山东省济南市历下区某校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第一学期开学适应性练习（满分：150分，测试时间：90分钟）一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（）A． B． C． D．2．下列数中：8，，，，，0，，9.121121112无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列运算不正确的是（）A． B． C． D．4．估算的值（）A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间5．我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖B入口进D出口的概率是（）A． B． C． D．6．已知，代数式的值是（）A．4 B． C．5 D．7．若，则化简的结果是（）A． B． C． D．8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18 B．15 C．12 D．89．如图1，已知扇形，点P从点O出发，沿以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为，，y随x变化的图象如图2所示，则扇形的面积为（）A． B． C． D．10．如图，已知点D、E分别是等边中、边上的中点，，点F是线段上的动点，则的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．已知一个正数的两个平方根分别是和，则x的值为______．12．如图，在中，是边上的中线，，若，，则______．13．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是______．14．如图，矩形中，，，P为上一点，将沿翻折至，与相交于点O，且，则的长为______．15．如图，等腰直角三角形的两直角边分别为1，以斜边为边作第二个等腰直角三角形，再以斜边为边作第三个等腰直角三角形，如此进行下去…记等腰直角三角形的直角边长为，按上述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为，，，…，则______．三、解答题（共10小题，满分90分）16．（7分）先化简再求值：，其中，．17．（7分）计算：（1）；（2）．18．（7分）如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接．（1）求证：．（2）若，求的度数．19．（8分）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为1个单位长度）（1）请在图中作出关于直线l成轴对称的；（2）在直线l上找一点P，使得最小．（保留必要的作图痕迹）20．（8分）概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果：（1）有5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为______．（2）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），求飞镖落在阴影部分的概率．21．（9分）如图，在中，，，，点为外一点，连接，，测得，，求四边形的面积．22．（10分）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（）．（1）求．（2）当时，求t的值．23．（10分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题风筝离地面垂直高度探究问题背景风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．测量数据抽象模型小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．问题产生经过讨论，兴趣小组得出以下问题：（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？问题解决……该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．24．（12分）甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程与乙行驶的时间的关系如图①所示，其中h表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图②所示，请你解决以下问题：（1）图②中的自变量是______，因变量是______；（2）甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h；（3）结合题意和图①，可知图②中：______，______；（4）求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为7.5km?25．（12分）在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．【阅读理解】小明在班内经过合作交流，得到了如9下的解决方法：（1）如图1，延长到M，使，连接．根据______可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围．【方法感悟】我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑作“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的．【问题解决】（2）如图2，在中，，的平分线交边于点D．若，，求的长．【应用提升】（3）已知：如图3，中，，，．D、E是三角形边、上两个动点，且，连接，．求的最小值．2024-2025学年第一学期开学适应性练习——八年级数学参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．【解答】解：0.0000061＝6.1×10﹣6，故选：C．2．【解答】解：327=无理数有π2，5，共有2故选：B．3．【解答】解：A．3x﹣2x＝x，故选项A计算正确，不符合题意；B．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故选项B计算错误，符合题意；C．（2x2）3＝8x6，故选项C计算正确，不符合题意；D．2x2÷x＝2x，故选项D计算正确，不符合题意；故选：B．4．【解答】解：∵4＜24＜∴6＜24+2＜故选：B．5．【解答】解：如图可知，A，B为入口；C，D，E为出口，∴小颖B入口进D出口的概率为：16故选：B．6．【解答】解：∵a2+a﹣5＝0，∴a2﹣5＝﹣a，a2+a＝5，∴（a2﹣5）（a+1）＝﹣a（a+1）＝﹣a2﹣a＝﹣（a2+a）＝﹣5．故选：B．7．【解答】解：∵b-3+（a﹣4）2∴b﹣3＝0，a﹣4＝0，即a＝4，b＝3，∴ab故选：A．8．【解答】解：将台阶展开，如图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2+BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：B．9．【解答】解：由图象可知：点P从点B运动到点O的时间为π+6﹣（π+3）＝3，∴OB＝3cm，即扇形的半径为3cm，由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为π+3，∴弧长为πcm，设扇形的圆心角为n，根据弧长公式可得：n×3解得n＝60°，由扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为60×32π360=1.5故选：D．10．【解答】解：连接CE交AD于点F，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF，BE=∴BF+EF＝CF+EF＝CE，此时BF+EF的值最小，最小值为CE，∴CE=∴BF+EF的最小值为33故选：D．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．【解答】解：∵正数有两个平方根，他们互为相反数，∴3x﹣2+5x﹣14＝0，解得：x＝2，故答案为：2．12．【解答】解：∵CD是边AB上的中线，∴AD＝BD，∴△ACD和△BCD等底同高，∴S△ACD＝S△BCD＝3，∴S△ABC＝6，∴S△∴12∴AE＝3．故答案为：3．13．【解答】解：如图：（1）AB=BD2（2）AB=AE2+（3）AB=AC2+所以需要爬行的最短距离是25．14．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4，在△ODP和△OEG中，∠D∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，∴CG＝4﹣x，BG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即32+（4﹣x）2＝（x+1）2，解得：x＝2.4，∴AP＝2.4；故答案为：2.4．15．【解答】解：第1个等腰直角三角形ABC的直角边长为x1＝1，∴第2个等腰直角三角形ABC的直角边长为x2=1第3个等腰直角三角形ABC的直角边长为x3=(第4个等腰直角三角形ABC的直角边长为x4=2••••••，∴第n个等腰直角三角形ABC的直角边长为xn=2∴x2023=22023-1=故答案为：21011．三．解答题（共10小题，满分90分）16．【解答】解：[（3a+b）2+（b+3a）（b﹣3a）﹣6b2]÷（2b）＝（9a2+6ab+b2+b2﹣9a2﹣6b2）÷（2b）＝（6ab﹣4b2）÷（2b）＝3a﹣2b，当a=-13，b＝﹣2时，原式17．【解答】解：（1）原式＝5﹣4﹣3＝﹣2；（2）原式=-3+7-＝3．18．【解答】（1）证明：射线AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠FAE，在△AEC和△AEF中，AC=∴△AEC≌△AEF（SAS）；（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），∴∠C＝∠F，∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，∴∠FAE+∠F＝50°，∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，∴∠BEF＝80°，∴∠BEF为80°．19．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）如图，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，则PA+PB＝PA+PB'＝AB'，为最小值，则点P即为所求．20．【解答】解：（1）将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌有5种等可能结果，其中是奇数的有2种结果，∴是奇数的概率为25故答案为：25（2）令最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部分的面积为2+1+4＝7，所以飞镖落在阴影部分的概率是716故答案为：71621．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC=AB在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD=12×12×5+12×22．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，∴BC=AB2故答案为：12；（2）由题意可得AP＝t，则PC＝16﹣t，在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°，由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2，即（16﹣t）2+122＝t2，解得：t＝12.5，∴当点P运动到PA＝PB时，t的值为12.5．23．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，由勾股定理，可得AC=AB∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米），答：风筝离地面的垂直高度为9.5米；（2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米，A'C＝20米，在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，BC＝15米，由勾股定理，可得A′B=A'则应该再放出25﹣17＝8（米），答：他应该再放出8米长的线．24．【解答】解：（1）图②中的自变量是乙行驶的时间，因变量是甲、乙两人之间的路程差；故答案为：乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差；（2）由图可得，甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h），故答案为：25，10；（3）由图可得，b＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10，a＝1.5，故答案为：1.5，10；（4）由题意可得，前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5，则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后，设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km，25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5，解得，x=425﹣10x＝7.5，得x=7即乙出发43h或74h时，甲、乙两人路程差为7.525．【解答】解：（1）∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△ADC和△MDB中，CD=∴△ADC≌△MDB（SAS），故答案为：SAS；（2）延长AB到P，使BP＝BD，连接DP，∴∠P＝∠BDP=12∠∵∠ABD＝2∠C，∴∠P＝∠C，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠PAD＝∠CAD，在△ADP和△ADC中，∠P∴△ADP≌△ADC（AAS），∴AC＝AP＝AB+BP＝AB+BD＝3+2＝5；（3）过点C向上作CM∥AB，使CM