2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题（解析）

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可.【详解】对于A：记,则.因为，所以点在平面α上对于B：记,则.因为，所以点在平面α上对于C：记,则.因为，所以点在平面α上对于D：记,则.因为，所以点不在平面α上.故选：D2．实数且，，则连接，两点的直线与圆C：的位置关系是（

）A．相离 B．相切C．相交 D．不能确定【答案】B【解析】由题意知，m，n是方程的根,再根据两点式求出直线方程，利用圆心到直线的距离与半径之间的关系即可求解.【详解】由题意知，m，n是方程的根，，，过，两点的直线方程为：，圆心到直线的距离为：，故直线和圆相切，故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.3．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】，故①正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.故选：B.4．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（

）A．事件“”的概率为 B．事件“t是奇数”与“”互为对立事件C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“且”的概率为【答案】D【分析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D．二、填空题5．直线的倾斜角为______．【答案】【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】设直线的倾斜角为．由直线化为，故，又，故，故答案为．【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．6．数据：1，1，3，4，6的方差是______.【答案】3.6【分析】先计算平均数，再计算方差.【详解】该组数据的平均数为，方差为故答案为：7．已知三角形OAB顶点，，，则过B点的中线长为______.【答案】【分析】先求出中点坐标，再由距离公式得出过B点的中线长.【详解】由中点坐标公式可得中点，则过B点的中线长为.故答案为：8．用一个平面去截半径为5cm的球，截面面积是则球心到截面的距离为_______．【答案】4cm【分析】根据圆的面积公式算出截面圆的半径，利用球的截面圆性质与勾股定理算出球心到截面的距离．【详解】解：设截面圆的半径为r，截面的面积是，，可得．又球的半径为5cm，根据球的截面圆性质，可得截面到球心的距离为．故答案为：4cm．【点睛】本题主要考查了球的截面圆性质、勾股定理等知识，考查了空间想象能力，属于基础题．9．若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则圆的半径为______.【答案】【分析】利用垂径定理计算即可.【详解】设圆的半径为，则，得.故答案为：.10．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.【答案】【分析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积【详解】由已知可得则故答案为：.11．已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.【答案】【分析】当时，利用及求得函数的解析式.【详解】当时，，由于函数是奇函数，故.【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.12．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是______.【答案】【分析】先由极差以及平均数得出，进而得出中位数.【详解】由可得，，，因为乙得分的平均值为24，所以，所以甲、乙两组数据的中位数是.故答案为：13．已知正三棱台上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【答案】【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为，下底面的面积为，则这个正三棱台的体积为.故答案为：14．如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，，当三棱锥的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为______.【答案】【分析】由三棱锥是正三棱锥，利用正弦定理得出三角形外接圆的半径，进而求出，再由余弦定理得出球O的半径.【详解】因为，所以平面，三棱锥是正三棱锥，设为三角形外接圆的圆心，则在上，连接，，由得出，所以，在中，，即，解得，则球O的半径为.故答案为：15．设在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，从下列四个条件：①；②；③；④中选出三个条件，能使满足所选条件的存在且唯一的所有c的值为______.【答案】，，【分析】由①②结合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所选条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，若选①③④，结合余弦定理可求，若选②③④，结合正弦定理即可求解【详解】由①②结合正弦定理，所以，此时角不唯一，所以故所选条件中不能同时有①②，所以只能是①③④或②③④，若选①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若选②③④，即，，，因为，，所以，由正弦定理得，，故答案为：，16．设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为________．【答案】【分析】先根据和项与通项关系得通项公式，再根据等比数列求和公式得，再根据函数单调性得取值范围，即得取值范围，解得结果.【详解】因为是6和的等差中项，所以当时，当时，因此当为偶数时，当为奇数时，因此因为在上单调递增，所以故答案为：【点睛】本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题17．已知圆C经过、两点，且圆心在直线上．（1）求圆C的方程；（2）若直线经过点且与圆C相切，求直线的方程．【答案】（１）；（２）【解析】【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线的方程与联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，与圆相切，方程为；当直线斜率存在时，设斜率为，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出的值.试题解析：（1）依题意知线段的中点坐标是，直线的斜率为，故线段的中垂线方程是即，解方程组得，即圆心的坐标为，圆的半径，故圆的方程是（2）若直线斜率不存在，则直线方程是，与圆相离，不合题意；若直线斜率存在，可设直线方程是，即，因为直线与圆相切，所以有，解得或．所以直线的方程是或.18．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.(1)设，，求这个几何体的表面积；(2)设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可(1)上下两个扇形的面积之和为：两个矩形面积之和为：4侧面圆弧段的面积为：故这个几何体的表面积为：(2)如下图，将直线平移到下底面上为由，且，，可得：面则而G是弧DF的中点，则由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则则直线与直线的夹角为19．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）.(1)证明图2中的水面也是平行四边形；(2)当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由水的体积得出，进而得出，，从而证明图2中的水面也是平行四边形；（2）在平面内，过点作，交于，由四边形是平行四边形，得出侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，再由直角三角形的边角关系得出其夹角.(1)由题意知，水的体积为，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱，，，交于，，，，则，水的体积为，，即，．，故四边形为平行四边形，即，且又，，，四边形为平行四边形，即图2中的水面也是平行四边形；(2)在平面内，过点作，交于，则四边形是平行四边形，，，侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角，即为所求，而，在中，，侧面与桌面所成角的为．20．已知数列满足，，，n为正整数.(1)证明：数列是等比数列，并求通项公式；(2)证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；(3)若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析(3)【分析】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；（2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证明原结论；（3）求出n=1,2,3,4时的情况，再结合时，，即可求得结果.(1)由已知可知，显然有，否则数列不可能是等比数列；因为，，故可得，由得：，即有，所以数列是等比数列，且；(2)假设存在，，成等差数列，则，即，整理得，即，而是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，故数列中的任意三项，，都不成等差数列；(3)关于正整数n的不等式，即，当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，，并且当时，，因关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，故.21．已知直线，圆.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)点Q恒在直线上，理由见解析.【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程