第17讲对数函数原卷版

第17讲：对数函数【考点归纳】考点一、对数函数的概念及应用考点二、与对数函数有关的定义域考点三、对数函数的图象问题考点四：对数函数的复合单调性问题考点五：由对数函数的单调性求参数考点六：由对数函数的单调性解不等式考点七、比较大小考点八：对数函数的最值问题考点九：对数函数的应用考点十、对数函数综合问题【知识梳理】知识点一对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．知识点二对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称知识点三不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．知识点四反函数的概念一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．【例题详解】题型一、对数函数的概念及应用1．（2324高一上·全国）若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1C．2 D．且2．（2122高一上·全国）下列函数中，是对数函数的有①；②；③；④；⑤.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2122高一上·山西长治·阶段练习）若函数的反函数的图象过点，则（

）A． B．1 C．2 D．3题型二、与对数函数有关的定义域4．（2324高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．5．（2324高一下·河南·开学考试）函数的定义域为（

）A．且 B． C． D．6．（2324高一上·江西赣州·期末）已知函数的定义域为，若，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型三、对数函数的图象问题7．（2324高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（

）A．B．C． D．8．（2324高一下·青海西宁）函数的图象是（

）A．B．C． D．9．（2324高一上·江西景德镇·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

题型四：对数函数的复合单调性问题10．（2324高一上·江西上饶·期末）已知是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．11．（2324高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．12．（2324高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．题型五：由对数函数的单调性求参数13．（2324高一下·贵州遵义·期中）已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2324高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2324高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型六：由对数函数的单调性解不等式16．（2324高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则实数的取值范围为.17．（2324高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为.18．（2324高一上·四川广安·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立.则不等式的解集为.题型七、比较大小19．（2324高一下·湖北·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．20．（2324高一上·广东深圳·期末）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．21．（2324高一上·浙江丽水·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．题型八：对数函数的最值问题22．（2324高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．23．（2324高一上·广东广州·期末）函数（，，），若，则的值为（

）A．4 B．4或C．2或 D．224．（2324高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（

）A．0 B．1 C．3 D．5题型九：对数函数的应用25．（2223高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍26．（2223高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（

）倍．（参考数据：，，）A． B． C． D．27．（2021·四川泸州·一模）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（

）（参考数据：）A．1559 B．3943 C．1579 D．2512题型十、对数函数综合问题28．（2324高一上·广东湛江·期末）已知函数．(1)若的定义域为，求的取值范围；(2)若的值域为，求的取值范围；(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．29．（2324高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）．(1)若函数定义域为R，求实数的取值范围；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．30．（2324高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数．(1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；(2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【专项训练】一、单选题31．（2324高一上·浙江·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．32．（2324高一下·山西大同·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．33．（2324高一上·新疆克孜勒苏·期末）设，则（

）A． B．C． D．34．（2324高一上·浙江丽水·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（

）A． B． C． D．35．（2324高一上·湖北荆门·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．36．（2324高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．37．（2324高一上·湖南娄底·期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．38．（2324高一上·福建南平·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题39．（2324高一上·四川广安·期末）已知函数，则以下说法正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数40．（2324高一上·江西九江·期末）已知函数，下列说法中正确的是（

）A．若的定义域为，则的取值范围是B．若的值域为，则的取值范围是C．若，则的单调减区间为D．若在上单调递减，则的取值范围是41．（2324高一上·重庆九龙坡·期末）若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．42．（2324高一上·广东江门·期末）已知偶函数在上单调递减，则（

）A． B． C． D．43．（2324高一上·四川成都·期末）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．为偶函数C．在上单调递增 D．的最大值是0三、填空题44．（2324高一上·贵州毕节·期末）“”是“”的.（填“充分不必要条件”、“充要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”）45．（2324高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是．46．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是．47．（2324高一上·福建厦门·期末）已知函数，若，则的最小值为.四、解答题48．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知函数．(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)解关于x的不等式．49．（2324高一上·