强度计算.数值计算方法：非线性分析：数值分析方法概论

强度计算.数值计算方法：非线性分析：数值分析方法概论1线性与非线性问题的区别在工程和科学计算中，线性与非线性问题的区分至关重要。线性问题指的是那些可以被表示为线性方程组的问题，其中未知量与方程之间的关系是线性的，这意味着未知量的系数是常数，且未知量之间没有相互作用。例如，考虑一个简单的线性方程组：a11*x1+a12*x2=b1

a21*x1+a22*x2=b2这里，a11,a12,a21,a22是已知的系数，b1,b2是已知的常数，而x1,x2是未知数。线性问题通常可以通过直接求解或迭代方法找到精确解。非线性问题则涉及非线性方程组，其中未知量与方程之间的关系是非线性的，未知量的系数可能依赖于未知量本身，或者未知量之间存在复杂的相互作用。例如，一个非线性方程组可能如下所示：x1^2+x2=b1

x1+x2^2=b2这里，未知量x1和x2的平方项导致了方程的非线性。非线性问题的求解通常更为复杂，需要使用数值方法来逼近解。1.1非线性方程组的求解方法1.1.1牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的求解非线性方程组的数值方法。它基于函数的泰勒展开，通过迭代逐步逼近方程的根。牛顿迭代法的迭代公式为：x(k+1)=x(k)-J(x(k))^(-1)*F(x(k))其中，x(k)是第k次迭代的解向量，J(x(k))是函数F(x)在x(k)处的雅可比矩阵，F(x(k))是函数F(x)在x(k)处的值向量。示例代码假设我们有以下非线性方程组：x1^2+x2-2=0

x1+x2^2-3=0我们可以使用Python的scipy.optimize.newton函数来求解：importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportnewton

#定义非线性方程组的函数

defF(x):

x1,x2=x

returnnp.array([x1**2+x2-2,x1+x2**2-3])

#定义雅可比矩阵的函数

defJ(x):

x1,x2=x

returnnp.array([[2*x1,1],[1,2*x2]])

#初始猜测

x0=np.array([1.0,1.0])

#使用牛顿迭代法求解

x=newton(F,x0,fprime=J)

print("解为:",x)1.1.2拟牛顿法拟牛顿法是牛顿法的一种变体，它在每次迭代中不需要计算雅可比矩阵的逆，而是使用一个近似矩阵来代替。这种方法在处理大型非线性问题时更为高效。1.1.3高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是一种迭代求解线性和非线性方程组的方法，它通过更新未知量的值来逐步逼近解。与雅可比迭代法不同，高斯-赛德尔迭代法在每次迭代中使用最新的值来更新未知量。1.2数值分析的基本概念数值分析是研究数学问题的数值解法的学科，它涉及算法的设计、分析和实现，以解决工程、科学和数学中的实际问题。在数值分析中，有几个基本概念是必须理解的：1.2.1截断误差截断误差是指在数值计算中，由于使用有限的数字表示和有限的计算步骤而产生的误差。例如，在使用泰勒级数近似函数时，保留的项数有限，这将导致截断误差。1.2.2舍入误差舍入误差是由于计算机的有限精度而产生的误差。在进行浮点数运算时，计算机只能存储有限位数的数字，这将导致实际计算结果与理论结果之间的差异。1.2.3稳定性稳定性是指数值方法在计算过程中对初始条件和参数的小变化的敏感度。一个稳定的数值方法意味着即使输入有微小的误差，输出也不会有显著的偏差。1.2.4收敛性收敛性是指数值方法在迭代过程中是否能够逼近真实解的性质。一个收敛的数值方法意味着随着迭代次数的增加，解的误差将逐渐减小，直到达到一个可接受的精度。1.2.5精度精度是指数值解与真实解之间的接近程度。在数值分析中，我们通常通过比较数值解与真实解的差异来评估方法的精度。通过理解这些基本概念，我们可以更好地选择和应用数值方法来解决非线性问题。在实际应用中，选择合适的数值方法和参数对于获得准确和可靠的解至关重要。2非线性分析方法2.1有限元法在非线性分析中的应用2.1.1原理有限元法(FiniteElementMethod,FEM)是一种广泛应用于工程分析的数值方法，尤其在处理非线性问题时表现出强大的能力。非线性分析中的有限元法主要涉及非线性材料行为、几何非线性和接触非线性等问题。在非线性材料行为中，材料的应力-应变关系不再是线性的，这需要使用更复杂的材料模型来描述。几何非线性则考虑了结构变形对分析结果的影响，尤其是在大变形情况下。接触非线性处理的是两个或多个物体之间的接触问题，包括摩擦、间隙和碰撞等。2.1.2内容非线性材料模型非线性材料模型包括弹塑性模型、超弹性模型、粘弹性模型等。以弹塑性模型为例，材料在弹性阶段遵循胡克定律，而在塑性阶段，应力-应变关系不再线性，需要使用屈服准则和硬化/软化规律来描述。几何非线性分析几何非线性分析考虑了结构变形对自身几何形状的影响，适用于大位移和大应变问题。在有限元分析中，几何非线性通常通过更新拉格朗日或欧拉方法来处理，其中更新拉格朗日方法更常用，因为它可以更好地处理大变形问题。接触非线性接触非线性分析处理的是两个物体之间的接触问题，包括接触压力、摩擦力和间隙效应。有限元软件通常提供多种接触算法，如罚函数法、拉格朗日乘子法和增强拉格朗日法等，以解决不同类型的接触问题。2.1.3示例代码以下是一个使用Python和FEniCS库进行非线性有限元分析的简单示例，分析一个受压的非线性材料圆柱体。fromfenicsimport*

#创建网格

mesh=UnitCubeMesh(10,10,10)

#定义函数空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),boundary)

#定义非线性材料模型

E=1.0e3

nu=0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(len(v))+2.0*mu*eps(v)

#定义几何非线性

defeps(v):

returnsym(nabla_grad(v))

#定义弱形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-1.0))

T=Constant((0,0,0))

F=inner(sigma(u),eps(v))*dx-inner(f,v)*dx-inner(T,v)*ds

#定义问题并求解

problem=NonlinearVariationalProblem(F,u,bc)

solver=NonlinearVariationalSolver(problem)

solver.solve()

#输出结果

file=File("displacement.pvd")

file<<u2.1.4解释此代码使用FEniCS库，一个用于求解偏微分方程的高级数值求解器，来模拟一个受压的圆柱体。首先，创建了一个单位立方体网格，然后定义了向量函数空间。边界条件被设定为所有边界上的位移为零。非线性材料模型被定义为弹塑性模型，其中sigma函数计算了材料的应力。eps函数用于计算应变，考虑了几何非线性。最后，定义了弱形式的方程，使用非线性变分问题求解器来求解位移场，并将结果输出到.pvd文件中。2.2非线性材料模型的介绍2.2.1原理非线性材料模型描述了材料在不同应力状态下的非线性响应。这些模型通常基于实验数据和理论分析，可以分为弹塑性模型、超弹性模型和粘弹性模型等。弹塑性模型描述了材料在塑性阶段的应力-应变关系，超弹性模型适用于生物材料和橡胶等高弹性材料，而粘弹性模型则考虑了材料的时变特性。2.2.2内容弹塑性模型弹塑性模型是最常见的非线性材料模型之一，它基于屈服准则和硬化/软化规律。屈服准则确定了材料从弹性状态过渡到塑性状态的条件，而硬化/软化规律描述了塑性变形后材料的应力-应变关系。超弹性模型超弹性模型适用于描述高弹性材料，如橡胶和生物组织。这些材料在大应变下仍能恢复原状，模型通常基于能量函数来描述材料的非线性响应。粘弹性模型粘弹性模型考虑了材料的时变特性，即材料的响应不仅取决于应力状态，还取决于加载历史。常见的粘弹性模型包括Maxwell模型、Kelvin-Voigt模型和标准线性固体模型等。2.3几何非线性分析原理2.3.1原理几何非线性分析考虑了结构变形对自身几何形状的影响，适用于大位移和大应变问题。在有限元分析中，几何非线性通常通过更新拉格朗日或欧拉方法来处理。更新拉格朗日方法在每个时间步更新结构的当前配置，而欧拉方法则在每个时间步更新结构的初始配置。2.3.2内容更新拉格朗日方法更新拉格朗日方法在每个时间步更新结构的当前配置，适用于处理大变形问题。这种方法在计算应变时考虑了当前的位移，因此可以更准确地模拟结构的非线性响应。欧拉方法欧拉方法在每个时间步更新结构的初始配置，适用于小变形问题。这种方法在计算应变时使用的是初始位移，因此在大变形情况下可能会产生较大的误差。大应变理论大应变理论是处理几何非线性问题的基础，它考虑了结构变形对自身几何形状的影响。在大应变理论中，应变被定义为变形梯度的对数，这可以更准确地描述大变形情况下的应变状态。2.3.3示例数据假设我们有一个长度为1米的杆，当受到1000牛顿的力时，其长度变为1.5米。在大应变理论中，我们可以计算出杆的应变如下：#初始长度

L0=1.0

#变形后的长度

L=1.5

#计算应变

importmath

epsilon=math.log(L/L0)

print("大应变理论下的应变:",epsilon)2.3.4解释此代码计算了一个杆在大变形情况下的应变。杆的初始长度为1米，变形后的长度为1.5米。使用大应变理论中的对数应变公式，计算出杆的应变为0.4054651081081644，这表明杆的长度增加了约40.55%。这种计算方法在处理大变形问题时比传统的线性应变计算更准确。3强度计算技术3.1强度计算的基本步骤强度计算是工程设计中不可或缺的一部分，它确保结构在各种载荷作用下能够安全、稳定地工作。基本步骤包括：载荷分析：确定作用在结构上的所有外力，包括静载荷、动载荷、温度载荷等。几何建模：创建结构的几何模型，包括尺寸、形状和材料属性。网格划分：将结构模型离散化，划分成多个小的单元，以便进行数值计算。求解：使用数值方法（如有限元法）求解结构在载荷作用下的应力、应变和位移。结果分析：检查计算结果，评估结构的安全性和稳定性。优化设计：根据结果分析，调整设计参数，优化结构设计。3.2材料强度理论材料强度理论用于预测材料在不同载荷下的破坏模式。常见的理论包括：最大应力理论：材料破坏由最大正应力引起。最大应变理论：材料破坏由最大正应变引起。最大剪应力理论：材料破坏由最大剪应力引起。畸变能理论：材料破坏由畸变能密度引起。3.2.1示例：最大应力理论计算假设我们有一个承受轴向拉伸的圆柱体，直径为10mm，长度为100mm，材料的许用应力为100MPa。使用Python进行计算：#导入必要的库

importmath

#定义材料属性和载荷

diameter=10e-3#直径，单位：米

length=100e-3#长度，单位：米

allowable_stress=100e6#许用应力，单位：帕斯卡

force=10000#轴向力，单位：牛顿

#计算截面积

area=math.pi*(diameter/2)**2

#计算应力

stress=force/area

#检查是否超过许用应力

ifstress>allowable_stress:

print("结构不安全，应力超过许用值")

else:

print("结构安全，应力在许用范围内")3.3结构强度评估方法结构强度评估方法用于确定结构在给定载荷下的安全性和稳定性。主要方法包括：安全系数法：通过比较结构的最大应力与材料的许用应力来评估结构的安全性。极限状态设计法：基于结构的极限状态（如承载力极限状态和正常使用极限状态）进行设计。断裂力学法：分析裂纹的扩展，预测结构的断裂行为。3.3.1示例：安全系数法评估假设我们有一个承受弯曲载荷的梁，材料的许用应力为200MPa，计算的应力为150MPa。使用安全系数法评估结构的安全性：#定义材料属性和计算的应力

allowable_stress=200e6#许用应力，单位：帕斯卡

calculated_stress=150e6#计算的应力，单位：帕斯卡

#计算安全系数

safety_factor=allowable_stress/calculated_stress

#输出评估结果

ifsafety_factor>1:

print(f"结构安全，安全系数为{safety_factor:.2f}")

else:

print("结构不安全，安全系数小于1")以上示例中，我们通过比较计算的应力与许用应力来确定结构的安全性。安全系数大于1表示结构在安全范围内，小于1则表示结构可能不安全。通过上述内容，我们了解了强度计算的基本步骤、材料强度理论以及结构强度评估方法，并通过具体示例展示了如何使用Python进行强度计算和安全评估。这些方法和理论在工程设计中起着至关重要的作用，确保了结构的安全性和稳定性。4数值计算方法概览4.1数值积分与微分4.1.1原理与内容数值积分与微分是数值分析中的基础部分，用于解决无法通过解析方法求解的积分和微分问题。在强度计算中，这些方法特别重要，因为它们可以处理复杂的非线性材料行为和几何形状，提供近似但实用的解决方案。数值积分数值积分中最常用的方法是辛普森法则和梯形法则。辛普森法则通过将积分区间分割成多个小段，然后在每段上用二次多项式近似被积函数，从而计算积分。梯形法则则更简单，它将积分区间分割成一系列梯形，然后计算这些梯形的面积总和。示例：使用Python实现梯形法则deftrapezoidal_rule(f,a,b,n):

"""

使用梯形法则计算函数f在区间[a,b]上的积分。

参数:

f:被积函数

a:积分区间的下限

b:积分区间的上限

n:将区间分割成的段数

"""

h=(b-a)/n

x=[a+i*hforiinrange(n+1)]

y=[f(xi)forxiinx]

integral=h*(0.5*y[0]+0.5*y[-1]+sum(y[1:-1]))

returnintegral

#定义被积函数

deff(x):

returnx**2

#计算积分

integral=trapezoidal_rule(f,0,1,100)

print("积分结果:",integral)数值微分数值微分通常使用差分公式，如向前差分、向后差分和中心差分。这些方法通过在函数的某一点附近取有限差来近似导数。示例：使用Python实现中心差分defcentral_difference(f,x,h):

"""

使用中心差分公式计算函数f在点x的导数。

参数:

f:函数

x:计算导数的点

h:差分步长

"""

derivative=(f(x+h)-f(x-h))/(2*h)

returnderivative

#定义函数

deff(x):

returnx**3

#计算导数

derivative=central_difference(f,1,0.001)

print("导数结果:",derivative)4.2迭代法在强度计算中的应用4.2.1原理与内容迭代法是解决非线性问题的有效工具，特别是在强度计算中，当结构的响应依赖于其当前状态时。迭代法通过逐步逼近来找到问题的解，直到满足预设的收敛标准。牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种常用的迭代法，用于求解非线性方程。该方法基于函数的泰勒级数展开，通过在当前点的导数来估计函数的零点。示例：使用Python实现牛顿-拉夫逊法defnewton_raphson(f,df,x0,tol=1e-6,max_iter=100):

"""

使用牛顿-拉夫逊法求解方程f(x)=0。

参数:

f:非线性方程

df:方程的导数

x0:初始猜测值

tol:收敛容差

max_iter:最大迭代次数

"""

x=x0

foriinrange(max_iter):

fx=f(x)

dfx=df(x)

ifabs(fx)<tol:

returnx

x-=fx/dfx

returnNone

#定义方程和其导数

deff(x):

returnx**3-2*x-5

defdf(x):

return3*x**2-2

#求解方程

solution=newton_raphson(f,df,2)

print("方程解:",solution)4.3误差分析与控制4.3.1原理与内容在数值计算中，误差分析与控制是确保结果可靠性的关键。误差可以来源于多种因素，包括模型简化、数值方法的近似性和计算过程中的舍入误差。控制误差通常涉及选择合适的数值方法、调整参数（如步长或迭代次数）和使用误差估计技术。误差估计误差估计技术包括后验误差估计和前验误差估计。后验误差估计是在计算后进行的，通过比较不同步长或不同方法的结果来估计误差。前验误差估计则是在计算前基于问题的性质来预测误差。示例：使用Python进行后验误差估计deferror_estimation(f,a,b,n1,n2):

"""

使用梯形法则计算函数f在区间[a,b]上的积分，并估计误差。

参数:

f:被积函数

a:积分区间的下限

b:积分区间的上限

n1:第一次积分的段数

n2:第二次积分的段数，通常是n1的两倍

"""

integral1=trapezoidal_rule(f,a,b,n1)

integral2=trapezoidal_rule(f,a,b,n2)

error=abs(integral2-integral1)

returnerror

#计算误差

error=error_estimation(f,0,1,100,200)

print("误差估计:",error)通过上述示例和内容，我们可以看到数值计算方法在强度计算中的应用，以及如何通过迭代法和误差分析来提高计算的准确性和可靠性。这些方法不仅适用于学术研究，也是工程实践中解决复杂问题的基石。5高级主题详解5.1非线性动力学分析5.1.1原理与内容非线性动力学分析是研究结构在非线性条件下响应动力载荷的一种方法。它涉及到材料非线性、几何非线性和接触非线性等复杂因素。在非线性动力学分析中，结构的响应不再是载荷的线性函数，这增加了分析的复杂性和计算的难度。非线性动力学分析广泛应用于航空航天、土木工程、机械设计等领域，以确保结构在极端条件下的安全性和稳定性。5.1.2示例：使用Python进行非线性动力学分析假设我们有一个简单的弹簧-质量系统，其中弹簧的刚度随位移变化，即非线性弹簧。我们将使用Python的egrate.solve_ivp函数来求解系统的运动方程。importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义非线性弹簧的力函数

defforce(x):

return-x**3

#定义系统的微分方程

defspring_mass(t,y):

x,v=y

dxdt=v

dvdt=force(x)/1.0#假设质量为1

return[dxdt,dvdt]

#初始条件

y0=[1,0]#初始位移为1，初始速度为0

#时间范围

t_span=(0,10)

#求解微分方程

sol=solve_ivp(spring_mass,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,100))

#绘制结果

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='位移')

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='速度')

plt.legend()

plt.xlabel('时间')

plt.ylabel('位移/速度')

plt.title('非线性弹簧-质量系统的动力学响应')

plt.show()此代码示例展示了如何使用Python求解非线性弹簧-质量系统的动力学响应。通过定义非线性力函数和系统的微分方程，我们使用solve_ivp函数求解了系统的运动方程，并绘制了位移和速度随时间变化的曲线。5.2多物理场耦合分析5.2.1原理与内容多物理场耦合分析是指在工程设计和分析中，考虑两个或多个物理场之间的相互作用和影响。这些物理场可以包括结构力学、热力学、电磁学、流体力学等。多物理场耦合分析能够更准确地预测实际工程问题中的复杂行为，例如热应力分析、电磁-结构耦合分析等。5.2.2示例：使用COMSOL进行热应力分析COMSOLMultiphysics是一个强大的多物理场仿真软件，可以进行热应力分析。下面是一个使用COMSOL进行热应力分析的简要步骤：创建模型：在COMSOL中创建一个包含结构和热源的模型。定义材料属性：为模型中的材料定义热膨胀系数和弹性模量等属性。设置边界条件：定义模型的边界条件，包括温度边界和机械边界。求解模型：使用COMSOL的求解器求解模型，得到温度分布和应力分布。后处理：分析求解结果，可视化温度和应力分布。由于COMSOL的代码示例通常使用其内置的语法，这里不提供具体的代码示例，但在COMSOL的官方文档和教程中，可以找到详细的热应力分析步骤和示例。5.3非线性优化设计5.3.1原理与内容非线性优化设计是在设计过程中，通过数学优化方法寻找满足非线性约束条件下的最优解。非线性优化设计可以应用于各种工程领域，如机械设计、电路设计、结构优化等。它通常涉及定义一个目标函数，以及一组约束条件，然后使用优化算法（如梯度下降、遗传算法、粒子群优化等）来寻找最优解。5.3.2示例：使用Python进行非线性优化设计假设我们有一个非线性设计问题，目标是最小化一个函数，同时满足一组非线性约束。我们将使用Python的scipy.optimize.minimize函数来求解这个问题。fromscipy.optimizeimportminimize

#定义目标函数

defobjective(x):

returnx[0]**2+x[1]**2

#定义非线性约束

defconstraint1(x):

returnx[0]**2+x[1]**2-1

#定义约束条件

cons=({'type':'ineq','fun':constraint1})

#初始猜测

x0=[0.5,0.5]

#求解优化问题

res=minimize(objective,x0,method='SLSQP',constraints=cons)

#输出结果

print(res.x)此代码示例展示了如何使用Python求解一个非线性优化设计问题。我们定义了一个目标函数和一个非线性约束，然后使用minimize函数求解了优化问题，得到了满足约束条件下的最优解。以上三个高级主题的示例和内容，展示了非线性动力学分析、多物理场耦合分析和非线性优化设计的基本原理和应用方法。在实际工程问题中，这些方法的使用需要更深入的理论知识和实践经验。6案例研究6.1桥梁非线性分析实例在桥梁设计中，非线性分析是评估结构在极端条件下的行为的关键步骤。非线性分析考虑了材料的非线性、几何非线性以及接触非线性等因素，这对于预测桥梁在地震、风载、重载车辆等作用下的响应至关重要。6.1.1材料非线性材料非线性通常通过定义材料的应力-应变关系来模拟。例如，混凝土和钢材在大应变下表现出非线性行为，这需要使用更复杂的本构模型来描述。6.1.2几何非线性几何非线性考虑了结构变形对结构行为的影响。在大变形情况下，结构的几何形状变化显著，不能忽略其对结构刚度的影响。6.1.3接触非线性接触非线性处理结构部件之间的相互作用，如桥墩与基础之间的接触，或桥面与车辆之间的接触。这在分析桥梁的动态响应时尤为重要。6.1.4示例：桥梁非线性静力分析假设我们有一个简化的桥梁模型，由混凝土和钢材组成，需要进行非线性静力分析。我们将使用Python和一个流行的有限元分析库FEniCS来实现这一分析。#导入必要的库

fromfenicsimport*

importmatplotlib.pyplotasplt

#创建网格和定义函数空间

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',2)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定义材料属性

E=1e3#弹性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定义非线性本构关系

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(2)+2*mu*eps(v)

#定义应变-位移关系

defeps(v):

returnsym(nabla_grad(v))

#定义外力

f=Constant((0,-1))

#定义变分问题

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

F=inner(sigma(u),eps(v))*dx-inner(f,v)*ds

#求解非线性问题

u=Function(V)

solve(F==0,u,bc)

#可视化结果

plot(u)

plt.show()在这个例子中，我们定义了一个单位正方形网格来模拟桥梁的一部分，并使用了非线性材料模型。通过FEniCS库，我们能够设置边界条件、定义材料属性、非线性本构关系以及外力，然后求解非线性方程组来得到桥梁的位移。6.2飞机结构强度计算案例飞机结构的强度计算需要考虑多种非线性因素，包括材料的非线性、几何非线性以及结构的非线性响应。这些分析对于确保飞机在各种飞行条件下的安全性和可靠性至关重要。6.2.1材料非线性飞机结构中使用的复合材料和合金在高应力下表现出非线性行为，这需要使用非线性材料模型来准确预测结构的承载能力。6.2.2几何非线性飞机在高速飞行时，结构的变形可能非常显著，这要求在分析中考虑几何非线性，以评估结构的稳定性。6.2.3结构非线性响应飞机在飞行中会遇到各种动态载荷，如湍流、气动载荷等，这些载荷可能导致结构的非线性响应，如颤振或拍振。6.2.4示例：飞机翼梁的非线性分析我们将使用MATLAB来模拟一个飞机翼梁的非线性响应，特别是在气动载荷作用下的行为。%定义翼梁的几何和材料属性

L=10;%翼梁长度

E=70e9;%弹性模量

rho=2700;%密度

I=0.1;%惯性矩

%定义气动载荷

q=@(x)1000*sin(pi*x/L);%气动载荷分布

%定义非线性方程

u=sym('u(x)');

eqn=diff(u,4)+(rho*I/E)*diff(u,2)^3==q(x);

%求解非线性方程

bc=[u(0)==0,diff(u,x)(0)==0,u(L)==0,diff(u,x)(L)==0];

sol=dsolve(eqn,bc);

%绘制结果

x=linspace(0,L,100);

y=subs(sol,x);

plot(x,y);

xlabel('长度(m)');

ylabel('位移(m)');

title('飞机翼梁的非线性位移')