第五章数列复习课课件高二下学期数学人教B版选择性

第1课时数列复习课人教B版

数学选择性必修第三册知识梳理构建体系知识网络

要点梳理

1.什么是数列?数列的分类有哪些?什么是数列通项公式和数列递推公式?什么是数列的前n项和?数列与函数之间具有怎样的关系?请完成下表:概念含义数列、数列的项按照

一定次序

排列的一列数称为数列.数列中的

每一个数

都称为这个数列的项数列的分类项数

有限

的数列称为有穷数列,项数

无限

的数列称为无穷数列递增数列:an+1>an;递减数列:an+1<an;常数列:an+1=an,其中n∈N+概念含义数列的通项公式一般地,如果数列的第n项an与n之间的关系可以用

an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)数列的前n项和一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.由数列的前n项和为Sn,求其通项公式an=数列与函数的关系事实上,数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数2.什么是等差数列?什么是等差中项?等差数列的通项公式与前n项和公式是什么?等差数列有哪些常用性质?请完成下表:等差数列的定义一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于

同一个常数d,即an+1-an=d恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的公差等差中项如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的等差中项,即2A=x+y通项公式一般地,如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d前n项和公式设等差数列{an}的公差为d,其前n项和等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).(2)若数列{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an.(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为

2d.(4)若数列{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若数列{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为

md的等差数列.(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.

3.什么是等比数列?什么是等比中项?等比数列的通项公式与前n项和公式是什么?等比数列有哪些常用性质?请完成下表.等比数列的定义一般地,如果数列{an}从第

2项起,每一项与它的前一项之比都等于

同一个常数

,即

恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的

公比等比中项如果x,G,y成等比数列,那么称

G为x与y的等比中项.即G是x与y的等比中项⇒x,G,y成等比数列⇒G2=xy通项公式一般地,如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q,那么它的通项公式是an=a1qn-1前n项和公式设等比数列{an}的公比为q,其前n项和4.数学归纳法一个与自然数有关的命题,如果(1)当n=n0时,命题成立;(2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立.那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(2)在数列{an}中,若满足an+1=an,则数列an为常数列.(√)(3)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N+,都有an+1=Sn+1-Sn.(√)(4)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=20.(√)(5)在等差数列中,Sn是其前n项和,则有S2n-1=(2n-1)an.(√)(6)在公比为q的等比数列{an}中,当q>1时,该数列为递增数列.(×)(7)等比数列{2n}的前n项和为2n-2.(×)(8)若Sn为等比数列的前n项和,则S3,S6,S9成等比数列.(×)(9)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(×)(10)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(×)专题归纳核心突破专题整合

专题一

由数列的递推关系求数列的通项公式1.形如an+1=an+f(n),求an.【例1】

已知在数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式.解:由an+1-an=3n-n,得an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),……a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.当n≥2时,以上n-1个等式两端分别相加,得(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],2.形如an+1=anf(n),求an.3.形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,且b≠1),求an.【变式训练3】

已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.解:∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1,∴an=2·3n-1-1.反思感悟由递推公式求通项公式的常见类型与方法

专题二

数列求和【例5】

已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3,(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

因为a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,所以an=2n.当n=1时,a1=S1=2.综上所述,an=2n(n∈N+).(2)由题意知,nan=n·2n,则Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式作差得,-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.因此Tn=2+(n-1)·2n+1.数列求和的常用方法(1)公式法.(2)分组求和法.将数列通项变形后,每一项拆成两项或多项,重新分组,将一般数列求和化归为特殊数列求和.(3)倒序求和法.(4)错位相减求和法.(5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.(6)并项求和法.反思感悟专题三

“分析——猜想——归纳——证明”型的数列问题

(1)求a2,a3,a4;(2)猜想{an}的通项公式,并证明.(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.(2)猜想:an=n.证明如下:①当n=1时,猜想成立.②假设当n=k(k≥2)时,猜想成立,即ak=k,那么当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk所以当n=k+1时,猜想也成立.根据①②知,对任意n∈N+,都有an=n.高考体验

考点一

等差数列的概念、通项及其前n项和1.(2023·全国甲高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(

)A.25 B.22

C.20

D.15答案:C2.(2023·天津高考)已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为(

)A.3 B.18

C.54

D.152解析:由题意可得:当n=1时,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①当n=2时,a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1q3=2×33=54.故选C.答案:C3.(2020·全国Ⅱ高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=

.

解析:设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.答案:25答案:B5.(2021·全国甲高考)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列{}是等差数列.证明:{an}是等差数列.即Sn=n2a1.当n≥2时,Sn=n2a1,Sn-1=(n-1)2a1,则an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,当n=1时,由an=(2n-1)a1得a1=(2×1-1)a1=a1,∴an=(2n-1)a1,n∈N*,∴{an}是等差数列.6.(2022·全国新高考Ⅱ)已知{an}为等差数列,{bn}为公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.(1)证明:设等差数列的公差为d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,得d=2b1.由a2-b2=b4-a4,可得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),可得a1+2b1-2b1=8b1-(a1+6b1),整理可得a1=b1,得证.(2)解:由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,可得b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,得2k-1=2m.∵1≤m≤500,∴2≤2k-1≤1

000.∴2≤k≤10.又k∈Z,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9.考点二

等比数列的概念、通项及其前n项和7.(2023·全国甲高考)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=(

)答案:C8.(2020·全国Ⅰ高考)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(

)A.12 B.24

C.30

D.32解析:设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.答案:D9.(2021·全国甲高考)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(

)A.7 B.8

C.9

D.10解析:设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠1.根据等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.答案:A10.(2023·全国甲高考)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为

.

解析:已知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,若q=1,则Sn=na1.有8S6=48a1,7S3