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计算机数学基础教程

本书是整合计算机专业以及相关专业必备数学基础知识而编写的教材。全书共分7篇17章；内容包括数学基础、微积分与级数、高等代数与线性代数、空间解析几何与图论、数理逻辑、概率论与数理统计等基础数学分支。本书编写贯彻少而精、重基础、重实践的原则。其特点主要是，内容分布均匀、重点突出、选材重在基础和必备，按数学自身规律有机组织知识内容、教材体系完整统一。本书针对应用型计算机专业以及相关专业学生编写；适合应用型普通高校及高职高专院校计算机专业及相关专业学生教学使用；也可以用作IT行业从业人员为提高数学基础知识的读本或专业培训教材。

本书特色◎按数学自身规律组织教材内容；实现课程优质教学。◎内容分布均匀、合理；适合计算机专业基础知识的需求。◎培养目标明确课程学时适宜；建议128学时。◎注重实践，学以致用；例题丰富，课外练习适量。第一篇数学与计算机数学

第1章绪论第二篇数学基础

第2章集合与关系

第3章函数第三篇微积分

第4章极限与连续

第5章导数与微分

第6章不定积分

第7章定积分

第8章无穷级数第四篇代数

第9章行列式、矩阵与向量

第11章抽象代数第五篇空间解析几何与图论

第12章空间解析几何

第13章图论第六篇数理逻辑

第14章命题逻辑

第15章谓词逻辑第七篇概率论与数理统计

第16章概率论基础

第17章数理统计基础

友情提示◎本课件几乎包括了教材的全部内容。但任课教师最好根据教学对象的认知条件和教学目标，进行必要的选择、修订和删改，以便更好地适应教学要求；

◎课件制作了颇多的动画，视觉效果可能是比较好的；但是，由于PPT的功能缺陷，使容易在不当操作时变形；提醒任课教师谨慎操作和使用。在上课前最好先试用一遍，了解正确的操作过程。最好再留有一个副本，以便必要时复用。◎本教材和本课件中可能存在许多谬误之处，请任课教师不吝赐教；并尽可能通知作者，以便在适当时候修正。容作者先表示感谢。

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第1章绪论计算机数学基础教程本章目录

第1章绪论

第一篇

数学与计算机数学

本章目录1.1数学1.2计算机数学1.3计算机数学的教学和学习

内容要点数学的意义1数学的发展历史与实践2数学的主要特性3计算机数学的产生与构建4计算机数学内容的规范与组织5计算机数学的教材与学习61.1数学恩格斯说：“数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学。”1，数学是研究数的学问

⑴数学源于“现实世界”；⑵数学研究事物的内在数量关系及外部几何形体的特性；⑶数学的研究内容则是数与数之间的关系及空间形式；⑷研究数量关系是数学的主要内容；⑸数学是研究抽象符号之间关系的一门科学。1.1数学计算机的主要用途数学的发展

早期主要用于数值计算第一阶段自然数几何学

加工处理的对象：纯粹的数值

第二阶段解析几何微积分

数值计算的关键如何得出数学模型（方程）？

第四阶段

离散数学

组合数学第三阶段集合论数理逻辑

2，数学的发展历史与实践

基础性一切科学和技术都需要数学数学是科学不可动摇的基石严谨性表现形式按严格的规则组织在推导上按严格的规则推理应用性数学是人类知识活动的有力工具用数抽象事物用数学符号和语言形式化用数学规则构建数学理论抽象性1.1数学3.数学的主要特性1.2计算机数学1，计算机技术的发展催生了计算机数学的诞生

计算机数学是学习和应用计算机所需要掌握的数学知识的汇集。计算机的硬件原理和软件设计，都基于一种问题的数学模型；计算机系统是一种以数学为基础的装置。计算机的运作以离散数学为基础，计算机的应用以连续数学为基础。连续数学需要建立相关的离散数学模型。

数学教学是提取具有公共基础性的数学分支构成，以利于计算机专业的基础数学的教学。1.2计算机数学2，计算机数学的构建原则

计算机数学综合多门数学课程，删繁求简、择其基础；少而精，重应用。

计算机数学按数学规率组织内容，安排顺序，使达到知识的整合性、内容的完整性、体系的统一性。计算机数学在内容上互相沟通、互相交融；使概念统一，理论统一，教学统一；把多个数学分支组成一个统一整体。1.2计算机数学3，计算机数学的内容规范和组织

计算机数学内容的一般包含，

（1）连续数学部分：连续性概念、微积分、级数、多元微积分、微分方程、数值计算，概率及数理统计等。

（2）离散数学部分：集合论、图论、代数（包括高等代数、线性代数及抽象代数）、解析几何、离散概率、数理逻辑及组合数学等。计算机数学内容的最小包含，

（1）连续数学部分—微积分（2）离散数学部分—集合论、图论、代数与数理逻辑。根据不同层次的学校、不同专业及不同要求在最大集合及最小集合间选择1.3计算机数学的教学和学习1，计算机数学的教学

以建立必要的数学基础知识与数学应用能力为宗旨组织内容、教学体系和教学过程。

在内容的深度和宽度上也可以进行适当选择和协调；如尽可能减少或回避理论证明，多引入应用实例、指导问题数学建模等内容。1.3计算机数学的教学和学习2，计算机数学的学习

建立必须的数学知识和数额学素养

学习和掌握基本的数学知识和应用能力

要学会用数学思维思考问题。1.3计算机数学的教学和学习3，本教材的内容体系

①

集合论

数学的基础

②连续数学部分极限与连续、微分与积分、级数等

③

代数

高等代数、线性代数与抽象代数

④

代数的继续

空间解析几何与图论

⑤

数理逻辑命题逻辑与谓词逻辑

⑥

概率与统计概率论基础与数理统计基础

第2章集合与关系计算机数学基础教程本章目录

第2章集合与关系第3章函数与运算

第二篇

数学基础本章目录2.1集合基础2.2关系

内容要点集合论的数学意义1集合的基本概念2集合的表示方法与集合间关系3集合的基本性质与集合的运算4关系的基本概念5关系的表示方法与关系的运算62.1集合基础

集合论是一种研究数学基础性问题的数学。集合与关系是数学的基础

集合是数学的研究对象关系是数学研究的内容2.1

集合基础解释1.

集合是一些具有共同目标的对象汇集在一起形成的一个集体。集合一般可用大写字母

S，A，B，…，等表示之。解释2.

元素是集合中具有共同目标的对象称元素；或者说，集合是由元素组成的。元素一般可用小写字母：e，a，b，c，…，等表示之。解释3.

空集是不含任何元素的集合，可记为φ。解释4.

全集是在所讨论或关注范围内的所有元素所组成的集合，称为全集，可记为E。1.集合的基本概念

—集合、元素、空集与全集

2.1

集合基础（1）枚举法：

在一对花括号中列举出集合中所有元素，元素间用逗号隔开。形如，A={a1,a2,...,an}2.集合的表示方法

例，阿拉伯数字字符的集合，表示为，

D={

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

}26个拉丁字母的集合，表示为，C={

a，b，c，……，z

}2.1

集合基础（2）性质刻划法：

用某个能唯一刻划元素性质的p（公式）表示之。形如，

S＝｛x|p(x)｝2.集合的表示方法

例，

1到100的自然数集合，表示为，

N’={x|x≥1且x≤100且x在N中}2008年北京奥运会冠军的集合，表示为，B=｛x|x为2008奥运会冠军获得者｝2.1

集合基础（3）图示法：

用平面区域上的一个矩形表示全集；其它集合则用矩形中的不同园表示之，又称文氏图，形如，2.集合的表示方法

全集某集合2.1

集合基础3.集合间的关系---集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系

（1）集合与元素间的关系：

元素与集合间存在着“隶属”关系。若元素e属于集合S，表示为，e∈S若元素e不属于集合S，表示为，e∈S例，设N为自然数集合，则3∈N，2π∈N设R为自然数集合，则有2π∈N，2+5i∈N2.1

集合基础3.集合间的关系---集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系

（2）集合与集合间的关系：

集合A与集合B之间存在着多种关系。（a）相离关系若有元素e，e∈A，e∈B，则A，B为相离关系。图示法表示如右图。例，若A={1，3，5，7，9}；B={0，2，4，6，8}，则A，B有相离关系。若C={a，b，c，d，e}；D={s，w，x，y，z}，则C，D有相离关系。ABE2.1

集合基础3.集合间的关系---集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系

（2）集合与集合间的关系：

集合A与集合B之间存在着多种关系。（b）相交关系若有元素e，e∈A，e∈B，则A，B为相交关系。图示法表示如右图。例，若A={1，3，5，7，9}；B={0，3，4，5，8}，则A，B有相交关系。若C={a，b，c，d，e}；D={a，b，x，y，z}，则C，D有相交关系。ABE2.1

集合基础3.集合间的关系---集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系

例，若A={1，3，5，7，9}；B={3，4，5}，则称A包含B。若C={a，b，c，d，e}；D={a，b}，则称C包含D。ABE（2）集合与集合间的关系：

集合A与集合B之间存在着多种关系。

c）包含关系

对于e∈B的任何元素，必有e∈A，则称A包含B；表示为AB或BA。图示法表示如右图。2.1

集合基础3.集合间的关系---集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系

例，若A={1，3，5，7，9}；B={3，4，5}，则称A包含B。若C={a，b，c，d，e}；D={a，b}，则称C包含D。ABE（2）集合与集合间的关系：

集合A与集合B之间存在着多种关系。

c）包含关系若AB且有∈A，而∈B则称A真包含B；表示为AB或BA。图示法表示如右图。2.1

集合基础3.集合间的关系---集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系

例，若A={1，3，5，7，9}；B={1，3，5，7，9}，则A=B。若C={a，b，c，d，e}；D={a，b，c，d，e}，则C=D。ABE（2）集合与集合间的关系：

集合A与集合B之间存在着多种关系。c）包含关系若AB且BA则称A与B相等；表示为A=B或B=A。图示法表示如右图。2.1

集合基础4.集合的基本性质性质1.集合元素的确定性：

对于集合S与元素e，或者e∈S，或者e∈S；二者必居其一。性质2.集合元素的相异性：

集合中的元素均不相同。若e1∈S且e2∈S，则e1≠e2。性质3.集合元素的无序性：

集合中的元素与其排列次序无关。性质4.集合与元素的相异性：

在集合论中，集合与元素是两个不同概念。集合是由元素组成，不等同于元素。2.1

集合基础4.集合的基本性质性质5.集合与元素的相同性：

一个集合可以是另一个集合的元素。这个性质反映了集合的嵌套性。性质6.集合的层次性：

设有集合S，则{S}也是集合，但S≠{S}，{S}是比S更高一层次的集合。同样，有{S}≠{{S}}，{{S}}是比{S}更高一层次的集合，…。由此类推，可以得到一个集合的多个层次的集合。性质7.空集是一切集合的子集：

对任一集合S，都有φS。性质8.所有集合都是全集的子集：

对任一集合S，都有SE。由性质7和性质8有：对任一集合S，都有φSE。2.1

集合基础5.集合运算运算1.并运算：

将集合A与集合B中所有元素合并的运算。记为C=A∪B，所得集合C称为A与B的并集。ABEC图示为，2.1

集合基础5.集合运算运算2.交运算：

将集合A与B中的公共元素取出的运算。记为C=A∩B，所得集合C称为A与B的交集。图示为，BECA2.1

集合基础5.集合运算运算3.补运算：

将集合A中所有属于E但不属于A的元素取出的运算；记为B=～A，所得集合B称为A的补集。图示为，EBA2.1

集合基础5.集合运算集合的运算定律：定律1.交换律：集合的并、交运算满足交换律。

A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A

定律2.结合律：集合的并、交运算满足结合律。

A∪（B∪C）＝（A∪B）∪CA∩（B∩C）＝（A∩B）∩C

定律3.分配律：集合的并、交运算满足分配律。A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

2.1

集合基础5.集合运算集合的运算定律：定律4.等幕律：集合的并、交运算满足等幕律。A∪A＝AA∩A＝A

定律5.双否定律：集合的补运算满足双否定律。～（～A）＝A

定律6.互补律：集合的并、交、补运算满足互补律。即，A∪～A＝EA∩～A＝Φ～E＝Φ～Φ＝E2.1

集合基础5.集合运算集合的运算定律：定律7.同一律：集合的并、交运算满足同一律。A∩E＝AA∪Φ＝AA∩Φ＝ΦA∪E＝E

定律8.吸收律：集合的并、交运算满足吸收律。A∪（A∩B）＝AA∩（A∪B）＝A

定律9.德·摩根律：集合的并、交运算满足摩根律。～（A∪B）＝～A∩～B～（A∩B）＝～A∪～B2.1

集合基础5.集合运算运算4.笛卡尔乘---集合的扩充运算：序偶：按一定次序排列的两个元素a与b组成的一个有序对，记为（a，b）。其中，a与b分别称为（a，b）的第一分量与第二分量。

序偶是两个元素之间构成的次序；构成了一种新的、特殊结构的元素；序偶本身不表示是由两个元素组成的集合。

序偶集：以序偶为元素所组成的集合。

（1）两个概念：2.1

集合基础5.集合运算运算4.笛卡尔乘---集合的扩充运算：

在集合A与集合B中，将A中元素作为第一分量，B中元素作为第二分量构作的所有序偶所形成序偶集的过程，称为笛卡尔乘；记为A×B。笛卡尔乘所形成的结果集C是一个序偶集，称为A与B的笛卡尔乘积，或简称为笛卡尔积。笛卡尔乘表示如下，C=A×B＝｛（a，b）|a∈A，b∈B｝（2）笛卡尔乘：2.1

集合基础5.集合运算运算4.笛卡尔乘---集合的扩充运算：

n个按一定次序排列的元素a1，a2，…，an组成一个有序序列称为n元有序组；记为（a1，a2，…，an）。其中ai（i＝1,2,…n）可称为（a1，a2，…，an）的第i个分量。（3）n元有序组与n元有序组集：

以n元有序组为元素所组成的集合称为n元有序组集。2.1

集合基础5.集合运算运算4.笛卡尔乘---集合的扩充运算：

在n个集合S1，S2，…，Sn中,将Si（i＝1,2,…n）中元素作为第i个分量构作的所有n元有序组所形成n元有序组集的过程称为n阶笛卡尔乘，记为S1×S2×…×Sn；所形成的结果集C是一个n元有序组集；称集合S1，S2，…，Sn的n阶笛卡尔乘积。表示如下，

C=S1×S2×…×Sn={(x1，x2，…，xn)｜xi∈Si（i＝1,2,…n）}（4）n阶笛卡尔乘积：当S=S1=S2=…=Sn时，n阶笛卡尔乘积可简记为Sn；即

S1×S2×…×Sn=Sn

2.2关系1.关系的基本概念关系是世间存在的普遍现象。在数学及众多学科中，对各类复杂关系的研究为其主要内容。这里的关系表现为对各学科中关系的一般性规则的研究。例如，

人与人之间：“朋友“，”“冤家对头”，“亲戚”，“师生”，“上下级”，“双亲或子女”关系等。

程序间：“调用”，“并行”关系等等。

数学上：“大于”，“小于”，“相等”关系，“函数”关系等。2.2关系1.关系的基本概念例如，

集合A={1，2，3}集合B={a，b，c，d，e，f}结果集合R={(1,a),(2,b)，(3,c)，(1,d)，(2,e)，(3,f)}

集合A与B的一个从A到B的二元关系R是一个序偶集；该序偶集是A×B的一个子集；记为R

A×B。

二元关系一般常称为关系。在从A到B的关系R中，A称为R的前域，B称为R的陪域。当A=B时，称R为集合A上的关系；即RA×A。关系的定义：2.2关系1.关系的基本概念

集合A与B的一个从A到B的二元关系R是一个序偶集；该序偶集是A×B的一个子集；记为R

A×B。

二元关系一般常称为关系。在从A到B的关系R中，A称为R的前域，B称为R的陪域。当A=B时，称R为集合A上的关系；即RA×A。关系的定义：从A到B的关系R中,凡(a，b)∈R中的所有a∈A所构成的集合称R的定义域，记为D(R)；而所有b∈B所构成的集合称R的值域，记为R(R)。一般而言，AD(R)且BR(R)。可图示为2.2关系2.关系的表示法（1）枚举法：列出关系中的所有序偶。一般形式为，R={序偶1,序偶2,...,序偶n}（2）特性刻划法：是一种关系的隐式表示法，即可用一个唯一刻划序偶的性质P表示之;一般形式为，

R={(x，y)｜P（x，y）}（3）图示法：表示从A到B的关系R时，A，B中的元素可用图中结点表示；R中的序偶（ai，bj）用从结点ai到结点bj带箭头的边表示。一般形式为右图，2.2关系3.关系运算(1)复合运算：设R是一个从集合X到Y的关系，S是从Y到Z的关系，则R与S的复合运算表示为RοS；并定义为，

C

=RοS={(x,z)|x∈X,z∈Z,且存在y∈Y有(x,y)∈R,(y,z)∈S

}则称C为R与S的复合关系。例如，设X=Y=Z={1，2，3，4，5}，且有，R＝｛（1，2）,（3，4）,（2，2）｝S＝｛（4，2）,（2，5）,（3，1）｝则有RοS＝{(1，5）,(3，2)，(2，5)｝123451234512345RSRοS2.2关系3.关系运算(2)逆运算：设R是一个从集合X到Y的关系，即,则R的逆运算定义为

。

例如，设X={1，2，3}Y={a，b，c}，且有，R＝｛（1，a）,（2，b）,（3，c）｝则有＝{(a，1）,(b，2)，(c，3)｝123abcR2.2关系4.n元关系上面讨论的都是2(n=2)元关系；实际地，还有多元关系。

例如，设A={1，2，3}B={a，b}，C={α，β}；则有3元关系，R＝｛（1，a，α）,（2，b，α）,（3，a,β）｝n元关系的定义：

集合S1，S2，…，Sn所确定的n元关系R是一个n元有序组集，它是S1×S2×…×Sn的一个子集；亦即有，RS1×S2×…×Sn

第3章函数与运算计算机数学基础教程本章目录

第2章集合与关系第3章函数与运算

第二篇

数学基础本章目录3.1函数的基本概念3.2函数运算3.3

实函数讨论3.4

初等函数3.5

多元函数3.6

运算与代数系统3.7

有限集与无限集

内容要点函数定义与函数表示1函数的分类2实函数的定义、表示和性质4初等函数与多元函数5运算与代数系统6函数的运算3有限集与无限集的概念73.1函数的基本概念

函数是数学中的一个基本概念。函数是一种典型的、规范的关系函数是一种特殊的、规范的关系。函数建立从一个集合到另一个集合的映射关系。往往用函数取代关系作为数学的研究内容。3.1函数的基本概念1.函数的定义定义1，设有集合X与Y，f是从X到Y的关系；若对于每个x∈X都存在唯一的y∈Y，使得（x,y）∈f，则称f是X到Y的函数，或称X到Y的映射；可记为f：X→Y，或，或y=f（x）。

在函数f：X→Y中，若X=Y，则称f为X上的函数；Y中对应于x∈X的元素y称为X的像，而x称为y的像源。例子1，设自然数集N={0，1，2，3，…},若f：N→N,f(n)＝n+1是函数；且称为后继函数，或称皮亚诺函数。例子2，设实数集R，函数f:R→R是一种实数函数，也称实函数。3.1函数的基本概念1.函数的定义定义2，函数f：X→Y是一个满足下面两个条件的关系，(1)存在性条件：对每个x∈X,必存在y∈Y,使(x,y)∈f；(2)唯一性条件：对每个x∈X,仅存在一个y∈Y,使得(x,y)∈f。在函数f：X→Y中，定义域D(f)可表示为Df；一般地，Df=X；值域R(f)可表示为Cf，一般地，CfY。3.1函数的基本概念2.函数的表示（1）枚举法：

用序偶集表示函数；形如，

F={序偶1,序偶2,...,序偶n}例子，设X={x1，x2，x3，x4，x5}，

Y={y1，y2，y3，y4，y5}；则可建立函数f：X→Y为，

f＝{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x4,y1),(x5,y5)}。3.1函数的基本概念2.函数的表示（2）特性刻划法：

用某个能唯一刻划函数关系的p（公式）表示之。形如，

F＝｛(x,y)|p(x,y)｝或y＝f(x)例子，f：R→R中，

y＝x2，

y＝

x2+2x+1实函数大都可用特性刻划法表示。3.1函数的基本概念2.函数的表示（3）图示法：

用矩形或椭圆形表示集合及其中的元素，用箭头线表示函数关系。形如，3.1函数的基本概念3.函数的分类---满射、内射、单射和双射（1）满射函数和内射函数：

若函数f：X→Y，有Cf＝Y，则称f为从X到Y的满射函数；否则称为从X到Y的内射函数。满射函数例内射函数例3.1函数的基本概念3.函数的分类---满射、内射、单射和双射（2）单射函数和多对一函数：

若函数f：X→Y，对任意i、j有i≠j时必有f(xi)≠f(xj)，则称f为从X到Y的单射函数，或称为从X到Y的一对一函数；否则，则称为多对一函数。多对一函数例单射函数例3.1函数的基本概念3.函数的分类---满射、内射、单射和双射（3）双射函数：

若函数f：X→Y，是从X到Y的一一对应的；则称f为从X到Y的双射，或称为一一对应函数。若X＝Y，则称f是X上的变换。双射函数例3.2函数运算1.函数的复合运算

设有函数f：X→Y，g：Y→Z，则f与g的复合运算fοg可定义为，

fοg={(x,z)|x∈X,z∈Z且至少存在一个y∈Y,有y=f(x),z＝g(y)}复合运算的结果是一个函数，称为复合函数;令其结果为h；则有h：X→Z，即h＝fοg=g(f(x)).3.2函数运算2.函数的逆运算

设函数f：X→Y是双射的，则由f构成其逆函数的运算称为函数的逆运算，记为f-1。设运算结果为h，则h：Y→X，记为h=f-1，并称其为f的逆函数或反函数。逆运算的结果是一个函数，称为逆函数或反函数;令其结果为h；则有h：Y→X，即h＝f-1=h(y)；函数f存在逆函数的条件是，f必须是双射函数。函数f函数f-13.3实函数讨论1.实函数---高等数学的主要研究对象

y=f(x)中，

x∈X是x在Df中变化的变量，称为自变量；

y∈Y则是在Cf中随x而变化的变量，称为因变量。实函数的定义：

设有函数f:X→Y，其中且x∈X往往是在实数段a与b（a<b）间变化的，则称f为实函数；记为y=f(x)。3.3实函数讨论2.实函数的表示(1)特性刻划法:用自变量的表达式表示因变量;称为显式函数或显函数表示。如,y=(x+a)2,y=x3+3x2+2x-5等等。或用自变量x与因变量y构成的方程式表示；称为隐式函数或隐函数表示。形如，F(x,y)=0；如，5x-3y+7=0，+y-18=0等等。3.3实函数讨论2.实函数的表示(2)图示法:实函数表示的图示法建立在笛卡尔坐标系上。实数的图示表示法：

实数集R上的任何一个实数r用笛卡尔坐标系中数轴上的一点p表示之。图示为，p0x实数区间的图示表示法：

用数轴上的一个线段表示；开区间记为(a,b)，闭区间记为[a,b]。图示为，a0xb3.3实函数讨论2.实函数的表示(2)图示法:实函数表示的图示法建立在笛卡尔坐标系上。实函数的图示表示法：

对实函数上的任意一个序偶（x,y），用笛卡尔坐标上的一个点p表示。序偶（x,y）与点p之间有一一对应关系。如，y=x+1,y=x2的图示法表示如下图。3.3实函数讨论3.实函数的几个主要性质性质1.函数的有界性：设有函数y=f(x)，若存在任意大的正数M，使得对于任一都有，则称f(x)在A上是有界的，或称f(x)为有界函数；M称为函数的界。若函数f(x)不存在界M，则称函数f(x)在A上无界，或称f(x)为A上的无界函数。例如，

函数

y=x2

在[-1,1]上有界，即M

=

1。3.3实函数讨论3.实函数的几个主要性质性质2.函数的单调性：设有函数y=f(x)，若对于任意，当x1≤x2时,必有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)是在I上的单调递增函数。同样，当x1≤x2时必有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)是在I上的单调递减函数。类似地，当x1＜x2时,必有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是在I上的严格单调递增函数。当x1＜x2时必有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是在I上的严格单调递减函数。3.3实函数讨论3.实函数的几个主要性质性质3.函数的奇偶性：设有函数y=f(x)，对任一,必有-且满足f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。若满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数。例，

是奇函数；是偶函数。3.3实函数讨论3.实函数的几个主要性质性质4.函数的周期性：设有函数y=f(x)，若存在非0数T，使得对每一个都有，且总有f(x)=f(x+T)，则称f(x)是周期函数，T称为f(x)的周期。例，

是周期T=2π的周期函数；是周期T=π的周期函数。3.4初等函数4.初等函数的定义---数学中常用的函数(1)基本初等函数：初等函数中最简单、最原始的函数。（a）常数函数：y=C(C为常数)（b）幂函数：y=xa(a为常数)（c）指数函数：y=ax(a为常数且a>0且a≠1)（d）对数函数：(a为常数且a>且qa≠1)（e）三角函数：

（f）反三角函数：3.4初等函数4.初等函数的定义---数学中常用的函数(2)初等函数：基本初等函数，以及通过运算构造的初等函数。初等函数的定义：满足以下条件的函数为初等函数，1.基本初等函数是初等函数；2.对初等函数y=f(x)与y=g(x)作加、减、乘、除运算y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x)×g(x),y=f(x)/g(x)，得到的函数是初等函数；3.对初等函数y=f(z)与z=g(x)作复合函数y=f(g(x))得到的函数是初等函数；4.通过且仅通过有限次步骤使用2-3而得到得函数是初等函数。3.5多元函数多元函数的定义多元函数的概念：函数f：X→Y称为一元函数；即由一个像源决定一个像。若由n个像源决定一个像时，这种函数就称为多元函数或n元函数。多元函数的定义：

设有集合X1，X2，…，Xn及Y；则f：X1×X2×…×Xn

→Y表示从n阶笛卡尔乘积X1×X2×…×Xn到Y的n元函数，可表示为f（x1，x2，…，xn）=y，其中xi∈Xi（i=1，2，…，n）。称其为多元函数。多元函数的例，

设f：R×R→R；f＝{((x,y),x+y)|x∈R,y∈R}。该函数f是一个二元运算。3.6

运算与代数系统1，运算

在函数的基础上可以建立运算的概念；在运算的基础上可以建立代数的概念。3.6

运算与代数系统1，运算

运算是研究数学的有效手段和工具常见运算：四则运算：加、减、乘、除代数运算：乘方、开方、指数、对数

抽象运算：集合运算、关系运算、微分运算、积分运算、

行列式运算、矩阵运算、向量运算3.6

运算与代数系统1，运算

运算的定义：

设有集合S上的n元函数

，称f为S上的n元运算。一个具体的运算，由元数和运算符决定

元数，表示为n。当n=1时，称为1元运算当n=2时，称为2元运算当n≥3时，称为多元运算

运算符，用适当符号表示运算。如四则运算表示为，＋（加）－（减）×（乘）÷（除）

在数学研究中，可以用抽象符号表示某种运算。

如用“○”或“*”等定义某个运算；

3.6

运算与代数系统2，代数系统

代数又称代数系统或称抽象代数。

以运算为核心,建立基础集合以及运算结果封闭性所组成的一种系统；

代数系统由三部分组成：

（1）集合：是代数系统的基础。集合给出了代数系统的研究对象。（2）运算：给出代数系统的研究手段与工具。（3）封闭性：在集合S上的运算结果仍在S中。它表示了运算范围是受限的，即运算受限于集合S。3.6

运算与代数系统2，代数系统例，（1）整数集Z上带有加法运算的系统构成代数系统（Z，+）（2）实数集R上带有加、乘运算的系统构成代数系统（R，＋，×）（3）在自然数集N上带有减法运算的系统不能构成代数系统（N，-）（4）在整数集Z上带有除法运算的系统不能构成代数系统（Z，÷）。代数系统的定义：

非空集合S上的k（k>0）个运算

(一元或二元运算)所构成的封闭系统称为代数系统；记为，

（S，

）3.7有限集与无限集1，有限集与无限集定义：对于集合S，若其元素个数有限，则称为有限集；若其元素个数无限，则称为无限集。

集合按性质分为有限集与无限集两种。

任一种集合中的一些特性都不能任意推广至另一种集合中去。例，

有限集如：S={1月，2月，3月，…，12月}A={a，b，c，d，…，z}无限集如：自然数集N

时间的集合T3.7有限集与无限集2，集合的基数（势）定义：集合S中元素的个数称为S的基数或称势，记为|S|。

集合的基数（或集合的势）是集合的元素的个数的表示。例，

集合S={1月，2月，3月，…，12月}，|S|=12集合A={a，b，c，d，…，z}，|S|=26对于有限集，集合的基数是一个自然数。对于无限集，其基数用一个专门的符号表示

例，自然数集N的基数为（读做Aleph零）与N一一对应的无限集的基数也为不与N一一对应的无限集的基数为与一一对应的无限集的基数为3.7有限集与无限集2，集合的基数（势）定义：集合S中元素的个数称为S的基数或称势，记为|S|。

集合的基数（或集合的势）是集合的元素的个数的表示。例，

集合S={1月，2月，3月，…，12月}，|S|=12集合A={a，b，c，d，…，z}，|S|=26对于有限集，集合的基数是一个自然数。对于无限集，其基数用一个专门的符号表示

例，自然数集N的基数为（读做Aleph零）与N一一对应的无限集的基数也为不与N一一对应的无限集的基数为与一一对应的无限集的基数为3.7有限集与无限集3，集合的层次

有限集：集合的基数|S|为有限时

可列集：集合的基数为时连续统：集合的基数为时3.7有限集与无限集4，连续数学与离散数学

由有限集及基数为

的无限集为基础构成了离散数学

由基数为的无限集为基础构成了连续数学

第4章极限与连续计算机数学基础教程本章目录

第4章极限与连续

第5章导数与微分

第6章不定积分

第7章定积分

第8章无穷级数

第三篇

微积分

本章目录

4.1极限的概念

4.2无穷大量与无穷小量

4.3函数的连续性及其性质

数列的极限和数列极限的性质1函数的极限和函数极限的性质2函数极限的运算法则3

极限存在的判别准则、两个重要极限4无穷大量与无穷小量5函数的连续性及连续函数性质6内容要点4.1极限的概念4.1.1数列的极限1.什么是数列

数列的定义如下：

按一定顺序排列的无穷多个数

y1,y2,y3,……,yn,……称为一个无穷数列,简称数列或序列，并记为{yn}。数列中的每一个数称为数列的项，其中yn称为数列的通项，或称一般项；其实质是给出计算数列中每一个数的公式。

注意点：①数列有无穷多个②它们按一定顺序排列。例如就是一个数列。4.1极限的概念

数列与函数一样，有下列重要性质：

⑴数列的单调增减性

4.1.1数列的极限如果数列{yn}满足y1≤y2≤y3≤…≤yn≤…则称数列{yn}是单调递增的。准确地说是单调不减的；如果去掉等号，则称是严格单调递增的。如果{yn}满足

y1≥y2≥y3≥…≥yn≥…则称数列{yn}是单调不增的；如果去掉等号，则称是严格单调递减的。单调递增和单调递减的数列统称为单调数列。4.1极限的概念

⑵数列的有界性4.1.1数列的极限对于数列{yn}，如果存在一个正数M，使得所有yn都满足∣yn∣≤M则称数列{yn}是有界的；如果不存在这样的M，就称数列{yn}是无界的。在教材例4.1中，数列（8）、（9）是单调递增的，数列（1）、（2）是单调递减的；数列（7）、（8）是无界的，其余数列是有界的。4.1极限的概念

2.数列的极限对数列的研究，最主要的是讨论随着n的无限增大，yn有怎样的变化趋势。有一类数列，随着n的无限增大，对应的yn会向某一个固定的常数A无限接近，这时称数列{yn}当n无限增大时趋向于极限A，并记为,

此时称数列{yn}是收敛的，或称数列{yn}有极限存在。另有一类数列，不具有上面所说的性质；即当n无限增大时，yn并不无限接近某个固定的常数A。这类数列称为是发散的，或称数列的极限不存在。4.1.1数列的极限4.1极限的概念

下面给出数列极限的定义：

对于数列{yn}，当n无限增大时，如果yn无限接近于一个固定常数A，则称此常数A为当n趋于无穷大时数列{yn}的极限。记为，

称有极限存在的数列为收敛数列，无极限存在的数列称为发散数列；并统称为数列的敛散性。上面的“当n无限增大时，yn无限接近于一个固定的常数A”的说法可用数学语言表述为：∣yn-A∣→0，当n→+∞时.

4.1.1数列的极限

4.1极限的概念

3.数列极限的性质下面是数列极限的一些重要性质。

性质4.1一个数列{yn}如果有极限，则它的极限必是唯一的。

性质4.2

若数列{yn}有极限，则数列{yn}必是有界的。由性质4.2可知，如果数列{yn}无界，它一定发散。例如，因为yn=0.0001×n是无界的，所以它一定是发散的。但必须注意，发散的数列不一定无界。如数列{0，1，0，1，0，1，……}，它有界，但没有极限，是发散数列。4.1.1数列的极限

4.1极限的概念

4.1.1数列的极限

性质4.3

数列极限的四则运算法则：若数列{yn}，{zn}都有极限，即；则有：（1）（2）特别地，设c是常数，则有，上面的数列极限的运算法则(1)、(2)均可推广到有限多个数列的情形。（3）性质4.3说明，如果两个数列都有极限，则这两个数列的各对应项之和、差、积、商组成的数列也必有极限存在，其极限分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（注意，作为除数的数列的极限不能为0）。

4.1极限的概念

4.1.1数列的极限

4.1极限的概念

由于数列可以看作是自变量为正整数n的函数yn=ƒ(n)，所以数列的极限是函数极限的特殊类型，其自变量的变化方式是“离散型”的。下面要讨论的是一般函数y=ƒ(x)的极限，即在自变量的某个范围内“连续”无限变化的过程中，对应函数值的变化趋势。下面分三种情况讨论。

1.当x→x0时函数ƒ(x)的极限

定义4.3

设函数ƒ(x)在点x0附近有定义（但可以在点x0处无定义），如果当x无限接近于x0（但不等于x0）时，函数值ƒ(x)无限接近于某个确定的常数A，则称A为当x→x0时函数ƒ(x)的极限，记为，即当∣x-x0∣→0时，∣ƒ(x)-A∣→0。4.1.2函数的极限

4.1极限的概念

4.1.2函数的极限

在讨论函数ƒ(x)在x→x0的极限时，有两点需要注意：①函数ƒ(x)在x0处可以有定义，也可以没有定义，这不影响函数ƒ(x)在x0处的极限是否存在的讨论；②自变量x无限接近于x0的方式是任意的，可从x0的左边接近，也可从x0的右边接近，甚至从x0的两边同时接近，函数的极限都要相同。根据定义4.3有下面两个重要结论：（1）（c为常量）即常量的极限就是常量本身。（2）即函数y=x在x0点的极限就是x0

。考察函数，当x→1时的变化情况。

4.1极限的概念

4.1.2函数的极限

4.1极限的概念

2.函数ƒ(x)的单侧极限在求函数极限时，有时只需或只能考察x从x0的某一侧无限趋近于x0时函数值的变化趋势，这就是单侧（或左、右）极限的概念。

定义4.4

对于在x0左侧某个邻域中有定义的函数y=ƒ(x),如果当x从x0的左侧无限趋近于x0（记作x→x0-0）时，函数ƒ(x)无限地趋近于某一个确定的常数A，则称A是ƒ(x)在x=x0处的左极限，记为，4.1.2函数的极限

4.1极限的概念

定义4.5

对于在x0的右侧某个邻域中有定义的函数y=ƒ(x),如果当x从x0的右侧无限趋近于x0（记作x→x0+0）时，函数ƒ(x)无限地趋近于某一个确定的常数A，则称A是ƒ(x)在x=x0处的右极限，记为，函数的左极限和右极限统称为单侧极限。而定义4.3所定义的极限又可称为双侧极限。根据上面的定义，有下面的重要定理。

定理4.1

如果函数ƒ(x)在x0的某个去心邻域中有定义，则函数ƒ(x)在x→x0时的极限存在的充分必要条件是，函数ƒ(x)在x→x0时的左极限和右极限都存在而且相等。4.1.2函数的极限

4.1极限的概念

3.当x→∞时函数ƒ(x)的极限

定义4.6

设函数ƒ(x)在∞(或-∞，或+∞)的某个邻域内有定义，如果当∣x∣(或-x,或+x)无限增大时，函数ƒ(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为是当x→∞(或x→-∞，或x→+∞)时函数ƒ(x)的极限，记为

有时也记为

ƒ(x)→A(x→∞)（或ƒ(x)→A(x→-∞)，或ƒ(x)→A(x→+∞)）

定理4.2

的充分必要条件是

4.1.2函数的极限

4.1极限的概念

4.1.2函数的极限

4.1极限的概念归纳上面关于函数极限的讨论，自变量x的变化有两类六种不同情况：在以后的讨论中，如果极限号下未写明自变量的变化过程，则泛指自变量的某一变化过程，用通用记号limƒ(x)表示。当ƒ(x)已给出具体函数时，就必须指明自变量的变化过程是六种情况中的哪一种，而不能使用通用记号。

4.1.2函数的极限

性质4.4

如果函数ƒ(x)的极限limƒ(x)存在，则它必是唯一的。

性质4.5

假设存在（这里x0代表六种情况中的任一种），则ƒ(x)在x0点的某个去心(即x≠x0)邻域中有界。

性质4.6

若，则

1）若A>0(<0)，则对x0的某一去心邻域中的所有x，都有ƒ(x)>0(<0)；

2)若对x0的某一去心邻域中的所有x，ƒ(x)≥0（≤

0），则A≥0(≤0)。

4.1极限的概念函数极限也有一些与数列极限类似的性质。

4.1.3函数极限的性质4.1极限的概念

对函数极限的四则运算有如下定理。

定理4.3

设函数ƒ(x)和g(x)在x的同一变化过程中有极限存在，且分别等于A和B，即有limƒ(x)=A，limg(x)=B,则如下的运算法则成立：

(1)lim[ƒ(x)±g(x)]=limƒ(x)±limg(x)=A±B(2)limcƒ(x)=climƒ(x)=cA(c为常数)(3)lim[ƒ(x)·g(x)]=limƒ(x)·limg(x)=AB

⑷

其中法则(1)、(3)可推广到有限多个有极限的函数的代数和与积的情况。4.1.4函数极限的运算法则

4.1极限的概念

由定理4.3可得到下面两个推论：

推论4.1

设n为自然数，则有

limun=(limu)n.因为un=uu…u，根据运算法则(3)即可得此推论。

推论4.2

设n为自然数，则有。根据推论4.1，有，两边开n次方，得，令，并代入上式，即得。例4.8求极限。解：由极限运算法则，得

。4.1.4函数极限的运算法则4.1极限的概念例4.9求极限解：由例4.8可知，分母函数的极限为0，因此不能直接应用法则(4)。但由极限的定义可知，当x→1求极限时，与函数在x=1这一点的性态无关，因而可将函数作如下化简：所以有，

4.1.4函数极限的运算法则4.1极限的概念例4.13求极限解：。例4.14求极限，(其中a0≠0，b0≠0，m，n为正整数).解：在分子、分母中分别提出xn、xm，将分式变形为：

从上面的例子可以看出，有些数列或函数不能直接应用极限运算法则求其极限；但是可通过作适当变形，使之变成能用极限运算法则的形式，然后再求出极限。4.1.4函数极限的运算法则极限的运算法则是在极限存在的前提下，通过运算求得极限的法则。如何来确定一个数列或函数的极限是否存在呢？下面介绍两个判别极限存在的重要准则。

准则4.1

设函数ƒ(x)、g(x)、h(x)在点x0的某个去心邻域内满足条件

ƒ(x)≤g(x)≤h(x)，且有极限，则有。该准则对x→∞时也成立，且对数列亦有相应的结论。准则4.1有时也称为极限存在的两边夹准则。4.1极限的概念

4.1.5判别极限存在的两个准则4.1极限的概念

4.1.5判别极限存在的两个准则

例4.15求极限

解：将分子、分母同时除以n，得分子为，分母为

，对于分母，当n→∞时的极限存在且等于1；对分子，因为有|sinn!|≤1，故有，又，，根据准则4.1，，从而有

准则4.2

单调有界的数列必有极限。（单调上升有上界；单调下降有下界）根据4.1.1节对数列单调性和有界性的论述，因为数列单调变化且有界，数列的项随n增大而趋向一个固定值，所以数列的极限存在，且极限就为这个固定值。

例4.17求数列{}的极限：解：展开这个数列为；显然，数列项的值随n增大不断减小，但总大于0并趋向于0；即数列以0为下界。故而该数列极限存在，且。

4.1极限的概念

4.1.5判别极限存在的两个准则4.1极限的概念

4.1.6两个重要极限

利用极限存在的两个准则，可以证明两个极重要的极限，并利用这两个极限可求得类似函数的极限。1.极限

.这个极限可以看成是一个公式。利用此极限求其他极限时，应当注意两点：①在求极限之前，先看一下sin的自变量部分和分母部分的式子是否一样，如果不一样，要设法化成一样。化的时候一般是把分母部分化成与sin的自变量部分一样，这比较容易。②在求极限过程中，要保证sin的自变量和分母都趋于0。

4.1极限的概念

下面先看一个简单的例子，如求极限

显然，上式sin的自变量π/n与分母1/n不一样。为使其一样，且又不改变原式的值，分子分母同乘以π，而且当n→∞时，也保证了(π/n)→0，所以有4.1.6两个重要极限4.1极限的概念

4.1.6两个重要极限

4.1极限的概念

4.1.6两个重要极限

2.极限

.对于连续变化的自变量x，上式可变形为如下形式：

或

无理数e=2.71828182845……，是自然对数的底。根据上面极限的三种不同形式，求这类极限也要注意两点：先把上式形式化为。①在求极限之前，先看一下p和m是否互为倒数，即m=1/p，且式子是否一样；如果不一样，要设法化成一样。化的时候一般是把m化成1/p，这比较容易。②在A→B的过程中，要保证p→0（与此同时有m→∞）。具体求极限时，也可通过变量代换来实现。这些将通过以下的例子来说明。

4.1极限的概念

4.1.6两个重要极限

4.1极限的概念

4.1.6两个重要极限

4.2无穷大量与无穷小量

4.2.1无穷大量与无穷小量的概念

1.无穷大量

定义4.7当x→x0(或x→∞)时，如果函数ƒ(x)的绝对值可以大于事先指定的任意大的正数M，则称ƒ(x)为x→x0(或x→∞)时的无穷大量，简称为无穷大，记为特别地，在ƒ(x)变化过程中，若能保持ƒ(x)为正（负）值，且为无穷大，则称ƒ(x)为正（负）无穷大。例如

4.2无穷大量与无穷小量

4.2.1无穷大量与无穷小量的概念

注意，无穷大量指的是一种变量，它的绝对值可以任意的大；它不同于任意一个很大的定数。换句话说，任何一个定数，不管它的绝对值有多大，都不能说它是无穷大量。

4.2无穷大量与无穷小量

4.2.1无穷大量与无穷小量的概念

2.无穷小量

定义4.8当x→x0(或x→∞)时，如果函数ƒ(x)的极限为0，则称ƒ(x)为x→x0(或x→∞)时的无穷小量，简称为无穷小。无穷小量常用α、β、γ等来表示。例如，因为，所以当x→1时，(x-1)是无穷小。因为，所以当x→∞时，是无穷小量。

注意：无穷小量是一个其值趋于0的变量的概念，而并非是一个其值接近于0的定数。但是，数0是可以看作无穷小的唯一的数，因为对任何变化过程，都有lim0=0。

4.2无穷大量与无穷小量4.2.1无穷大量与无穷小量的概念3.无穷小量与无穷大量之间的关系

定理4.4在自变量的同一变化过程中，如果ƒ(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果ƒ(x)为无穷小且ƒ(x)≠0，则为无穷大。例4.20求极限。解：因为当x→∞时，x2,10x都趋向于∞；所以不能直接运用极限的运算法则求其极限。现考察函数（x2-10x–100）的倒函数的极限，

4.2无穷大量与无穷小量4.2.1无穷大量与无穷小量的概念即函数是当x→∞时的无穷小量，故