新教材 人教B版高中数学必修第四册 第十一章 立体几何初步 教学案（知识点考点）

第H^一章立体几何初步

H.1空间几何体............................................................-1-

li.i.i空间几何体与斜二测画法........................................-1-

11.1.2构成空间几何体的基本元素......................................-12-

11.1.3多面体与棱柱...................................................-24-

11.1.4棱锥与棱台.....................................................-33-

11.1.5旋转体.........................................................-43-

11.1.6祖瞄原理与几何体的体积.........................................-54-

11.2平面的基本事实与推论.................................................-65-

11.3空间中的平行关系.....................................................-75-

11.3.1平行直线与异面直线.............................................-75-

11.3.2直线与平面平行.................................................-84-

11.3.3平面与平面平行.................................................-94-

11.4空间中的垂直关系....................................................-104-

11.4.1直线与平面垂直................................................-104-

11.4.2平面与平面垂直................................................-116-

11.1空间几何体

11.1.1空间几何体与斜二测画法

学习目标核心素养

1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，进一步认识1.通过学习斜二测画法的

空间几何体，培养空间想象能力.步骤，培养直观想象的数

2.了解斜二测画法的概念及步骤，能用斜二测画法画学核心素养.

出简单几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其2.借助斜二测画法，画出

简单组合体）的直观图.（重点）直观图，培养数学抽象的

3.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.（易错点）核心素养.

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

畲情境引入•助学助教

我们日常所见的物体都占据着空间的一部分.我们不考虑其他因素，只考虑

一■个物体占有的空间形状和大小，这个空间部分可抽象为一■个几何体.

思考：如图所示的几何体，你能画出来吗？

匚调知初接F

1.空间几何体

如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小,而不考虑其他因素，则这个空

间部分通常可抽象为一个几何体.

［拓展］

数学上的几何体是一个抽象的概念，不考虑它的物理性质和化学成分，而只

考虑它的形状和大小.如：一个墨水盒占有的空间部分是一个长方体，一本书占

有的空间部分也是一个长方体.几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起

的内部的部分，如正方体形盒子的外表面不是正方体，而外表面加上它占据的空

间才是正方体.

2.直观图

立体几何中，用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形的直观

图.为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图.

3.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤

（1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的月轴和乂轴，使得

它们正方向的夹角为笆（或135°）.

（2）平面图形中与x轴平行（或重合）的线段画成与£轴平行（或重合）的线段，且

长度不变.

平面图形中与y轴平行（或重合）的线段画成与乂轴平行（或重合）的线段，且长

度为原来长度的一半.

（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.

4.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤

（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平

面上图形的直观图（保留V轴与轴）.

（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过

X,轴与V轴的交点作Z轴对应的Z，轴，且Z，轴垂直于q轴.

图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与N轴平行（或重合）的线段，且长度丕

变.连接有关线段.

(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).

5.水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆.

［拓展］

正等测画法

(1)正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等.

(2)正等测画法的规则如下：

①在已知图形中取相互垂直的轴Ox,Oy,画直观图时，把它们画成对应的轴

O'x",O'y',使/犬。了=120。(或60。)，它们确定的平面表示水平面.

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于V轴或

y轴的线段.

③平行于X轴或y轴的线段，在直观图中长度都不变.

初试身

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.()

(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.()

(3)斜二测画法中，平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变.

()

(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()

［提示］斜二测画法中，平行于)，轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)

错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确.

［答案］(1)V⑵J(3)X(4)7

2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的

是()

A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直

C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点

B［根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.］

3.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()

CL5='，口，口

3333

ABCD

C［正方形的直观图是平行四边形，且平行于X轴的边长为3cm,平行于y

轴的边长为1.5cm.］

4.水平放置的△ABC,有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形

A'B'C,则△48。是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.任意三角形

C［如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形.

疑难问题解惑合作探究。释疑睚学科素恭彬成

―型._____________画平面图形的直观图

【例1］用斜二测画法画出图中等腰梯形ABC。的直观图(其中。，E分别

为线段AB,DC的中点).

［解］(1)画对应的坐标系x'0'y',使Nx'O'y'=45°.

(2)以。为中点在x'轴上取A'B'=AB,在了轴上取O'E'=^OE,以£为中点画

CO〃V轴，并使CO=CD

(3)连接8C,D'A',所得的四边形就是水平放置的等腰梯形ABC。的

直观图，如图.

［母题探究］

(变条件)若将本例中的等腰梯形ABC。改为正五边形A3CQE,如图所示，那

么其直观图如何画出？

［解］画法：

(1)在图①中作AGLx轴于点G,作DHlx轴于点H.

(2)在图②中画相应的V轴与y轴，两轴相交于点。，使NVOy=45。.

(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴

上取OE=3OE,分别过G'和“'作y'轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A'=T

GA,H'D'=^HD.

(4)连接A®,A'E',E'D',D'C,并擦去辅助线GA,HD,V轴与？轴，便得

到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图③).

①②③

厂.......规律＜方法.........

画平面图形的直观图的技巧

(1)在已知图形中建立直角坐标系时，要尽量利用图形中原有的垂直关系和对

称性.

(2)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中也与犬轴或y轴平行.

(3)若原图形中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，则必须经过

这些点作其中一坐标轴的平行线段，使之与另一坐标轴相交，然后确定原图形中

点的对应点的位置.

(4)原图形中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后,

用平滑的曲线连接而画出.

画空间几何体的直观图

【例2】用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直

观图.

［思路探究］画轴一画底面f画侧棱f成图

［解］(1)画轴：画x'轴、)，'轴、z'轴，使Nx'O'y'=45°(或135°),Nx'O'z'=90°.

(2)画底面：在面x'0'y内，画出正六边形的直观图A8CDE/7.

(3)画侧棱：过A,B,C,D,E,尸分别作N轴的平行线，在这些平行线上分

别截取A4',BB',CC,DD',EE',尸尸都等于侧棱长.

(4)成图：顺次连线4,B',C',D',E',F',并加以整理(去掉辅助线将被遮挡

的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示.

•••规律C方法.........

简单几何体直观图的画法步骤

(1)画轴：通常以高所在直线为Z轴建系.

(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.

(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.

(4)连线成图.

［跟进训练］

画出正四棱锥(底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的

棱锥)的直观图.

［解］(1)画轴.画。龙轴、0y轴、Oz轴，NxO.y=45°(或135°),ZxOz=90°,

如左图所示.

(2)画底面.以0为中心在xOy平面内，画出正方形直观图A5CD.

(3)画顶点.在Oz轴上截取0P,使0尸的长度是原四棱锥的高.

(4)成图.顺次连接出，PB,PC,PD,并擦去辅助线，将被遮住的部分改为

虚线，得到此四棱锥的直观图.

直观图的还原和计算问

心型3

［探究问题］

1.如图，是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC

的形状？

（。）/\

［提示］根据斜二测画法规则知：ZACB=90°,故△ABC为直角三角形.

2.若探究1中△49。的4c=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是多少？

［提示］由已知得△ABC中，AC=6,BC=8,故AB=NAC2+8/=10.

3.若已知一个三角形的面积为S,它的直观图面积是多少？

［提示］原三角形面积为S=5“7(a为三能形的底，/?为三角形的高)，画直观

图后，a'=a,〃'=g/rsin45°=乎〃，S'=；a'4'=；3乎坐S.

【例3】如图所示，△A5C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其

还原成平面图形.

⑹）〃|一

0'/D'I7-x

［思路探究］由直观图还原平面图形的关键：

(1)平行于V轴的线段长度不变，平行于V轴的线段扩大为原来的2倍.

(2)对于相邻两边不与4,y轴平行的顶点可通过作丁轴，V轴平行线变换确定

其在xOy中的位置.

［解］①画出直角坐标系尤0y,在尤轴的正方向上取0A=04,即CA=CA';

②过夕作877〃y轴，交X'轴于点D',在0A上取0D=0'D',过。作DB//y轴，

且使DB=2D'B';

③连接AB,BC,得△ABC.

则AABC即为△4EC对应的平面图形，如图所示.

［母题探究］

如图所示，矩形04夕C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6

cm,CD'=2cm,则原图形的形状是

c7y『

/O'

菱形［如图所示，在原图形OABC中，应有。41BC,00=2077=2X2啦

=4也(cm),CD=CD'=2(cm),

OCKODXCD2

=7(4y/"+2?=6(cm),

：.0A=0C,故四边形OABC是菱形.]

1.......规律c方法..............................

1.直观图的还原技巧

由直观图还原为平面图的关键是找与无'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于

工,轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长

的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.

2.直观图与原图面积之间的关系

若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为则有S=[-S或S=2吸

S1利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

必।备;素养二~1

知识：

1.斜二测画法中的“斜”和“二测”

(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与

V轴成45°或135°.

(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于V轴或N轴的线段长

度不变；平行于y'轴的线段长度变为原来的一半.

2.斜二测画法中的建系原则

在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作

图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线

为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等，即使

尽量多的点或线落在坐标轴上.

3.直观图中“变”与“不变”

(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变.

(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有

变化).

⑶有些线段的度量关系会发生变化.这种变化，目的是使图形富有立体感.

方法：

斜二测画法的规则可简记为“横不变，纵折半，平行关系不改变，九十度要

画一半.”

以致用G

1.关于斜二测画法所得直观图的说法，正确的是（）

A.直角三角形的直观图仍是直角三角形

B.梯形的直观图是平行四边形

C.正方形的直观图是菱形

D.平行四边形的直观图仍是平行四边形

D[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成

斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确.]

2.如图所示，四边形048C是上底为1,下底为3,底角为45。的等腰梯形，

由斜二测画法画出这个梯形的直观图0AbC,则梯形OA5C的高为（）

B.亭

A.正

4

A[因为四边形0A8C是上底为1,下底为3,底角为45。的等腰梯形，所以

等腰梯形0A8C的高为1,面积S=；X（1+3）X1=2,所以等腰梯形0A8C的直观

图的面积S'=2X#=¥.设梯形02EC的高为〃，则;X（l+3）X/?=乎，解得〃

-.故选A.]

3.如图，△ABC是△A3C的直观图，其中49=4C,那么△4?。是（)

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

B［由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为

AC=2AB.］

4.如图所示为水平放置的正方形A8C0,它在直角坐标系X。〉中，点B的坐

标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点夕到/轴的距离为

噂［画出直观图，BC对应B，C,且B'C'=1,ZB'C'x'=45°,故顶点8'到x'

,y2

4山的距■离为当•.］

5.画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图.

［解］(1)如图所示，以边所在直线为无轴，以边上的高线A0所在直

线为y轴，再画对应的x'轴与y'轴，两轴相交于点0',使Nx'O'>'=45°.

⑵在V轴上截取0'B'=0'C'=0.5cm,

1、/3

在y轴上截取。4=，4。=苧cm,连接A'B',A'C,则△4QC即为正三角形

ABC的直观图.

11.1.2构成空间几何体的基本元素

学习目标核心素养

1.以长方体的构成为例，认识构成几何体

1.通过认识构成几何体的基本元

的基本元素，体会空间中的点、线、面

素的学习，体现了数学抽象的核

与几何体之间的关系.（重点）

心素养.

2.会用数学符号表示空间点、线、面以

2.借助空间中直线与直线、直线

及它们之间的位置关系.（重点）

与平面、平面与平面间的位置关

3.理解平面的无限延展性，学会判断平

系，培养直观想象的核心素养.

面的方法.（难点）

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

始终不变

轨迹是一条直线或线段

点动运N

⑴成线方向

时刻变化I轨迹是一条曲线

或曲线的一段

L直线平行移动，可以形成踵或曲面

（2）凹—-----------------

蛔工I固定射线的端点，让其绕着Y圆

弧转动，可以形成锥面

⑶面动成体：面运动的轨迹（经过的空间部分）可以形成一个几何体.

［拓展］

1.立体几何中的平面是从实际生活中抽象出来的，它具有无限延展性，是理

想的、处处平直的，是不可度量的，它没有厚度，没有大小，也没有面积、体积、

质量等，不能说两个平面重叠在一起就变厚了.而立体几何中的曲面就不是处处

平直的.

2.立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的.平面图形如三角

形、正方形、梯形等是有大小之分的.而通常情况下，可借助平面图形表示平面，

但是要把平面图形想象成是无限延展的.

2.构成空间几何体的基本元素

点、线、面是构成空间几何体的基本元素.

3.点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法

(1)直线在平面内的概念

如果直线2上的所有点都在平面a内,就说直线/在平面a内，或者说平面a

经过直线I.

(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系

文字语言符号语言图形语言

A在/上AG/

在/外A^l•A

A-----------------I

A在a内AGa

•A

A在a外/7

/在a内lUa&_/

/在a外IQa//或/

/,胴相交于A

1,a相交于A

a,§相交于I

4.空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，无公共点

异面直线既不平行也不相交,无公共点

5.直线与平面的位置关系

直线在平面外

位置关系直线在平面内

直线与平面相交直线与平面平行

公共点无数个1个0个

符号表示aUaalla

-------a

图形表示中口

6.两个平面的位置关系

位置关系平行相交

/B_/三

图示

A___/

表示法a//n4

公共点个数9个无数个

7.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线/与平面a相交于一点A,且对平面a内任意一条

过点A的直线处都有山，则称直线/与平面a垂直(或/是平面a的一条垂线,

a是直线/的一个垂面)，记作山其中点A称为垂足.

(2)点到平面的距离：由长方体可以看出，给定空间中一个平面a及一个点4

过A可以作而且只可以作平面a的一条垂线.如果记垂足为8,则称8为A在平

面a内的射影(也称为投影)，线段AB为平面a的垂线段，A8的长为点A到平面a

的距离.

(3)直线到平面的距离与两平行平面之间的距离

当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平

面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为

这两平行平面之间的距离.

1.思考辨析（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分.

（）

（2）直线的移动只能形成平面.（）

（3）平静的太平洋就是一个平面.（）

［提示］⑴正确.

（2）直线移动可能形成曲面，故错误.

（3）平面是没有大小的，故错误.

［答案］（1）7⑵X⑶X

2.下列关于长方体的叙述不正确的是（）

A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B.长方体中相对的面都相互平行

C.长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D.两底面之间的棱互相平行且等长

A［A中只有移动相同距离才能形成长方体.］

3.（一题多空）在长方体ABCD-A\B\C\D\中，A8=4,BC=3,A4,=5,则直

线BC到面A\B\C\DX的距离为；直线BC\到面ADD\A\的距离为；

面ABB\A\与面DCC\D\的距离为.

543［直线到面A131G5的距离为8Bi=A4i=5;

直线BCi到面ADDA的距离为A8=4：

面ABBiAi到面DCC\D\的距离为BC=3.］

4.如图，在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）A8CD-AdCQi中,

E,尸分别是AB”的中点，则以下结论中不成立的是.

（1）E/与垂直；（2）E尸与8。垂直；（3）麻与CD异面；（4）E尸与4G异面.

(4)［连接Al仇图略)，VE,F分别是A&,8G的中点，是△A|BG的

中位线，：.EF//A}C\,故⑴⑵⑶正确,(4)错误.］

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

随驾/________________图形语言、文字语言、符号语言的相互转化

【例1】(1)点P在直线。上，直线a在平面a内可记为()

A.PGa,aUaB.Pu。，aUa

C.PUa,aWaD.PGa,a&a

(2)用符号表示下列语句，并画出图形.

①平面a与4相交于直线/,直线a与a,4分别相交于A,B.

②点A,8在平面a内，直线a与平面a交于点C,C不在直线A3上.

［思路探究］直线和平面看作点的集合今类比元素与集合、集合与集合之间关

系的表示方法进行表示.

(1)A［由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可

知点P在直线a上表示为PGa,直线a在平面a内可表示为aUa,故A正确.］

(2)解：①用符号表示：

aCR=l,aAa=A,aC£=B,如图.

②用符号表示：Ada,BGa,a^\a-C,C^AB,如图.

厂......••规法.........-

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、

几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“e”或“建”，直

线与平面的位置关系只能用“u”或“Q”.

提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别.

［跟进训练］

1.已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系:

⑴点。与平面夕：.

⑵点A与平面a：.

(3)直线A3与平面a：.

(4)直线CO与平面a：.

(5)平面a与平面仪.

［答案］(1)。初(2)A如(3MBDa=B(4)CDCa(5)aC尸BD

幺型2从运动观点认识几何体

【例2】如图所示，请画出①②③中线段绕着直线/旋转一周形成的空

间图形.

①②③

［思路探究］线的运动可以形成平面或曲面，观察和/的位置关系及旋转

的方式和方向，可以尝试画出形成的图形.

阙

①

［母题探究］

本例若改为A3与/有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形.

用运动观点认识几何体

(1)点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与

旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面.

(2)在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边

的实物来模拟.

长方体中基本元素之间的关

「建型37

［探究问题］

1.射线运动后的轨迹是什么？

［提示］水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面.其它情

况，可形成曲面.

2.如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻

找一些点、线、面，并将它们列举出来.

［提示］面可以列举如下：

平面41A2&B1,平面AlA2D2Di，平面GCzAA,平面8132c2G，平面A\B\C\D\,

平面A282c2。2；

线可以列举如下：

直线A4|,直线8e，直线CG,直线。A,直线A2心,直线。2。2等；

点可以列举如下：点A,点4,点8,点S,点。，点G,点。，点Di,点

A?，点B2，点。2，点D2;

它们共同组成了课桌这个几何体.

【例3】在长方体ABCD-AE，CO中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延

展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，

(1)与直线股。平行的平面有哪几个？

(2)与平面8。平行的平面有哪几个？

［思路探究］观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置

关系.

［解］(1)与直线EC平行的平面有平面A3CO,平面ADD7V.

(2)与平面平行的平面为平面AD'.

［母题探究］

1.在本例中其他条件不变，

(1)与直线夕C垂直的平面有哪几个？

(2)与平面8C垂直的平面有哪几个？

［解］(1)有平面A夕，平面C。'.

(2)有平面A3',平面A'C,平面C。'，平面AC.

2.本例中与棱4。相交的棱有哪几条？它们与棱AZT所成的角是多少？

［解］有4'A,A'B',D'D,D'C.

由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱4。所成角都是90。.

3.本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示平面AE与平面。。之间

的距离？

［解］A'D',B'C,BC,AO的长均可以表示.

「........规法.............................

1.平行关系的判定

(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成

“长”“宽”“高”三组，其中“高”AAi,BBi,CG,相互平行；“长”A5,

DC,AS,2G相互平行；“宽"A。，BC,A\D\,BiG相互平行.

(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与

某一平面不相交，就平行.

(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行.

2.垂直关系的判定

(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面

有且只有一个公共点，则二者垂直.

(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二

者垂直.

、类型4求点面距、线面距、面面距

【例4］已知棱长为2的正方体ABCD-AyB\C\D\中，点C到平面BDD\B\

的距离为()

A.1B.也

C.2巾D.2小

B［如图，连接AC交8。于点。，AC,平面3。£)四，

，CO即为点C到平面BDD\B\的距离.又CO=；AC=；•产.•.点

C到平面BDD\B\的距离为也.]

「......规WcT5法............................

求点面距、线面距、面面距的方法

(1)点面距：求点与面的距离的方法是过点作面的垂线，垂线段的长即为点面

距.

(2)线面距、面面距：求线面距、面面距的方法是转化成求点面距，转化时注

意点的位置的选取.

[跟进训练]

2.(1)在长方体ABCD-A向G2中，M,N分别为G。，A3的中点，AB=4,

则MN与平面BCC\B\的距离为()

A.4B.2^2

C.2D.72

(2)在长方体ABCrMiBCiOi中，E,F,G,”分别为A4”BB\,CC\,DD\

的中点，A4|=4,则平面ABC。与平面EEG”的距离为.

(1)C(2)2[(1)如图，MN〃平面BCG3,

...MN与平面BCM的距离为N到平面BCC\B\的距离.又N到平面BCC\B\

的距离为NB=%B=2,

：.MN与平面BCC\B\的距离为2.

(2)平面ABCD与平面EFGH的距离为3A41X4=2.]

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

E超备素第”

知识：

1.根据点、线、面之间的语言描述能够正确的使用符号语言表示它们之间的

位置关系.

2.在空间中，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：

'相交

直线与直线的位置关系｛平行

、异面

（直线在平面内

直线与平面的位置关系1直线与平面相交

〔直线与平面平行

湘交

平面与平面的位置关系“

.平行

方法:

判断两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义，在很

多情况下，定义就是一种常用的判断方法.

0以致用K1

I.在正方体ABCD-ABiG。中，与棱A4i异面的棱有（）

A.8条B.6条C.4条D.2条

C[正方体共有12条棱，其中与平行的有33|,CC,,DDi,共3条，与

相交的有AD,AB,A\D\,A\B\,共4条，因此与棱441异面的棱有11一3一4

=4（条）,故选C.]

2.能正确表示点A在直线/上且直线/在平面a内的是（）

C[选项A只表示点A在直线/上；选项D表示直线/与平面a相交于点A;

选项B中的直线/有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面a内，

故选C.]

3.若a和匕是异面直线，人和c是异面直线，则。和c的位置关系是（）

A.异面或平行B.异面或相交

C.异面D.相交、平行或异面

D［可参考长方体中各条线的位置关系判断.］

4.（一题两空）线段4?长为5cm,在水平面上向右移动4cm后记为CD,将

CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为CD,再将沿水平方向向左移动4cm

后记为A'B',依次连接构成长方体ABCD-A'B'C'D'.

⑴平面A'B'BA与平面间的距离为cm；

（2）点A到平面8CCE的距离为cm.

（1）4（2）5［如图，在长方体ABCD-A'B'CO中，45=5cm,BC=4cm,CC

=3cm,

二平面A'B'BA与平面COQ'C之间的距离为4cm;点A到平面BCCB'的距离

为5cm.]

5.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面

位置关系如何？试画图分析.

［解］这两个平面平行（如图①）或相交（如图②）.

图②

H.1.3多面体与棱柱

学习目标核心素养

1.了解多面体的定义及其分类.（重点）L通过多面体的定义与分类学

2.理解棱柱的定义和结构特征.（重点）习，培养数学抽象的核心素养.

3.了解多面体表面积的概念，知道棱柱2.借助棱柱结构特征的学习，

表面积的计算公式，能用公式解决简单的培养直观想象的数学核心素养.

实际问题.(难点)

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

(1)定义

由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.

(2)相关概念(如图所示)

围成多面体的各个多边形称为多面体的面,相邻两个面的公共边称为多面体

的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点.

②多面体的面对角线与体对角线

一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱，就称

其为多面体的面对角线；连接丕也回一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角

线.如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而是一条体对角线.

③多面体的截面与表面积

一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何

体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE.

多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积).

(3)凸多面体

把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧,

则称这样的多面体为凸多面体.

思考1：长方体、正方体是多面体吗？

［提示］是.长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均

满足多面体的定义.

思考2：最简单的多面体由几个面所围成？

［提示］4个.

(4)正多面体

各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多

面体.

［拓展］

已知正多面体顶点数K面数凡棱数£之间满足关系

V+F~E=2.

2.棱柱

(1)定义

如果一个多面体有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上，其

余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱.

⑵图示及相关概念

棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、

下底面),其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱.

(3)棱柱的表示

棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图

所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F',此棱柱也可表示为棱柱AD'.

(4)棱柱的高与侧面积

过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它

的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积.

(5)棱柱的分类

(按侧棱与(直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱

［底面关系i斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱

在(按底面的形状:三棱柱、四棱柱、五棱柱等

特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱.

(6)平行六面体与直平行六面体

底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体

称为直平行六面体.

初试身■手bi

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“义”)

(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形.()

(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形.()

(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()

(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.

)

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)X

2.下列几何体中是棱柱的个数有()

D[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.]

3.下面没有体对角线的一种几何体是（）

A.三棱柱B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱

A[三棱柱只有面对角线，没有体对角线.]

4.（一题多空）一个棱柱至少有个面；面数最少的棱柱有

个顶点，有条棱.

569[面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱.]

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

棱柱的结构特征

出型1Z

【例1】下列关于棱柱的说法正确的个数是（）

①四棱柱是平行六面体；

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行的几何体是棱柱；

④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.

A.1B.2C.3D.4

A[四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边

形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；

底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确.]

厂.......规法.......................

棱柱结构特征的辨析技巧

⑴扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定