第六章平面向量及其应用期末复习讲义高一下学期数学人教A版

高一下学期《平面向量》期末复习综合练习知识要点向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律②结合律减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算(1)(2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，向量共线定理与性质向量共线定理：如果且，则；向量共线性质：且，则一定存在唯一一个实数，使．向量的数量积的定义①定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）；向量与的数量积记作，即；向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为平面向量数量积的性质与运算律（1）平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，θ为与（或）的夹角．则①；②；两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．平面向量线性运算的坐标表示（1）两个向量和（差）的坐标表示已知非零向量则：（2）向量数乘的坐标表示平面向量数量积的几何与坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)考点探究典例1向量相等与共线1．向量与不共线，，，且与共线，则，应满足A． B． C． D．【分析】根据题意知，然后根据与共线可得出，从而可得出，应满足的关系式．【解答】解：不共线，，且与共线，存在实数，使，，．故选：．典例2平面向量数量积的性质及其运算1、在中，，，为线段上的点，且．若，则A． B． C． D．【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的夹角的运算求解即可．【解答】解：在中，，，为线段上的点，且，，，，，，，，，，即，故选：．2、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为A． B． C． D．【分析】取的中点，连接，通过转化得，则转化为求的最大值，由图得当点与点或点重合时，取得最大值，计算最值即可．【解答】解：如图，取的中点，连接，连接，，分别过点，点作的垂线，垂足分别为，，所以，当点与点或点重合时，取得最大值，因为八边形为正八边形，则由正八边形的性质知，且，因为，，所以四边形为矩形，，为等腰直角三角形，则，，则，，取得最大值为，所以的最大值为．故选：．典例3平面向量的基本定理1、在中，满足，过的直线与，分别交于，两点．若，，则的最小值为．【分析】根据题意知为的重心，从而可得出，再根据，，三点共线可得出，然后根据基本不等式和“1的代换”即可求出的最小值．【解答】解：，为的重心，且，，且，，三点共线，，且，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为：．故答案为：．专题练习一、单选题1．已知平面向量满足．若，则（

）A．－2 B． C． D．22．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或3．在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（

）A． B． C．3 D．34．已知菱形的边长为2，，G是菱形ABCD内一点，若，则（

）A． B．1 C． D．25．已知向量，则以下说法正确的是（）A． B．方向上的单位向量为C．向量在向量上的投影为 D．若，则6．已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（

）A． B． C． D．8．如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（

）A． B． C． D．159．向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（

）A． B．1 C． D．10．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．2二、多选题11．已知向量，，且与的夹角为，则（

）A． B．C． D．在上的投影向量是12．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，O为的外心，则（

）A．B．的面积为C．D．若M是边AC上靠近点A的四等分点，则13．中，下列说法正确的是（

）A．若，则为钝角三角形.B．若，，则点的轨迹一定通过的内心.C．若为重心，则D．若点满足，，，则14．已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则15．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标，记作．则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则A，B，C三点共线C．若，则D．若，，则四边形OACB的面积为三、填空题16．平面向量满足：，，，且，，则.17．在矩形中，，，E为的中点，F为的中点，Q为边上的动点（包括端点），则的取值范围为．18．已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为．19．如图，在中，分别是边AB，AC上的点，，且，点是线段DE的中点，且，则.20．如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是.四、解答题21．已知向量，满足，，.(1)求在上的投影向量；(2)若向量与垂直，求实数的值.22．已知向量，(1)若，求实数的值；(2)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.23．已知在中，是边的中点，且，设与交于点，记.(1)用表示向量；(2)若，且，求的余弦值.24．奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.(1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求；(2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围.25．已知，，且与的夹角为．(1)求在上的投影向量；(2)若，求实数的值；(3)求向量与向量夹角的余弦值．26．如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.(1)若，求和的值；(2)若，求的最小值.27．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）．(1)若，用，表示；(2)若点为的外心，求、的值；(3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围．28．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点.(1)若向量的“伴随函数”为，求向量；(2)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，；（ⅰ）求周长的最大值；（ⅱ）求的最大值.29．如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．(1)设，将用、、表示；(2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围．30．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.(1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；(2)若，求的范围；(3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.参考答案：1．D【分析】根据向量的运算性质，判断，即可求解.【详解】由知，，则.故选：D2．A【分析】由共线定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得.【详解】因为与同向共线，所以存在使得，即，又向量不共线，所以，解得（舍去）或.故选：A3．C【分析】利用向量的线性运算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到结果.【详解】三点共线，设，则，又，所以，即.故选：C.4．D【分析】由题设，先求出，再由推理得到是中线的一个三等分点，从而将用的线性组合表示，再代入所求式，即可求得【详解】如图，由,因，则，又因菱形，则；由可得，,取的中点为，则有,即,故.故选：D.5．D【分析】由条件根据向量线性运算坐标公式求，再由向量的模的坐标表示计算，判断A，根据定义单位向量定义和向量的线性运算坐标公式求方向上的单位向量，判断B，根据向量的投影的定义求向量在向量上的投影，判断C，根据向量垂直的坐标表示，判断D.【详解】对于A：由可得，，所以，A错误；对于B：因为，所以，所以方向上的单位向量为，B错误；对于C,向量在向量上的投影为，C错误；对于D：，所以，D正确.故选：D.6．B【分析】利用三角形的对称性建立坐标系，利用坐标运算再结合二次函数求出结果即可.【详解】以中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以，因为，所以，所以的取值范围是.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意建立坐标系，用坐标表示向量的数量积计算即得.7．A【分析】由，即点四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【详解】设，由，，，则，所以，又，所以，即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径，在中，由余弦定理可得，即，又由正弦定理可得，即的最大值为，故选：A8．B【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】由题可设，则由题意得，因为、、三点共线，故，所以，所以，又、、三点共线，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：B.9．C【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，利用距离和的最值求解的最小值.【详解】作，，，因为不等式恒成立，则，即，从而有，故.设，，则.作点E关于直线OB的对称点F，，则，当且仅当三点共线时取得等号.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二，一是恒成立条件的转化，可求的值；二是利用转化求得函数的最小值.10．A【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可.【详解】∵是的重心，，又，结合题意知，因为三点共线,当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．11．ABD【分析】根据向量线性运算的坐标求解可得，可求解A，根据数量积的坐标运算求解B，根据夹角公式可求解C，根据投影向量的公式即可求解D.【详解】对于A，由，可得，，故A正确；对于B，由于，所以，故B正确；对于C，，由于，所以，故C错误；对于D，在上的投影向量为，故D正确.故选：ABD12．ABD【分析】根据余弦定理判断A，根据面积公式判断B，由正弦定理及数量积的定义判断C，根据数量积的运算律化简求值判断D.【详解】由余弦定理得，所以，正确;，正确;因为为的外心，，所以，设的外接圆半径为，由正弦定理得，所以，错误;因为，所以，所以，所以，D正确.故选：ABD13．BD【分析】根据可确定角为锐角，可判断A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D．【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为钝角三角形，故A错误；选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致．若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；选项C：若为的重心，设边的中点为，则，故C错误；选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，于是有．又，则，故D正确．故选：BD．14．BCD【分析】根据平面数列数量积的定义即可判断A；对等式两边同时平方可得、，即可判断BC；根据共线向量和数量积的运算律计算即可判断D.【详解】A：由，所以，不一定有，故A错误；B：因为，所以，即．得，所以，故B正确；C：因为，所以，即，得，故与反向，所以，故C正确：D：因为．所以存在实数，使得，此时，即，故D正确．故选：BCD．15．ABD【分析】选项A，易知，再由，利用向量数量积的运算法则，展开运算即可；选项B，由，即可作出判断；选项C，利用基底表示出，再判断是否成立即可；选项D，结合余弦定理与勾股定理算出的值，由求解即可.【详解】对于A，由题意得，故，故，正确；对于B，由题意得，，所以，所以A，B，C三点共线，故B正确；对于C，由题意得，，所以，故与不垂直，故C错误；对于D，连接OC，在中，OA边上的高为，所以；在中，OB边上的高为，所以．故，故D正确．故选：ABD.16．/【分析】结合数量积的定义和性质求出、和，利用即可求出答案.【详解】因为，所以，因为，，，，所以，，因为，，所以.故答案为：.17．【分析】建立适当的平面直角坐标系，引入参数，结合向量数量积的坐标公式将表示成的函数，由此即可得解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：由题意，设，从而，所以的取值范围是.故答案为：.18．【分析】取和，转化为，得到三点共线，得到的最小值，即为中边上的高，在中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求解.【详解】在中，因为，如图所示，取的中点，可得，再延长到点，使得，可得，因为，因为，所以三点共线，所以的最小值，即为中边上的高，在中，由余弦定理得，所以，又由，可得，即，解得，所以的最小值为.故答案为：.19．【分析】先用余弦定理可得，然后由向量的数量积计算可得，进而由平面向量的线性运算可得，从而由平面向量的基本定理可得的值，进而可得结论.【详解】由中，，得，则.由，且得，则，即.由是的中点，所以,所以，又，所以，化简可得，又，所以，则.故答案为：.20．【分析】将转化成结合三角恒等变换公式即可求解.【详解】连接，则，由题可设，则，所以，因为，所以，故.故答案为：.21．(1)；(2).【分析】（1）求出，再利用投影向量的意义求解即得.（2）利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解即得.【详解】（1），所以在上的投影向量为.（2）由向量与垂直，得，整理得，即，所以.22．(1)(2)【分析】（1）利用向量线性运算与垂直的坐标表示即可得解；（2）利用向量夹角是钝角得到且与不反向共线，从而得解.【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，解得；（2）因为与的夹角是钝角，，，所以，解得，又当，即时，，此时与的夹角为，故，综上可得.23．(1)，(2).【分析】（1）根据向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解；（2）由得，结合及数量积的定义即可求解.【详解】（1），所以，.（2）因为，所以，即，所以，所以，即的余弦值为.24．(1)(2)【分析】（1）根据奔驰定理以及内切圆的性质可得，即可根据得，进而根据线性运算得,由共线即可求解，（2）根据奔驰定理以及外接圆的性质可得，即可得，结合三角恒等变换可得，即可根据函数的性质求解.【详解】（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为，由可得，即，由，不妨设，故，设，则,故,由于与共线，而与不共线，因此必然，故，（2）设外接圆的半径为,则由得，即，由于，所以,因此，又，所以,由于三角形为锐角三角形，所以，解得，故,故当时，取最小值，当或时，，故.25．(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，结合投影向量的概念与计算公式，准确计算，即可求解；（2）根据，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解；（3）根据题意，求得且，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为，所以．则在上的投影向量为.（2）解：因为，所以，即，即，解得．（3）解：因为，且，设向量与向量的夹角为，则，即向量与向量夹角的余弦值为．26．(1)(2)【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解.(2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，又是线段的中点，所以，又，且不共线，所以.（2）因为，，由（1）可知，，所以，因为三点共线，所以，即又，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.27．(1)；(2)，；(3)【分析】（1）可化简，化简后可用表示，表示，代入即可；.（2）由点为的外心，可得，利用这两个关系式可求、的值；（3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，化简后可得，所以，若，则.（2）如图，设的中点为，连接，则，又，同理，又，即，同理，整理得到，解得；（3）如图，为的平分线，则，所以，设，.故，因为不共线，故，所以，因为，所以，故.又,所以，所以.故的取值范围为.28．(1)(2)(i)

(ii)【分析】（1）由“源向量”