用二次函数解决实际问题2023年中考数学考点微

考向3.7用二次函数解决实际问题

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例1、（2021•辽宁鞍山•中考真题）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进

了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70

元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈

利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件

（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）.

（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多

少元？

解：（1）由题意可得：尸20+2（70-幻，

整理，得：）=-2x+160,

・••每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=-2x+160；

（2）设销售所得利润为卬，由题意可得：

w=（x-30-2）y=（x-32）（-2x+160）=-2x2+224x-5120,

整理,得：W=-2（X-56）2+1152,

-2<0,

•••当―56时,w取最大值为H52,

•.•当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元.

1、用函数解决利润问题是近些年各省市中考的重点和热点，本题中根据“销售单价每降低1元，则

每天可多售出2件”列函数关系式是本题的突破口；根据总利润=单件利润x销售量列出函数关系式，然

后利用二次函数的性质分析其最值.

2、本题考查运算能力及一次函数和二次函数应用，熟练掌握相关知识是解题的关键

例2、（2021•浙江金华•中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心。有一雕塑04,从A

点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点。为原

点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C,。为水柱的落水点，水柱所在抛物线第

一象限部分的函数表达式为y=-^（x-5y+6.

（1）求雕塑高。A.

（2）求落水点C,O之间的距离.

(3)若需要在。。上的点E处竖立雕塑ER(9E=10m,EF=1.8m,EF，。。.问:

顶部尸是否会碰到水柱？请通过计算说明.

当x=0时，y=--(0-5)2+6

..OA=—(m).

6

(2)由题意得，。点在图象上.

令y=0，得-,(x-5)2+6=0.

解得：x,=ll,x2=-l(不合题意，舍去).

:.OD=\\

:.CD=2OD=22(m)

⑶当x=10时，y=-l(10-5)2+6,

...不会碰到水柱.

用二次函数解决拱桥问题、投球问题、增长率问题、利润问题都是常见的考题，本题考查了二次函数的

图像与性质及图像关于y轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质.

经典变式练

一、单选题

1.(2021•北京•中考真题)如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为

它的邻边长为冲1,矩形的面积为Sm?.当X在一定范围内变化时，y和S都随X的变化而变

化，则y与x,s与x满足的函数关系分别是（）

y

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题

2.（2021•湖北襄阳•中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如

图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：m）与它距离喷头的水平距离X

（单位：m）之间满足函数关系式y=-2x2+4x+l,喷出水珠的最大高度是m.

三、解答题

3.（2021.辽宁大连.中考真题）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销

售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中

50<x<80,

（1）求），关于x的函数解析式；

（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？

4.（2020.山东青岛•中考真题）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A

型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长45=4〃?，宽AB=3m,抛物

线的最高点E到8c的距离为4〃?.

（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用》=丘2+加小=0）表示，求该抛物线

的函数表达式；

（2）现将A型活动板房改造为8型活动板房.如图②，在抛物线与之间的区域内

加装一扇长方形窗户FGMN,点G,M在AO上，点N,F在抛物线上，窗户的成本为50

元/苏.已知GM=2m,求每个8型活动板房的成本是多少？（每个8型活动板房的成本=

每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）

（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的8型活动板房，每月能售出100个，

而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考

虑其他因素，公司将销售单价〃（元）定为多少时、每月销售8型活动板房所获利润卬（元）

最大？最大利润是多少？

5.（2020.河北.中考真题）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实

验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度》（厘

米）的平方成正比，当x=3时，W=3.

（1）求W与x的函数关系式.

（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两

块板（不计分割损耗）.设薄板的厚度为*（厘米），Q=w厚一网

①求。与X的函数关系式；

②X为何值时，。是w海的3倍？

（注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围）

6.（2021,浙江金华•中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心。有一雕塑OA,从A点向

四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点。为原点建

立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C,。为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象

（1）求雕塑高04

（2）求落水点C,。之间的距离.

（3）若需要在。。上的点E处竖立雕塑E凡OE=10m,防=1.8m,EF_L。。.问:

顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

7.（2021•辽宁鞍山•中考真题）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一

批以冬奥会为主题的文化衫进行销售,文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时,

每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决

定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单

价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）.

（1）求每天的销售量丁（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多

少元？

8.（2021•贵州安顺•中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥

拱截面OBA可视为抛物线的一部分,在某一时刻，桥拱内的水面宽。4=8m,桥拱顶点8到

水面的距离是4m.

(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点0.4m时,桥

下水位刚好在04处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是

否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；

(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，=以2+法+4。#0),该抛物线在x轴下方

部分与桥拱08A在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移

机(加＞0)个单位长度，平移后的函数图象在84x49时，N的值随x值的增大而减小，结合

函数图象，求，”的取值范围.

一、单选题

1.(2021.山东沂南•一模)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方

2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式

y=a(x-k)2+h.已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m,球网与D点的水平

距离为9m.高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m,则下列判断正确的是()

B.球会过球网但不会出界

C.球会过球网并会出界D.无法确定

2.(2021•湖北咸宁•一模)如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于

点O,点E,F分别从B,C两点同时出发，以lcm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D

时停止运动，设运动时间为t(s),AOEF的面积为s(cm2),则s(cm2)与t(s)的函数

关系可用图象表示为()

3.(2021.陕西.交大附中分校一模)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面

宽4m,若水面下降2.5m,那么水面宽度为()m.

A.3B.6C.8D.9

4.(2021.四川.江油市小溪坝初级中学校一模)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生

长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度

的增长情况，部分数据如下表：

温度//℃-5-32

植物高度增长量...344641...

科学家推测出/?（小〃?）与，之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.已知温度越适合，

植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为（）

A.-rcB.-rcc.o℃D.rc

二、填空题

5.（2021•吉林长春•模拟预测）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某

次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高

度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的8处，则小丁此次投掷

的成绩是米.

6.（202卜安徽肥东•二模）如图，一座悬索桥的桥面。4与主悬钢索之间用垂直钢

索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等.小强骑自行车从桥的

一端。沿直线匀速穿过桥面到达另一端4当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索

的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需秒.

7.（2021.吉林宽城.一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰

3

好弹跳到人梯顶端椅子3处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=-|V+法+1的一部

分，跳起的演员距点4所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高.若人梯到起跳点A

的水平距离为4米，则人梯BC的高为一米.

三、解答题

8.（2021・四川三台•一模）“扬州漆器''名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,

成本为30元/件，每天销售量》（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所

示.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获

取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为

了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

y（件）

元）

9.（2021•江苏•苏州高新区实验初级中学三模）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润

为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据

市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天

售出y件.

（1）请写出y与x之间的函数表达式；

（2）当》为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？

10.（2021.山东滕州.一模）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，

该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售

单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价X（元/千克）55606570

销售量y（千克）70605040

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

一、单选题

1.（202卜广东•中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=/上的两个动点，

且。4,08.连接点A、B,过。作OC_LAB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.JB.—C.立D.1

222

2.（2021•辽宁朝阳•中考真题）如图，在正方形A8CQ中，AB=4,动点M从点A出发，

以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点4出发，以每秒2个单位长度

的速度沿折线AO—OC-CB运动，当点N运动到点8时，点M,N同时停止运动.设AMN

的面积为》运动时间为x（s）,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）

二、填空题

3.（2021.辽宁沈阳•中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9

元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销

售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大.

4.（202卜江苏无锡•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点C为y

轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=W的图象交于A、B两点，且

CB=3AC,P为C8的中点，设点P的坐标为P（x,y）（x>0）,写出y关于尤的函数表达式为:

三、解答题

5.（2021・广东・中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节

吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商

家用8（X）0元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉

粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（50WxW65）,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：

元），求y关于x的函数解析式并求最大利润.

6.（2021•山东临沂・中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行

驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时

间f（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.

（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？

（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

7.（2021•辽宁朝阳•中考真题）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品

每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与

每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

（3）设商场销售这种商品每天获利卬（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销

售利润最大？最大利润是多少？

8.(2021・浙江衢州・中考真题)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与

桥长均为24m,在距离。点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m,以桥拱

顶点。为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.

(1)求桥拱项部。离水面的距离.

(2)如图2,桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG,OH,D1,过相邻两根支柱顶

端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.

参考答案

1.A

【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可

宜接进行排除选项.

解：由题意得：

2（x+y）=10,整理得：y=-x+5,（O<x<5）,

5=孙=工（一工+5）=一丁+5x,（0<x<5）,

•••y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系：

故选A.

【点拨】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应

用是解题的关键.

2.3

【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解.

解：Vy=-2x2+4x+l=-2（x-l）2+3,

.,.当x=i时,y最大值=3,

故答案是：3.

【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键.

3.（1）），关于x的函数解析式为y=-2x+200；（2）该电商定价为70元时才能使每天

获得的利润最大，最大利润是1800元.

【分析】（1）由图象易得（50,100）和（80,40）,然后设y关于x的函数解析式为y="+b,

进而代入求解即可；

（2）设该电商每天所获利润为卬元，由（1）及题意易得W=-2X2+280X-8000,然后

根据二次函数的性质可进行求解.

解：（1）设y关于x的函数解析式为丫=丘+匕，则由图象可得（50,100）和（80,40）,代入

得：

150k+6=100,\k=-2

\S0k+b=40'解得：%=200'

•••)，关于x的函数解析式为y=-2x+200；

(2)设该电商每天所获利润为w元，由(1)及题意得:

w=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000,

/.-2<0,开口向下，对称轴为尤=-3=70.

*.*50<x<80,

.,.当x=70时，w有最大值，即为w=-2x7(f+280x70-8000=1800:

答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元.

【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键.

4.(1)y=--x2+l(2)500(3)n=620时，w最大=19200元

【分析】(1)根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入丫="2+〃?四/0)即可求

(2)根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故

可求解;

(3)根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解.

解：(1)由题可知D(2,0),E(0,1)

彳弋入至(Iy=kx2+m(k丰0)

f0=4左+"?

解得卜y

m=1

•••抛物线的函数表达式为^=-!/+1;

4

(2)由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=l代入得y==

44

3

AN(1,-)

4

3

AMN=-m,

3

则一扇窗户的价格为5x50=75元

因此每个B型活动板的成本为425+75=500元;

(3)根据题意可得w=(n-500)(100+2据")=-2(n-600)2+20000,

:一个月最多生产160个,

650-??

100+20X----------<160

10

解得n>620

V-2<0

.,.n>620时，w随n的增大而减小

・••当n=620时，w最大=19200元.

【点拨】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数

的图像与性质.

5.(1)W=-x2；(2)①Q=12-4x；②x=2cm.

3

【分析】(1)设W=kx2,利用待定系数法即可求解;

(2)①根据题意列出函数，化简即可；②根据题意列出方程故可求解.

解：(1)设亚=1«2,

：x=3时，W=3

，3=9k

/.k=—

3

・・.W与x的函数关系式为W=

(2)①:薄板的厚度为xcm,木板的厚度为6cm

二厚板的厚度为(6-x)cm,

1,919

/.Q=-x(6-x)2--x2=-4x+12

与x的函数关系式为。=12—4x；

②是叫源的3倍

；.-4x+12=3x4

3

解得xl=2,x2=-6(不符题意，舍去)

经检验，x=2是原方程的解,

...x=2时，。是%的3倍.

【点拨】此题主要考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函

数或方程求解.

6.(I)—m；(2)22米；(3)不会

6

【分析】(1)求雕塑高。4,直接令x=0,代入y=-9(x-5y+6求解可得；

O

(2)可先求出。。的距离，再根据对称性求C。的长；

(3)利用y=-、(x-5『+6,计算出x=10的函数值再与E产的长进行比较可得结

论.

解：(1)由题意得，A点在图象上.

当x=0时，y=-1(0-5)2+6

6

25/11

=-------F6=——

66

/.=—(m).

6

(2)由题意得，O点在图象上.

令y=0,得」(X—5)2+6=0.

6

解得：x,=ll,x2=-l(不合题意，舍去).

.-.00=11

:.CD=2OD=22(m)

(3)当x=10时，y=-：(10-5)2+6,

6

25,11।C

=-------F6=—>1.8,

66

.••不会碰到水柱.

【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于>轴对称问题，解题的关键是：

掌握二次函数的图像与性质.

7.(1)y=-2x+\60.(2)当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润

为1152元

【分析】(1)根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式：

(2)根据总利润=单件利润x销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最

值.

解：(1)由题意可得：y=20+2(70-x),

整理，得：y=-2x+160,

二每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2x+160；

(2)设销售所得利润为例由题意可得：

w=(x-30-2)y=(x-32)(-2x+160)=-2x2+224x-5120,

整理,得:W=-2(X-56)2+U52,

.—2<0,

当尸56时，卬取最大值为1152,

•••当销售单价为56元时;销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元.

【点拨】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练

掌握相关知识是解题的关键.

8.(1)y=-^x2+2x(0<x<8)；(2)他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；(3)5<w<8

【分析】(1)设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x,根据待定系数法，即可求解;

(2)把：x=l,代入产得到对应的)，值，进而即可得到结论;

(3)根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到，，，的范围.

解：(I)根据题意得：4(8,0),8(4,4),

设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x,

把(4,4)代入上式，得：4^X(4-8)X4,解得：

•・二次函数的解析式为…)；

117

(2)由题意得：x=0.4+1.2：2=l,代入产-―/+2x,得尸—-X122X]=->|.68,

44+4

答：他的头顶不会触碰到桥拱:

(3)由题意得：当。笺&时,新函数表达式为：

当一。或Q8时，新函数表达式为：k"+2x,

12

-X2-2X(0<X<8)

4

,新函数表达式为：y=

——x2+2工(工(0或1)8)

•••将新函数图象向右平移机(机>0)个单位长度,

O'(m,0),A'(zn+8,0),B'(m+4,-4),如图所示,

根据图像可知：当m+429且壮8时，即：50%8时，平移后的函数图象在8Vx«9时，

y的值随x值的增大而减小.

【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的

图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键.

1.c

解:分析:(I)将点40,2)代入y=a(x-6)2+2.6求出。的值；分别求出x=9和x=18

时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得.

详解：根据题意，将点40.2)代入y=a(x-6)2+2.6,

得：36。+2.6=2,

解得：a=-

60

与x的关系式为)：=一4。一6)2+2.6；

60

当户9时,y=-看(9-6)2+2.6=2.45>2.43,

二球能过球网，

当户18时,y=--5-(18-6)2+2.6=0.2>0,

60

...球会出界.

故选C.

点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根

据题意确定范围.

2.B

解：试题分析：根据题意BE=CF=t,CE=8-t,

:四边形ABCD为正方形，.\OB=OC,ZOBC=ZOCD=45°.

OB=OC

•..在AOBE和^OCF中，■ZOBE=ZOCF,

BE=CF

/.△OBE^AOCF(SAS).

•s_q

♦•°AOBE—040CF-

.__12_

,•S四边形OECF=SiOBC=ax8=16.

11,,

22

•••S=SV^KOECF-SAC£f=16--(8-z)-z=-r-4?+16=8-r(z-4)+8(0<r<8)

As(cn?)与t仆)的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8),自变量为叱S8.

故选B.

3.B

【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把），=-2.5

代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案.

解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点。且通过C点，则

通过画图可得知。为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A,8两点，04和。8可求出为A3的一半2米，抛物

线顶点C坐标为（0,2）,

设顶点式y=ax2+2,把A点坐标（-2,0）代入得a=-0.5,

.••抛物线解析式为y=-0.5/+2,

当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当），=-2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是宜线），=-2.5与抛物线相交

的两点之间的距离，

可以通过把y=-2.5代入抛物线解析式得出：

-2.5--0.5/+2,

解得:x=±3,

水面宽度为3-（-3）=6（/n）.

故选：B.

【点拨】本题主要考查了二次函数的应用.根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析

式是解决问题的关健，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题.

4.B

【分析】根据题意设其解析式为/?=d+/”+c,将（-5,34）,（-3,46）,（2,41）代

入方程组求得。、氏c•的值，再配方成顶点式可得答案.

解：设辰aF+bt+c（分0）,将（-5,34）,（-3,46）,（2,41）代入方程组：

25a-58+c=34a=-l

得：,9a-3gc=46,解得：〃=-2,所以〃与，之间的二次函数解析式为：h=-t2

4<?+2/?+c=41c=49

-2r+49=-（f+1）2+50,当片-1时，h有最大值50,即说明最适合这种植物生长的温度是

-rc.

故选B.

【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式

及二次函数的性质.

5.7

【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2）,过点（0,1.68）求得抛物线解析

式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可.

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+2,

把A（0,1.68）代入得：

4。+2^1.68,

解得a=-0.08,

y-—0.08（x-2）“+2,

令y=o,得

-0.08（X-2）2+2=0

解得演=7,々=-3（舍），

二小丁此次投掷的成绩是7米.

故答案为：7.

【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二

次函数的数学模型求解是解题的关键.

6.46

【分析】由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥

面OA的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案.

解：•••主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离0M与AN相等，且小强骑行18秒

时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，

IQ_I_72

:.MN的对称轴为直线尸三竺=23,

,他通过整个桥面OA共需23x2=46（秒）.

故答案为：46.

【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意、熟练掌握二次函数的对

称性是解题的关键.

7.3.4

【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为x=2.5,可求得〃的值，点8的横坐标为4,

代入后可得出点B的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度.

解：：跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高.

二抛物线的对称轴为x=2.5,

b

'.x--3=2.5,解得：b—3,

2ox（--）

3

抛物线为y—y——~X2+3X+1,

•••人梯到起跳点4的水平距离是4,

...点8的横坐标为4,

3

则yit=--X42+3X4+1=3.4,即8c=3.4米.

故答案为：3.4.

【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出.次函数解析式,

属于基础题.

8.（1）y=-10x+700：（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是

45元到55元.

【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

（2）根据利润=销售量x单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和

销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值,

根据增减性，求出x的取值范围.

40k+b=300

解：（1）由题意得:

55k+b=l50KM

故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700,

（2）由题意，得

-10x+700>240,

解得x<46,

设利润为亚=(x-30)・y=(x-30)(-Wx+700),

w=-1Ox2+10(X)x-21000=-10(x-50)2+4000,

V-10<0,

.•.x<50时，w随x的增大而增大，

，x=46时，w*=-10(46-50)2+4000=3840,

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

(3)w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600,

-10(x-50)2=250,

x-50=±5,

xi=55,X2=45,

如图所示，由图象得：

当45<x<55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元.

【点拨】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利

用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点

和难点.

9.(1)y=-gx+50(2)当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元(3)

当x为20时w最大，最大值是2400元

【分析】(1)根据题意列函数关系式即可；

(2)根据题意列方程即可得到结论；

1

(3)根据题意得到w=-；(x-30)29+2450,根据二次函数的性质得到当x<30时，田随

x的增大而增大，于是得到结论.

解：(1)根据题意得，y=-gx+50：

(2)根据题意得，(40+x)[-；x+50)=2250,

解得：为=50,x2=10,

・・•每件利润不能超过60元，

・・・x=10,

答：当区为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；

(3)根据题意得，w=(40+x)[-gx+50)=-g/+30x+2000=-；(x-30y+2450,

...当x<30时，w随x的增大而增大，

二当x=20时，w增大=2400,

答：当x为20时w最大,最大值是2400元.

【点拨】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关

键.

10.(1)y=-2x+180；(2)60元/千克或80元/千克；(3)70元/千克；800元

【分析】(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可：

(2)依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；

(3)利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即

可.

解：(1)设y与x之间的函数表达式为y="+6(k#0),将表中数据(55,70)、(60,

60)代入得：

J55Z+〃=7O

(60%+6=60'

解得：7\k1=8-2。,

Ay与x之间的函数表达式为y=-2x+180；

(2)由题意得：(x-50)(-2x+180)=600,

整理得：x2-140x+4800=0-

解得士=60，x2=80,

答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/

千克;

(3)设当天的销售利润为w元，贝IJ：

w=(x-50)(-2x+180)

=-2(X-70)2+800,

；-2<0,

,当x=70时,w-佗=800.

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.

【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际

问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键.

参考答案

1.A

【分析】设4(4,⑻，B(b,b2),求出48的解析式为y=(a-3x+l,进而得到。£>=1,

a

由/OCB=90。可知，C点在以。。的中点£为圆心，以「=工00=1为半径的圆上运动，当

22

CH为圆E半径时最大，由此即可求解.

解：如下图所示：过C点作)，轴垂线，垂足为H，A3与x轴的交点为Q,

设A(a,a2),B(b,骨),其中分0,厚0,

'."OA1OB,

*,•k°A,,

ah

即ab=—l,

设A3的解析式为：y=(。・一)工+加，代入A(ma2)

af

解得：m=1

：.OD=lf

VOCA-AB,即NOCB=90，

；.C点在以。。的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，

当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，

故C”的最大值为「=1，

故选：A.

【点拨】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出A8与〉，轴

交点的纵坐标始终为I,结合NOCB=90，由此确定点E的轨迹为圆进而求解.

2.B

【分析】根据点N的运动情况，分点、N在AD,DC,CB上三种情况讨论，分别写出每

种情况x和y之间的函数关系式，即可确定图象.

解：当点N在AO上时，即0夕＜2

y=-x-2x=x2,

2

此时二次项系数大于0,

...该部分函数图象开口向上,

此时底边高AD=4,

•••该部分图象为宜线段，

当点N在C8上时，即4夕＜6时,

D

A

此时底边AM=x,高BN=12-2x,

y=5X(12-2x)=-x?+6x,

-1<0,

.••该部分函数图象开口向下，

故选：B.

【点拨】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键.

3.11

【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论.

解：设销售单价定为x元(x..9),每天所获利润为y元，

J1IJy=[20-4(x-9)](x-8)

=心+88》一448

=-4(X-11)2+36,

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，

故答案为11.

【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系

式，利用二次函数的性质解答.

82

4.y=-x~

3

ANAC1

【分析】过点4作轴，过点8作8M垂直y轴，则

BMCB3

3

设a1),则8(3a,9a2),求出C(0,3a2),从而得P(y,6a2),进而即可得到答案.

解：过点A作ANLy轴，过点8作2M垂直)，轴，则

:._CBMs£AN,

,:CB=3AC,

.ANAC1

*,BM-CF-3'

设A(-ma2),则8(3“，9a2),

设宜线48的解析式为：y=luc+b,

，直线48的解析式为：y=2ax+3a2,

；.C(0,3a2),

为C8的中点，

3

：.P(-a,6a2),

2

-3

二"/即：y=%,

X23

故答案是：y=g“2.

【点拨】本特纳主要