实现角之间

的相互转化.内容相对简单，但又非常重要。对顶角的概念出来后，立即找到生活原型，以加强认识，联系

生活.在辨别给出图形是否为对顶角的一组题目中，果然如课前所料，学生的几何语言运用不够熟练、严谨，

我耐心地纠正，原因是几何开始一定要让学生重视几何语言的表述，养成学习几何的好习惯.在这个题目中

我始终让学生对照定义辨别，加强认识.探究对顶角相等这个性质是本课时的重难点，所以我的设计是先画

图量角，让学生有…个感性认识，同时让学生认识到度量是有误差的，所以叫学生记下读数，提出可不可

以根据一个角的度数，计算出其对顶角的度数这样一个问题，其实这个问题设计是承上启下的，因为在证

明时我听到他们说出“和刚才计算一样”的话.练习题的设置一来是巩固，二来时让学生体会转化思想.

不足之处：本节课通过对比教学，学生对概念的理解及简单的一些推理说明基本能掌握，但可能是课堂上

没有照顾到所有的学生导致部分学习有困难的孩子对推理说明类似的题目在解题过程中出现乱、繁等现象

（个别学生甚至无法下手）.课后要根据实际情况及时进行补差补缺，争取不让一个孩子掉对.

5.1.2垂线

i.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；（重点）

2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；

3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.（难点）

欲施福

一、情境导入

大家都看到过跳水比赛，下面几幅图片中是几种不同的入水方式，你知道哪个图片中运

动员获得的分数最高吗？

在获得分数最高的图片中你知道运动员的身体和水面之间的关系吗？这节课我们将要

学习有关这种关系的知识.

二、合作探究

探究点一：垂线的概念

［类型—］利用垂直的定义求角的度数

颐I如图，已知点0在直线AB上，COJ_O。于点0,若N1=150°,则/3的度数

为（）

B

£）/

A.30°B.40°C.50°D.60°

解析：先根据邻补角关系求出/2=180°-150°=30°,再由COJ_。。得出/COD

=90°,最后由互余关系求出N3=90°-Z2=90°-30°=60°.故选D.

方法总结：两条直线垂直时，其夹角为90。；由一个角是90。也能得到这个角的两条

边是互相垂直的.

［类型二］垂直与对顶角、邻补角结合求角的度数

顺如图，Zl=30°,ABLCD,垂足为。，EF经过点。.求N2、N3的度数.

解析：首先根据垂直的概念得到/8。£>=90°,然后根据/I与N3是对顶角，N2与

N3互为余角，从而求出角的度数.

解:由题意得/3=21=30°（对顶角相等）.*.,45_1加已知），.\/8。。=90°,（垂

直的定义），/.Z3+Z2=90°,即30。+/2=90。，AZ2=60°.

方法总结：解决本题的关键是根据垂直的概念，得到度数为90。的角，然后根据对顶

角、邻补角的性质解决.

探究点二：垂线的画法

画。（1）如图①，过点P画A8的垂线；

（2）如图②，过点P分别画0A、08的垂线;

（3）如图③，过点A画BC的垂线.

方法总结：垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，

使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿

此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.

探究点三：垂线的性质（垂线段最短）

画。如图，是一条河，C是河边4B外一点.现欲用水管从河边AB将水引到C处，请

在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由.

A---------------------B

解析：根据垂线的性质可解，即过C作根据“垂线段最短”可得CE最短.

解：如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短.

C.

4--1--fi

方法总结：在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时,要依据“两点之间,

线段最短”和“垂线段最短”来解决.

探究点四：点到直线的距离

©B如图，在△ABC中，过点C作C£>_L4B,垂足为力，则点C到直线的距离是（）

A

A.线段CA的长B.线段CO

C.线段AD的长D.线段C£＞的长

解析：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的

距离，可得点C到直线AB的距离是线段CD的长.故选D.

方法总结：点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段.

三、板书设计

「垂线的定义

'一落

垂线，垂线的作法＜二移

＞求最短距离

.三画

垂线的性质：垂线段最短

本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况——垂直，可类比前面两条直线相交时的一

般情况学习新知识.经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.这

样教学更能激发学生学习数学的兴趣，使每个学生在数学的学习上都能得到不同的发展

5.1.2垂线

教学目标

1.了解垂直概念；

2.能说出垂线的性质”经过一点；能画出己知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线”；

3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.

重点：两直线互相垂直的有关性质.

难点：过直线上（外）一点作已知直线的垂线.

教学过程【教学备注】

一、创设情境，引入课题

生活中的垂线

二、目标导学，探索新知

目标导学1：垂直的定义

活动1在相交线的模型中，固定木条a,转动木条b,当

b的位置变化时，a、b所成的角a也会发生变化.

当a=90°时,a与b垂直.当aK90°时,a与b

不垂直，叫斜交.

【教学提示】引导

1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个学生通过木条的转

角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直动过程得出垂线的

线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。定义。

（说明）从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交

时四个交角中有一个角是直角。

2.垂直的表示：用“JL”和直线字母表示垂直ah

I_____r

例如、如图，a、b互相垂直，垂足为O,则记为：a，b或b°

J_a,若要强调垂足，则记为：a±b,垂足为O.或aJ_b于。.

实际应用：日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图中的一些互相垂直的

线条.你能再举出其他例子吗？

方格本的横线和竖线铅垂线和水平线

试一试：

1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有（）个

（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直

（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直

（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直

（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直

（A）4（B）3（C）2（D）1

2.如图，已知AOB为一直线，ZAOD：ZB0D=3：1,0D平分NCOB,

（1）求/人0<3的度数；（2）判断AB与0C的位置关系.

C

目标导学2：垂线的书写形式

当直线AB与CD相交于。点，ZAOD=90°时，AB1CD,垂足为0.

书写形式1：因为/AOD=90°（已知）

所以ABLCD（垂直的定义）反之，若直线AB与CD垂直，垂足为0,那么，ZA

OD=90°

书写形式2：.如图.直线AB、CD相交于点。，OELAB于O,0B平分/D0F,

ZDOE=50°,求/AOC、ZEOF、ZCOF的度数.

垂线的定义

定义图示文字语言几何语言两层含义

当两条直

AAB±CD,含义L

线所成的L

四个角中直线AB垂0为垂VAB±CD

足.

有一个角直于直线AZ1=90°【教学提示】对垂

是直角时，JCD,0为线概念进行小结。

OD（垂直用

含义2：

我们就说垂足.符号“_L”

这两条直来表示，VZ1=9O°

B

线互相垂读祚“垂直/.AB±CD

直.于”）

学习目标3：垂线的画法和垂线性质1

活动2（一）画已知直线的垂线

（1）如图1,已知直线m,作m的垂线。

（1）靠:把三角板的一直角边靠在直线上；

（2）移:移动三角板到已知点；

（3）画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.

【教学提示】通过

思考：

画垂线的过程，引

（1）画已知直线m的垂线能画几条？

导学生思考，得出

（2）过直线m上的一点A画m的垂线，这样的垂线能画几条？

性质1.

（3）过直线m外的一点A画m的垂线，这样的垂线能画几条？

试一试：

过点p向线段AB所在直线引垂线，正确的是（）.

垂线的性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

说明：（1）“过一点”包括几种情况？线上和线外；（2）“有且只有”是什

么意思？存在性与唯一性。

（-）过点P作线段或射线所在直线的垂线

⑴⑵

注意:过一点画已知线段（或射线）的垂线，就是画这条线段（或射线）所在直线的垂线.画

线段（或射线）的垂线时，有时要将线段延长（或将射线反向延长）后再画垂线.

试一试：

1.如图，分别过A、B、C,作BC、AC、AB的垂线。

2.如图，过P分别作OA、0B的垂线。

学习目标3：垂线的性质

活动3比较过直线m外一点。与m相交的所有线段中，哪一条最短?

垂线的性质2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中.垂线段最短.即：

垂线段最短.

点到直线的距离直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离.

应用：在体育课上，老师是怎样测量同学们的跳远成绩的？你能尝试说明其中的

理由吗？

踏板

沙坑

做法：将尺子拉直与踏板边所在直线垂直，取最近的脚印后跟与踏板边沿之间的

距离就是跳远成绩.

理由：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.

四、垂线的定义与性质的应用

1.如图.直线AB、CD相交于点O,0ELAB于0,0B平分NDOF,Z

DOE=50°,求NAOC、ZEOF、ZCOF

的度数.

解：因为ABLOE（已知）

所以NEOB=90°（垂直的定义）

因为/DOE=50°（已知）

所以/DOB=40°（互余的定义）

所以/AOC=ZDOB=40°（对顶角相等）

又因为0B平分NDOF

所以/BOF=ZDOB=40°（角平分线定

义）

所以NEOF=ZEOB+NBOF=90°+40°=130°

所以NCOF=NCOD—NDOF=180°—80°=100°（邻补角定义）

2.如图，一辆汽车在一段笔直的公路上从A村开往B村,P村不在路AB上.

（1）如果有一人想在A、B两村之间下车，前往P村，他在哪里下车走的路程最

短？请画出图形,并说明原因.

（2）汽车在哪一段路上行驶时，与P村的距离越来越近？汽车在哪一段路上行驶

时，与P村的距离越来越远？

答案：（1）在。点下车走的路程最短.

原因：垂线段最短.

（2）在A0路段上行驶时，与P村的距离

越来越近，在0B路段上行驶时，与P

村的距离越来越远.

3.下面四种判定两条直线的垂直的方法.正确的个数为（）

①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角.则这两条直线互相垂直

②两条直线相交.只要有一组邻补角相等.则这两条直线互相垂直

③两条直线相交.所成的四个角相等.这两条直线互相垂直

④两条直线相交.有一组对顶角互补.则这两条直线互相垂直

A.5B.4C.3D.2

三、巩固训练，熟练技能

1..两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）

（A）有两个角相等（B）有两对角相等

（C）有三个角相等（D）有四对邻补角

2.如图所示，在AABC中，NABC=90,

①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD,B

过D点作三角形

ABD的AB边上的高DE。E/

②点A到直线BC的距离是线段___________:二

的长度.A口C

点B到直线AC的距离是线段

的长度.

点D到直线AB的距离是线段的长度

线段AD的长度是点_________到直线_______的距离.

|c•如图AB±CD垂足为O,ZCOF=56°,求

FNAOE.

AB

4.如图：直线AB和CD相交于点O,OE，AB,OF，CD,/

EIBOF=40°,求NDOE和NAOC的度数.

E

AOQB

四、归纳总结，板书设计

1垂.直的概念：如果两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角就说这两条直线互

相垂直.

2.垂线的性质1：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

3.垂线的性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中.亚线段最短.

五、课后作业，目标检测

见本教辅同步内容

教学反思

垂线是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知

识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关

系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性

质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一.垂线的概

念和性质是本节课的重点，也是全章的内容之一；经过一点画已知直线的垂线，是本节课的

一个难点，在这个地方应让学生多观察，多思考.让学生动手画一画，试一试.鼓励学生思考

并在小组内交流，全班交流.教师引导学生总结以上两个结论.全班内交流成果.教师板书

学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.引导学生分清“互相垂直”

与“垂线”的区别与联系：（1）”互相垂直”指两条直线的位置关系；（2）“垂线”是

指其中一条直线对另一条直线的命名.如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是

另一条的“垂线"，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”.

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

1.理解“三线八角”中没有公共顶点的角的位置关系，知道什么是同位角、内错角、

同旁内角；

2.通过比较、观察、掌握同位角、内错角、同旁内角的特征；（重点）

3.能在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.（重点、难点）

一、情境导入

上一节课中我们主要学习两条直线相交的情况，两条直线相交时，可以形成哪几种角？

如果两条直线被第三条直线所截时，还能形成以上的角吗？是否还有其他类型的角呢？你能

说出它们的名字吗？

二、合作探究

探究点一：识别同位角

［类型—］判断同位角及截线

围D如图，Z1和/2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？Z1和

Z3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？

解析：识别同位角要弄清哪两条直线被哪一条直线所截.也就是说，在辨别这些角之前,

要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线.

解：/I和/2是直线EF、0c被直线AB所截形成的同位角，/I和/3是直线AB、

CO被直线EF所截形成的同位角.

方法总结：①同位角中的“同”字有两层含义：一同是指两角在截线的同旁，二同是指

它们在被截两直线同方向；②在表述“三线八角”中某种位置关系的角时，可用以下方法：

“/X和/义是直线X和直线又被直线X所截形成的X角”.

［类型二］在图形中判断同位角

画日下列图形中，/I和/2不是同位角的是（）

解析：选项A、B、D中，N1与N2在截线的同侧，并且在被截线的同一方向，是同

位角，即在图中可找到形如“F”的模型；选项C中，N1与/2的两条边都不在同一条直线

上，不是同位角.故选C.

方法总结：确定两个角的位置关系的有效方法——描图法：①把两个角在图中“描画”

出来；②找到两个角的公共直线；③观察所描的角，判断所属“字母”类型，同位角为“F”

型.

【类型三】数同位角的对数

颤1如图，直线小/2被，3所截，则同位角共有（

8\7/,

A.1对B.2对C.3对D.4对

解析：图中同位角有：N1和/5,N2和N6,N3和/7,N4和/8,共4文寸.故选

方法总结：数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数.

探究点二：识别内错角、同旁内角

画EI如图，下列说法错误的是（）

27

A.NA与是同旁内角

B.N3与N1是同旁内角

C.22与N3是内错角

D.N1与/2是同位角

解析：根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断.A中NA与形成“U”型，

是同旁内角；B中/3与/I形成“U”型，是同旁内角；C中N2与N3形成“Z”型，是内

错角；D中/I与N2是邻补角，该选项说法错误.故选D.

方法总结：在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有

两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为

被截的线.同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型.

顾如图所示，直线OE与/0的两边相交，则/0的同位角是,/8的同旁

内角是.

\3/

频

解析：直线QE与/。的两边相交，则/。的同位角是N5和N2,N8的同旁内角是/I

和20.故答案为/5和/2,N1和/0.

易错点拨：找某角的同位角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数.

三、板书设计

［同位角“F”型

三线八角《内错角"Z"型

［同旁内角“U”型

歙甑恩

本节课以学生交流、合作、探究贯穿始终，在教学过程中，给学生的思考留下了足够的

时间和空间，由学生自己去发现结论.学生在经历发现问题、探究问题、解决问题的过程中，

对“三线八角”的概念准确理解并掌握.培养学生动手、合作、概括能力，同时也提高思维

水平和探究能力

5.2平行线及其判定

5.2.1平行线

裳闰Ie

1.了解平行线的概念及平面内两条直线相交或平行的两种位置关系；

2.掌握平行公理以及平行公理的推论；(重点、难点)

3.会用符号语言表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线

的平行线.(重点)

一、情境导入

数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？

以上的图片都有两条相互平行的直线，这将是我们这节课学习的内容.

二、合作探究

探究点一：平行线的概念

例I下列说法中正确的有：.

(1)在同一平面内不相交的两条线段必平行；

(2)在同一平面内不相交的两条直线必平行；

(3)在同一平面内不平行的两条线段必相交；

(4)在同一平面内不平行的两条直线必相交；

(5)在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、相交和垂直.

解析：根据平行线的概念进行判断.线段不相交，延长后不一定不相交，(1)错误；同

一平面内，直线只有平行和相交两种位置关系，(2)(4)正确，(5)错误；线段是有长度的，不

平行也可以不相交，(3)错误.故答案为(2)(4).

方法总结：同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交.两条线段平行、

两条射线平行是指它们所在的直线平行，因此，两条线段不相交不意味着它们所在的直线不

相交，也就无法判断它们是否平行.

探究点二：过直线外一点画己知直线的平行线

如图所示，在NAOB内有一点P.

0A

⑴过点尸画/|〃。4；

（2）过点尸画/2〃。&

（3）用量角器量一量/,与12相交的角与NO的大小有怎样的关系.

解析：用两个三角板，根据“同位角相等，两直线平行”来画平行线，然后用量角器量

一量与/2相交的角，该角与Z0的关系为相等或互补.

解：（1）（2）如图所示；

（3M与b夹角有两个：Zl,Z2；/1=/0,/2+/0=180°,所以八和/2的夹角与

N。相等或互补.

易错点拨：注意/2与/0是互补关系，解答时容易漏掉.

探究点三：平行公理及其推论

［类型一］应用平行公理及其推论进行判断

n有下列四种说法：（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（2）同一平

面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；（3）直线外一点与直线上各点连接的所

有线段中，垂线段最短；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：根据平行公理、垂线的性质进行判断.（1）过直线外一点有且只有一条直线与这

条直线平行，正确；（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；（3）

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；（4）平行于同一条直线的

两条直线互相平行，正确；正确的有4个.故答案为D.

方法总结：平行线公理和垂线的性质两者比较相近，两者区别在于：对于平行线公理中，

必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，但过直线上一点不能作已知直线的平行线，

垂线的性质中，无论点在何处都能作出已知直线的垂线.

［类型二］应用平行公理的推论进行论证

画EI四条直线a,b,c,d互不重合，如果b//c,c//d,那直线a,4的位置关

系为.

解析：由于a〃b,b//c,根据平行公理的推论得到a〃c,而。〃d,所以〃〃。故答案

为a//d.

方法总结：平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据.

［类型三］平行公理推论的实际应用

圆❺将一张长方形的硬纸片ABC。对折后打开，折痕为E凡把长方形A8EF平摊在桌

面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CO〃AB存在，为什么？

解析：根据平行公理的推论得出答案即可.

角辛：,JCD//EF,EF//AB,C.CD//AB.

方法总结：利用平行公理的推论进行证明时，关键是找到与要证的两边都平行的第三条

边进行说明.

三、板书设计

概念

两条直线的位置关系:平行或相交

平行线〈

」平行公理

性质，I平行公理的推论

本节课以学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们的生

活密不可分.经历观察多媒体的演示和通过画图等操作，交流归纳与活动，进一步培养学生

的空间想象能力

5.2.1平行线

教学任务分析

（1）在丰富的现实情境中，进一步了解两条直线的平行关系，掌握有

关的符号表示.

知识技能

（2）会用三角尺、方格纸等画平行线，积累操作活动的经验.

（3）在操作活动中，探索并了解平行线的有关性质（基本事实）

教

在探究新知的过程中体验数学与现实世界的联系，感受从具体到抽象的

学数学思考

数学过程.

目

标

解决问题能够独立解决画平行线的问题，理解平行线的基本事实.

情感态度培养学生的空间想象能力，以及逻辑推理能力，体验成功的快乐.

1.了解平行线的定义，并能用符号表示.能借助三角板，方格纸等画平行线.

重:点

2.探索平行线的基本性质（基本事实）.

难点探索平行线的基本性质

教学流程安排

活动流程图活动内容和目的

活动1平行线的概念通过演示木条的各个情况使学生归纳平行线的定义.

活动2生活中的平行线通过生活中平行线的举例，加深