中级经济师考试辅导经济基础知识24

第四部分统计一一第二十四章描述统计

考情分析:

年份单选题多选题合计

2016年2题2分2题4分6分

2015年4题4分2题4分8分

本章重点：

1.集中趋势的测度指标：均值、中位数和众数。

2.离散程度的测度指标：方差、标准差和离散系数。

3.分布形态的测度：偏态系数、标准分数。

4.变量相关关系的分类、散点图、相关系数。

知识点一：集中趋势的测度

1.均值。均值也叫做平均数，就是数据组中所有数值的总和除以该组数值的个数。设一组数据

为Xi,X2,为平均数X的计算公式为:

n

nn

【注意1】：均值主要适用于数值型数据,但不适用于分类和顺序数据。

【注意2】：均值容易受到极端值的影响,极端值会使得均值向极大值或极小值方向倾斜，使

得均值对数据组的代表性减弱。

2.中位数。把一组数据按从小到大或从大到小的顺序进行排列，位置居中的数值叫做中位数,

用风表不：

（等）当n为奇数时

｛5cJ当n为偶数时

【注意1]:中位数是一个位置代表值，主要用于顺序数据和数值型数据，但不适用于分类数

据。

【注意2】：中位数的优点是不受极端值的影响,抗干扰性强。

3.众数：指一组数据中出现次数（频数）最多的变量值。适用于描述分类数据和顺序数据，不

适用于定量数据。

【注意】：有些情况下可能出现双众数、多众数或者没有众数，难以描述数据的集中趋势。

总结：均值VS中位数VS众数：

指标适用特点

利用全部信息，受极端值影响

均值定量变量

如有明显极端值，则代表性差

没有充分利用全部信息，不受极端值影响

中位数顺序变量和定量变量

适用于分布不对称的数据

没有充分利用全部信息，不受极端值影响

众数分类变量和顺序变量

适用于分布明显呈偏态的数据

【例题・单选题】在对数据集中趋势的测度中，适用于偏斜分布的数值型数据的是（）。

A.中位数B.均值

C.标准差D.方差

r正确答案」A

「答案解析」本题考查中位数。中位数主要适用于顺序数据，也适生于数值型数据，但不适用

于分类数据，中位数不受极端值的影响，抗干扰性强，尤其适用于收入这类偏斜分布的数值型

数据。

【例题•单选题】（2015年）下列统计量中，适于描述分类数据集中趋势的是（）。

A.均值

B.众数

C.中位数

D.变异系数

「正确答案」B

r答案解析」本题考查集中趋势的测度。众数适于描述分类数据和顺序数据的集中趋势，不适

用于定量数据。

【例题・单选题】在某企业中随机抽取7名员工来了解该企业2013年上半年职工请假情况，这

7名员工2013年上半年请假天数分别为1、5、3、10、0、7、2,这组数据中的位数是（）。

A.3B.10C.4D.0

「正确答案」A

「答案解析」本题考查中位数。首先要排序，由小到大排序后的数据是0、1、2、3、5、7、10,

中位数直观观察即可知道是“3”。

知识点二：离散程度的测度

（一）方差和标准差

集中趋势对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋

势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好°

1.方差。方差是数据组中各数值与其均值离差平方的平均数，它能较好地反映出数据的离散程

度.是实际中应用最广泛的离散程度测度值.

方差越小，说明数据值与均值的平均距离越小，均值的代表性越好。

总体数据，常用的方差计算公式有两种：

f（\-X）2

（J2=252_______

N

1万-

S2=—y（Y.-Y）2

1

样本数据，常用的方差计算公式:

T二---------------

(n-1)

2.标准差。标准差即方差的平方根。

1n-1

（二）离散系数

1.名称：变异系数或标准差系数：

2.公式：标准差/均值：CV=s/'X

3.应用：不同类别数据离散程度的比较，消除了测度单位和观测值水平不同的影响。

【示例】某学校学生的平均年龄为20岁，标准差为3岁；该校教师的平均年龄为38岁，标准

差为3岁。比较该校学生年龄和教师年龄的离散程度。

「解析」

学生年龄的离散系数=3/20=0.15

教师年龄的离散系数=3/38=0.Q789

结论：学生年龄的离散程度更大C

【例题•多选题】（2015年）下列统计量中，容易受极端值影响的有（）。

A.均值B.方差

C.众数D.中位数

E.标准差

「正确答案」ADE

「答案解析」本题考查集中趋势和离散程度的测度指标。均值、方差、标准差容易受极端值的

影响。

【例题・单选题】（2015年）根据2014年某城市金融业和制造业各1000人的年薪样本数据来

比较这两个行业从业人员年薪的离散程度，应采用的统计量是（）。

A.标准分数B.相关系数

C.变异系数D.偏态系数

「正确答案」C

「答案解析」本题考查离散系数,离散系数也称为变异系数或标准差系数，即标准差与均值的

比值，主要用于不同类别数据离散程度的比较。

知识点三：分布形态的测度

（一）偏态系数（SK）：

1.偏态系数：测度数据分布偏度的指标；偏度指数据分布的偏斜方向和程度，描述的是数据分

布对称程度。（单选）

3

SK=n/［（n_l）（n_2）］Z［（xi-x）/s］

2.应用：偏态系数的绝对值越大，数据分布偏斜程度越大。

（1）SK=0：数据分布是对称的；

（2）SK>0：数据分布右偏；

0~0.5（轻度）0.5-1（中度）大于1（严重）

（3）SK<0：数据分布左偏；

0〜-0.5（轻度）（中度）大于-1（严重）

【例题•多选题】（2016年）在某电商网站上，商品甲得到6个评价得分，分别是1、4、4、5、

5、5；商品乙得到5个评分，分别是3、3、3、4、4。关于这两组数据的说法，正确的有（）。

A.商品甲的评分中位数高于商品乙

B.商品甲的评分均值低于商品乙

C.商品甲的评分众数高于商品乙

D.商品甲的评分分布离散程度大于商品乙

E.商品甲的评分分布是左偏的

「正确答案」ACDE

r答案解析」本题考查集中趋势、离散程度的测度。

商品甲：评分中位数=（4+5）/2=4.5,众数=5,均值=（1+4+4+5+5+5）/6=4,

标准差=1.55,离散系数=1.55/4=0.3875,偏态系数=-2.09。

商品乙：评分中位数=3,众数=3,均值=3.4,标准差=0.55,离散系数=0.55/3.4=0.16。

【例题•多选题】（2015年）某企业员工年收入数据分布的偏态系数为3.0,则该组数据的分

布形态为（）。

A.右偏

B.左偏

C.严重偏斜

D.轻度偏斜

E.中度偏斜

「正确答案」AC

「答案解析」本题考查偏态系数c偏态系数为0,说明数据的分布是对称的。为正，说明分布

是右偏的：取值在0—0.5之间说明轻度右偏；取值在0.5-1之间，说明中度右偏；取值大于

1说明严重右偏。为负，说明分布为左偏：取值在0^^-0.5之间，说明轻度左偏；取值在-0.5〜

一1之间，说明中度左偏；取值小于一1,说明严重左偏。本题中，偏态系数为3,说明严重右

偏。

（二）标准分数

1.标准分数也称Z分数，是统计学上常用的一种标准化方法。标准分数可以给出数值距离均值

的相对位置，用于比较不同分布的变量值。（单选）

2.公式：标准分数2=（数值一均值）+标准差

3.结果：标准分数Z越大越好.

【示例】：某班期末考试。语文考试全班平均成绩73分，标准差7分，甲得了78分；数学考

试全班平均成绩80分，标准差6.5分，甲得了83分。甲哪一门成绩更优秀？

因为两科分布（均值、标准差）不同，不能用原始数据直接比较，需要转换成标准分数，然后

比较。

Z（语文）=（78-73）/7=0.71

Z（数学）=（83-80）/6.5=0.46

因此，甲的语文成绩更优秀。

4.实际应用：当数据服从对称的钟形分布时，可以运用经验法则来判断与均值的距离在特定倍

数标准差之内的数据项所占比例。

99.00%

约有68%的数据与平均数的距离在1个标准差之内,标准分数在［T,1］范围内;

约有95%的数据与平均数的距离在2个标准差之内,标准分数在［-2,2］范围内；

约有99%的数据与平均数的距离在3个标准差之内,标准分数在［-3,3］范围内。

【示例】语文考试全班平均成绩73分，标准差7分，则95用的得分在59和87之间。

【例题•多选题】（2016年）某企业客户满意度数据服从对称的钟形分布，均值为75,标准差

为5。根据经验法则，关于该企业客户满意度的说法，正确的有（）。

A约有68%的客户满意度在［70,S0］范围内

B约有68%的客户满意度在［75,35］范围内

C约有95%的客户满意度在［75,95］范围内

D约有95%的客户满意度在［65,35］范围内

E约有99%的客户满意度在［60,90］范围内

「正确答案」ADE

r答案解析」本题考查标准分数c经验法则表明：约有68%的数据与平均数的距离在1个标准

差之内，约有95%的数据与平均数的距离在2个标准差之内，约有99%的数据与平均数的距离在

3个标准差之内。

【例题•单选题】（2015年）根据经验法则，服从对称钟形分布的标准分数在［-2,2］范围内

的概率是（）。

A.95%B.50%

C.68%D.99%

「正确答案」A

I■答案解析」本题考查标准分数。对于服从对称的钟形分布的标准分数，68%的标准分数在［T,

+1］范围内，约有95%的标准分数在［-2,+2］范围之内，约有99%的标准分数在［-3,+3］范围

之内。

知识点四：变量间的相关分析

（一）相关关系分类

1.按相关的程度可分为：完全相关、不完全相关和不相关。

2.按相关的方向可分为：正相关和负相关。

3.按相关的形式可分为：线性相关和非线性相关。

【注意】：相关关系并不等同于因果关系。

（二）两变量的散点图：两个变量间的关系可以用散点图来展示。

1.观测点分布无规律：不相关。

2.观测点分布密集在一条线周围：线性相关

正相关：直线向右上倾斜

负相关：直线向右下倾斜

3.观测点呈现曲线模式：两个变量非线性相关。

（三）相关系数的定义和计算

LPearson相关系数：度量的是两个变量之间的线性相关关系。

2.Pearson相关系数的取值范围：TWrWl。

OVrWl：变量X和Y之间存在正线性相关关系;

-l<r<0：变量X和Y之间存在负线性相关关系；

r=l：变量X和Y之间为完全正线性相关；

r=-l：变量X和Y之间为完全负线性相关。

【注意】：Pearson相关系数只适用于线性相关关系的判断。因此r=0只表示两个变量之间不

存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系,比如它们之间可能存在非线性相关关系。

3.相关程度：

（1）|r|^0.8：高度相关；

（2）0.5^|r|<0,8：中度相关；

（3）0.3W|r|V0.5：低度相关;

（4）|r|<0.3：说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为无线性相关关系。

【例题•单选题】（2016年）下列统计量中，适用于分析两个定量变量间相互关系的是（）。

A.离散系数

B.标准分数

C.相关系数

D.偏态系数

r正确答案」c

「答案解析」本题考查相关系数°相关系数是度量两个变量间相关关系的统计量。

【例题•单选题】（2016年）根据下面的变量X和变量Y的散点图，可以看出这两个变量的Pearson

相关系数r的取值范围是（）。

A.r<-l

B.OWrVl

C.r^l

D.-l<r<0

Y

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