2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）第02讲 二次根式的运算（7个知识点+14类题型）（解析版）

第02讲二次根式的运算（7个知识点+14类题型）课程标准学习目标1.二次根式的乘法法则和除法法则；2.最简二次根式与同类二次根式；3.二次根式的加法法则和减法法则；1.掌握二次根式的乘法法则和除法法则；2.掌握最简二次根式与同类二次根式的概念与应用；3.掌握二次根式的加法法则和减法法则；知识点01：二次根式的乘法法则1、二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。【即学即练1】1．（2023下·浙江·八年级专题练习）计算（）A． B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对二次根式的乘法的法则的掌握．利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．【详解】解：．故选：C．知识点02：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点03：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广注意：a≥0，b＞0时，a≥0，b＞0时，才有意义；如果被开方数时带分数，应先化成假分数【即学即练2】2．（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．【详解】解：A、，故错误，不合题意；B、，故正确，符合题意；C、，故错误，不合题意；D、和不能合并，故错误，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握二次根式的加减乘除法则是解题关键．知识点04：最简二次根式最简二次根式的概念被开方数不含分母被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【即学即练3】3．（2023下·浙江·八年级专题练习）已知最简二次根式与二次根式可以合并成项，则整数，的值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先化简，根据最简二次根式的定义可得，解方程组即可求解．【详解】解：∵，最简二次根式与二次根式可以合并成项，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据二次根式的性质化简，根据题意列出方程组是解题的关键．知识点05：同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如【即学即练4】4．（2023下·浙江·八年级阶段练习）与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义，最简二次根式的被开方数相同，进行判断即可．【详解】解：，，，∴，，，中，与是同类二次根式的是；故选C．【点睛】本题考查同类二次根式的识别．熟练掌握同类二次根式的定义，是解题的关键．知识点06：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。【即学即练5】5．（2023下·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的性质对各项进行运算即可．【详解】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．知识点07：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【即学即练6】6．（2022·浙江·九年级自主招生）已知，则a的值为（

）A． B．5 C． D．3【答案】C【分析】根据题意得出，，代入等式，解关于的一元一次方程即可求解．【详解】解：∵∴，∴，，又∴解得：，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，得出，是解题的关键．题型01二次根式的乘法1．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断．【详解】A、不能合并，故选项不符合题意；B、根据二次根式加法法则，故选项不符合题意；C、根据二次根式除法法则，故选项不符合题意；D、根据二次根式乘法法则，故选项符合题意．故选：D．2．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算的结果为．【答案】2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．根据平方差公式计算．【详解】解：，故答案为：2．3．（2023上·甘肃陇南·九年级统考期末）计算：．【答案】【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键．先利用平方差公式计算二次根式的乘法运算，零次幂和绝对值，再合并即可．【详解】．题型02二次根式的除法1．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）下列二次根式运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．【详解】解：A.，故A计算错误，不符合题意；B.，故B计算错误，不符合题意；C.，故C计算正确，符合题意；D.，故D计算错误，不符合题意．故选：C．2．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式除法运算，直接根据二次根式除法运算法则计算即可．【详解】解：．故答案为：．3．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则以及注意计算的准确性即可．（1）化成最简二次根式即可求解；（2）利用乘法分配律，将被开方数相乘即可求解；（3）利用完全平方公式即可求解；（4）先算除法，再算加减，即可求解．【详解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式题型03二次根式的乘除混合运算1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．利用二次根式的乘除法和加减法法则进行计算，逐个判断即可．【详解】解：A、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意；B、，原式错误，故本选项不符合题意；C、，原式错误，故本选项不符合题意；D、，正确，故本选项符合题意；故选：D．2．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：（1）．（2）．【答案】3．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)5【分析】本题主要考查了二次根式的计算，对于（1），根据二次根式的乘除法法则计算；对于（2），先化简，再合并同类二次根式；对于（3），根据二次根式的乘法法则计算，并化简为最简二次根式；对于（4），先将除法变为乘法，再按照顺序计算；对于（5），先化简，再合并同类二次根式；对于（6），先根据完全平方公式计算，再计算乘法，最后算二次根式的减法即可．【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式．题型04最简二次根式的判断1．（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：、是最简二次根式，不是最简二次根式，不是最简二次根式，不是最简二次根式，故选：B．2．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）在、、、中最简二次根式是．【答案】【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可解答．【详解】解：是最简二次根式，符合题意；，不是最简二次根式，不符合题意；，不是最简二次根式，不符合题意；，不是最简二次根式，不符合题意；综上：最简二次根式有，故答案为：．3．（2021上·福建三明·八年级统考期中）已知二次根式．（1）如果该二次根式，求的值；（2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个二次根式的积．【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5．【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可；（2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案．【详解】解：（1）∵∴a+2=32解得a=7（2）化简，得∵为最简二次根式，且与能够合并∴解得a=8∴两个二次根式的积为.【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．题型05化为最简二次根式1．（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”进行判断即可．【详解】解：A.，不是最简二次根式，不合题意；B.，不是最简二次根式，不合题意；C.，不是最简二次根式，不合题意；D.，是最简二次根式，符合题意；故选：D．2．（2023上·河北承德·八年级统考期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：．【答案】4（答案不唯一）【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可．【详解】∵是最简二次根式，∴．故答案为：4（答案不唯一）．3．（2023上·云南文山·八年级统考阶段练习）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可．（2）将二次根式分母去掉，即可达到化简的目的．【详解】（1）解：原式（2）解：原式【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．题型06已知最简二次根式求参数1．（2023下·四川德阳·八年级统考期末）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同即可求解．【详解】解：∵最简二次根式与能够合并，∴，解得：．故选C．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的定义．解题的关键是熟知同类最简二次根式的被开方数相同．2．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则的值是．【答案】1【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义求解即可．【详解】解：∵，又∵最简二次根式和是同类二次根式，∴，解得：．故答案为：1．【点睛】本题考查化最简二次根式，同类二次根式的定义．掌握几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式是解题关键．3．（2023上·陕西西安·八年级统考阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值．【答案】【分析】先化简，则，再根据同类二次根式的定义即可列式作答．【详解】解：∵，∴，∴．【点睛】本题考查了同类二次根式以及最简二次根式；几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；熟练掌握这两个知识点的应用是解题的关键．题型07同类二次根式1．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误；B、与不是同类二次根式，故B错误；C、与不是同类二次根式，故C错误；D、与是同类二次根式，故D正确；2．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为.【答案】2【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，这样的二次根式称为最简二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，根据最简二次根式和根式的定义进行解答即可．【详解】解：，最简二次根式与是同类二次根式，，，故答案为：．3．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）若最简二次根式与可以合并，求的值．【答案】【分析】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可．【详解】解：最简二次根式与可以合并，与是同类二次根式，，．题型08二次根式的加减运算1．（2023下·四川德阳·八年级统考期中）已知，，则a，b的关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则求解、，进而逐项判断即可．【详解】解：∵，，∴，，，故选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意，故选：D．2．（2023下·全国·八年级专题练习）．【答案】【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，首先化简二次根式进而合并同类二次根式得出答案．【详解】解：原式．故答案为：．3．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解答关键．（1）根据二次根式的乘除运算法则和性质求解即可；（2）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．题型09二次根式的混合运算1．（2023上·重庆·九年级校考期中）估计的值应在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【答案】B【分析】本题考查数的估值，二次根式的化简．根据题意可知，再给估值，继而得到本题答案．【详解】解:∵∵，∴，∴，∴是介于和之间的数，∴是介于和之间的数，故选：B．2．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：（1）；（2）；（3）．【答案】143．（2023上·山西太原·八年级统考阶段练习）计算(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握混合运算的运算顺序是解本题的关键；（1）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可；（2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算即可．【详解】（1）解：；（2）．题型10分母有理化1．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）甲、乙两位同学对式子分别作了如下变形：甲：．乙：．下列关于甲、乙两位同学作的变形过程，说法正确的是（）A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确【答案】A【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及分式化简变形，分式的值不变，分子分母同时乘上或除以一个不为0的数，分式的值不变，据此即可作答．【详解】解：甲同学，是先将分式分子分母同时乘上，然后再通过平方差公式化简，从而达到分母有理化，即乙同学：先把分式的分子通过平方差公式变形为，再与分母约分，分式的值不变，即∴甲、乙都正确故选：A2．（2023上·河南周口·九年级校联考期中）已知，，则．【答案】【分析】本题考查了多项式乘多项式，分母有理化，代数式求值，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．先把，化简，再代入求值即可．【详解】解：，，，，．故答案为：．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）问题1：计算：（1）；

（2）问题2：观察上面运算的结果，可以看出，若一个式子乘以另一个式子其积是有理式，则其中的一个式子叫做另一个式子的有理化因式．将式子的分母进行有理化处理．【答案】问题1：（1）；（2）；问题2：．【分析】本题考查平方差公式和二次根式的运算，正确计算是解题的关键：问题1：（1）根据平方差公式和二次根式的运算计算即可；（2）根据平方差公式和二次根式的运算计算即可；问题2：根据平方差公式和二次根式的运算计算即可；【详解】问题1：（1）解：；（2）；问题2：．题型11已知字母的值化简求值1．（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，，则和的值分别是（

）．A．10、 B．10、2 C．12、2 D．12、【答案】D【分析】先根据已知求得，然后把所求的代数式变形代入求值即可．【详解】解：∵，，∴，，∴；；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的化简及利用完全平方式变形求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）若，则．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分解因式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出和的值，再分解因式，最后代入求出答案即可．【详解】解：，．，，．故答案为：．3．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：.把作为整体代入：得即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：(1)己知，求代数式的值；(2)已知，求代数式的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；（2）根据完全平方公式计算可得，然后利用整体代入计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，即，∴，∴．题型12已知条件式化简求值1．（2023下·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）已知，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系．2．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如果，那么的值是．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的值，进而求出的值即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)49【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．（1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；（2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，，则．（2）解：∵，，∴，，则．题型13比较二次根式的大小1．（2021上·八年级校考单元测试）2、、15三个数的大小关系是（

）A．2＜15＜ B．＜15＜2C．2＜＜15 D．＜2＜15【答案】A【分析】将分别化成，再进行比较即可．【详解】且即故选：A．【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．2．（2023下·山东临沂·八年级校考阶段练习）比较大小：；．（填“”“”或“”）【答案】【分析】①将、平方之后可得，。进而利用有理数大小比较的方法即可解答；②将、分母有理化，再利用作差发法即可解答．【详解】解：①∵，，∴，∴，故答案为；②∵，，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了二次根式大小比较的方法，二次根式的性质，分母有理化，掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．3．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知，．(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；(2)求代数式的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小；（2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，，∵∴，∴；（2）解：∵，，∴．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．题型14二次根式的应用1．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（

）A．4 B． C．9 D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．【详解】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，∵空白部分的面积为，∴一个空白长方形面积为，∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1，∴大正方形边长为，重叠部分边长1，∴空白部分的长为，设空白部分宽为x，可得：，解得：，∴小正方形的边长=空白部分的宽+重叠部分边长，∴小正方形面积，故选：C．2．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，，则的面积为．【答案】3【分析】本题考查了二次根式的应用．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案．【详解】解：由题意可得：，故答案为：3．3．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）秦九韶（1208年-1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么．(1)在中，，请用上面的公式计算的面积；(2)如图，在中，，垂足为，求的长；(3)一个三角形的三边长分别为，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角形的面积．（1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；（2）由海伦-秦九韶公式求得的面积．再根据，即可求；（3）根据得以得到，再根据面积可以得到，代入计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴的面积为，（2）解：∴，∴的面积为，又∵，∴；（3）解：∵，∴，即，又∵∴，即，∴．A夯实基础1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．【详解】解：不是同类二次根式，不能相加，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误；故选：B2．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）的有理化因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答．【详解】解：∵，∴的有理化因式是．故选：B．3．（2023上·河南南阳·九年级校考期末）化简．【答案】【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，分子提，与分母约分，然后再化简．在进行二次根式的化简运算时，要先化简再计算可使计算更简便．【详解】解：原式．故答案为：4．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则．【答案】【分析】本题考查了同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此即可求解．【详解】解：由题意得：，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．5．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】题主要考查二次根式的化简及求值的知识，先运到平方差公式和单项式乘以多项式运算，然后合并同类项，再代入数值计算是解题的关键．【详解】解：，当时，原式．6．（2023下·七年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)8(2)(3)(4)1【详解】（1）原式＝2＋2＋4＝8．（2）．（3）．（4）原式＝1＋2－3＋1＝1．B能力提升1．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可得到答案．此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项正确，符合题意；C．，故选项错误，不符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：B．2．（2024上·广东湛江·九年级统考期末）设的整数部分为，小数部分为，则的值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键．本题先求解，，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴的整数部分为，小数部分为，∴，故选：A．3．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）计算：【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式的乘法法则和平方差公式，利用二次根式的乘法法则和平方差公式即可求解.【详解】解：故答案为：1．4．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知，则代数式．【答案】【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．5．（2024上·甘肃酒泉·八年级校联考期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．（1）直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用二次根式的乘除运算法则，进而化简得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：．6．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）计算：(1)(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了二次根式的混合运算．（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可求解；（2）先利用二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可求解；（3）先利用二次根式的乘法、除法法则计算，再合并同类二次根式即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．C综合素养