高中数学人教A版选修1-1课件3-1-1变化率问题1

第三章导数及其应用3.1变化率与导数人教版选修1-13.1.1变化率问题2.函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率(1)定义式：=.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，____________趋近的值.(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢.平均变化率1.函数y=f（x）从x1到x2的平均变化率(1)定义式：=.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量_____.(3)作用：刻画函数值在区间［x1,x2］上变化的快慢.之比基础梳理1.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx是否可以为任意实数，Δy呢？提示：在平均变化率的定义中，增量Δx可正、可负，但不能等于0；而Δy可以为任意实数.2.设函数y=f（x），当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数的改变量Δy为________.【解析】x0处的函数值为f(x0)，x0+Δx处的函数值为f(x0+Δx)，所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0).答案：f(x0+Δx)-f(x0)思考运用1.对平均变化率的解读(1)平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义是表示函数y=f（x）图象上割线P1P2的斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即知识点拨(2)平均变化率的取值平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不一定说明函数f（x）没有发生变化.（3）平均变化率的物理意义平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，在时间段［t1,t2］上的平均速度，即2.平均变化率与瞬时变化率的关系（1）区别：平均变化率刻画函数值在区间［x1,x2］上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢.（2）联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.3.对函数平均变化率公式的拓展（1）如果记Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.类似的，Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均变化率可以表示为式子中的Δx是一个整体符号，不是Δ与x相乘.类型一求函数的平均变化率技法点拨求函数y=f（x）从x1到x2的平均变化率的三个步骤(1)求自变量的增量：Δx=x2-x1.(2)求函数值的增量：Δy=f(x2)-f(x1).(3)作商求函数的平均变化率：典例精析1.y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率为________.2.已知函数f（x）=3x+1和g（x）=2x2+1，分别计算f（x）与g（x）在-3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率．【解析】1.∵∴y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率为答案：典例训练2.（1）∵Δx=-1-(-3)=2，Δy=f(-1)-f(-3)=［3×(-1)+1］-［3×(-3)+1］=6.∴=3.即f(x)在-3到-1之间的平均变化率为3.同理，∵Δx=-1-(-3)=2，Δy=g(-1)-g(-3)=［2×(-1)2+1］-［2×(-3)2+1］=-16.∴=-8.即g(x)在-3到-1之间的平均变化率为-8.(2)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=［3×(1+Δx)+1］-(3×1+1)=3·Δx,∴=3.即f(x)在1到1+Δx之间的平均变化率为3.同理,∵Δy=g(1+Δx)-g(1)=［2×(1+Δx)2+1］-(2×12+1)=4·Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx.即g(x)在1到1+Δx之间的平均变化率为4+2Δx.求y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.【解析】∵∴y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率为变式训练类型二求物体运动的瞬时速度技法点拨求瞬时速度的步骤（1）设非匀速直线运动的轨迹方程是s=s（t）.（2）求时间的改变量Δt，位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).（3）求平均速度（4）求瞬时速度：1.一个物体的运动方程为s=(2t+1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是()(A)10米/秒(B)8米/秒(C)12米/秒(D)6米/秒2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义.典例训练【解析】1.选C.∵s=4t2+4t+1,Δs=［4(1+Δt)2+4(1+Δt)+1］-(4×12+4×1+1)=4(Δt)2+12Δt.=4Δt+12.∴12（米/秒）.2.自由落体的运动公式是s=gt2（其中g是重力加速度），

Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32t+4.9(Δt)2，t.∴v=（t）=29.4m/s.说明在第3秒附近小球大约以29.4m/s的速率下降.某物体的运动速度与时间的关系为v（t）=2t2-1，求t=2时的加速度.【解题指南】物体的加速度a即为在Δt→0时的值.【解析】∵Δv=［2（2+Δt）2-1］-（2×22-1）=8Δt+2（Δt）2，∴a=(8+2Δt)=8.【规范解答】瞬时速度与平均速度的求解变式训练（12分）(2012·天津高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．典例训练【解题指导】【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）=3Δt-（Δt）2①，…………2分②，……3分

③.…………………4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段［2,2＋Δt］，∴Δs=s（2+Δt）-s（2）=［3（2+Δt）-（2+Δt）2］-（3×2-22）=-Δt-（Δt）2①，…………6分

②，…………………7分

③，…………………8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈［0,2］时，Δt=2-0=2.Δs=s（2）-s（0）=（3×2-22）-（3×0-02）=2①.……10分②.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.……12分1.自变量x从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()(A)在区间［x0，x1］上的平均变化率(B)在x0处的变化率(C)在x1处的变化量(D)在区间［x0，x1］上的导数【解析】选A.由平均变化率的定义知，该比值是在区间［x0，x1］上的平均变化率.达标训练2.函数f（x）=2x2-1在区间（1，1+Δx）上的平均变化率等于()(A)4(B)4+2Δx(C)4+2（Δx）2(D)4x【解析】选B.因为Δy=［2（1+Δx）2-1］-（2×12-1）=4Δx+2（Δx）2，所以=4+2Δx，故选B.3.已知：质点的运动方程为s=t2+t，求何时质点的速度为2.【解析】设在t0时刻质点的速度为