2022-2023学年福建省南平市浦城县高一下学期期末冲刺卷数学试题（三）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末数学冲刺卷试题（三）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设，，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗C〖解析〗在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选：C．3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A.2 B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法，平面，到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得：，解得：.故选：D.4.在中，已知，，的外接圆半径为1，则（）A. B. C. D.6〖答案〗C〖解析〗已知A=，得sinA=，∵b=1，R=1，根据正弦定理，得，sinB=，∵，易知B为锐角，∴B=，∴C=，根据三角形的面积公式，S△ABC=.故选：C.5.已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗B〖解析〗因为数据的平均数为，方差为，所以，，…，的平均数和方差分别为和.故选：B.6.如图所示的四组数据，标准差最小的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对A，，；对B，，；对C，，；对D，，；所以标准差最小的是A.故选：A.7.已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意侧棱长为，所以表面积为：．故选：A.8.海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（）A. B.C. D.12〖答案〗C〖解析〗在中，因为，由正弦定理可得：，设，，，且，∴，解得，即，，，且，∴.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（）A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D.小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜〖答案〗ACD〖解析〗对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，所以游戏不公平对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6，6），（6，8），（8，6），（8，8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．故选：ACD．10.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗，由正弦定理可得，整理可得，所以，为三角形内角，，∴，∵，，故A正确，B错误；∵，，，解得，由余弦定理，得，解得或（舍去），故D正确，C错误.故选：AD.11.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A.，，三点共线 B.，，，四点共面C.，，，四点共面 D.，，，四点共面〖答案〗ABC〖解析〗在正方体中，为的中点，直线交平面于点，在选项中，直线交平面于点，平面，直线，又平面，平面，为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，平面，且平面，又平面，且平面，，，三点共线，故选项正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，直线，，，，，四点不共面，故错误．故选：ABC．12.对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形B.若A＞B，则sinA＞sinBC.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个D.若三角形ABC为斜三角形，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sinA＞sinB，所以B正确；对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；对于D，因为，所以因为，所以，所以，所以D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，.若与共线，则在方向上的投影为________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以；因为与共线，，所以，解得；所以在方向上的投影为.故〖答案〗为：.14.已知复数满足条件，那么的最大值为______．〖答案〗4〖解析〗因为，所以复数对应的点在单位圆上，表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，而，所以的最大值为.故〖答案〗为：4.15.在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．〖答案〗米〖解析〗由，易得，，设，则，，，．故〖答案〗为：米.16.如图，点E是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的有__________．①直线与直线始终是异面直线；②存在点，使得；③四面体的体积为定值；④当时，平面平面.〖答案〗②③④.〖解析〗对于①：连接交于点，当点在点时直线与直线相交，故①不正确，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，，，，，对于②：，假设存在点，使得，，，所以，解得，所以当时，故②正确；对于③：连接、交于点，因为点E是棱的中点，此时，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故③正确；对于④：当时，，，，设平面的法向量为，由，令，可得，，可得，设平面的法向量为，，由解得：，令可得，所以，因为，，所以平面平面，故④正确.故〖答案〗为：②③④.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分.）17.实数取什么值时，复数.（1）与复数相等；（2）与复数互为共轭复数；（3）对应的点在轴上方.解：（1）根据复数相等的充要条件得，解得m＝－1.（2）根据共轭复数的定义得，解得m＝1.（3）根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.18.已知向量.（1）若，求证：；（2）若向量共线，求.解：（1）当时，，又，.（2）因为向量共线，，即，当，则与矛盾，故舍去；当时，由得：，又.另解：由，得，所以.19.为了落实提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.解：（1）由频率分布直方图可得，又，则，，该市居民用水的平均数估计为：.（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：，则月均用水量不低于2吨的频率为：，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）.（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，，解得，即标准为5.8吨.20.如图，在三棱锥中，平面ABC，底面ABC是直角三角形，，O是棱的中点，G是的重心，D是PA的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；解：（1）证明：平面ABC，且平面ABC，，底面ABC是直角三角形且，，又平面PAB，平面PAB，，平面.（2）证明：连结并延长交于点，连结，，是的重心，为边上的中线，为边上的中点，又有为边上的中点，，平面PBC，平面PBC，同理可得平面PBC，又平面DOE，平面DOE，，平面DOE平面PBC，又有平面DOE，平面.21.如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积解：（1）由正弦定理得，得，因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，，，解得，在中，，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.22.如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.（1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.解：（1）在棱柱中，面，面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故.（2）证明：在底面中，，，，，，，又因侧棱底面，则底面，面，，又，面，过点作于，连接，则是二面角的平面角，，，则，故，，，设，则，，，故，故．福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末数学冲刺卷试题（三）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设，，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗C〖解析〗在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选：C．3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A.2 B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法，平面，到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得：，解得：.故选：D.4.在中，已知，，的外接圆半径为1，则（）A. B. C. D.6〖答案〗C〖解析〗已知A=，得sinA=，∵b=1，R=1，根据正弦定理，得，sinB=，∵，易知B为锐角，∴B=，∴C=，根据三角形的面积公式，S△ABC=.故选：C.5.已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗B〖解析〗因为数据的平均数为，方差为，所以，，…，的平均数和方差分别为和.故选：B.6.如图所示的四组数据，标准差最小的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对A，，；对B，，；对C，，；对D，，；所以标准差最小的是A.故选：A.7.已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意侧棱长为，所以表面积为：．故选：A.8.海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（）A. B.C. D.12〖答案〗C〖解析〗在中，因为，由正弦定理可得：，设，，，且，∴，解得，即，，，且，∴.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（）A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D.小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜〖答案〗ACD〖解析〗对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，所以游戏不公平对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6，6），（6，8），（8，6），（8，8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．故选：ACD．10.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗，由正弦定理可得，整理可得，所以，为三角形内角，，∴，∵，，故A正确，B错误；∵，，，解得，由余弦定理，得，解得或（舍去），故D正确，C错误.故选：AD.11.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A.，，三点共线 B.，，，四点共面C.，，，四点共面 D.，，，四点共面〖答案〗ABC〖解析〗在正方体中，为的中点，直线交平面于点，在选项中，直线交平面于点，平面，直线，又平面，平面，为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，平面，且平面，又平面，且平面，，，三点共线，故选项正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，直线，，，，，四点不共面，故错误．故选：ABC．12.对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形B.若A＞B，则sinA＞sinBC.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个D.若三角形ABC为斜三角形，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sinA＞sinB，所以B正确；对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；对于D，因为，所以因为，所以，所以，所以D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，.若与共线，则在方向上的投影为________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以；因为与共线，，所以，解得；所以在方向上的投影为.故〖答案〗为：.14.已知复数满足条件，那么的最大值为______．〖答案〗4〖解析〗因为，所以复数对应的点在单位圆上，表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，而，所以的最大值为.故〖答案〗为：4.15.在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．〖答案〗米〖解析〗由，易得，，设，则，，，．故〖答案〗为：米.16.如图，点E是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的有__________．①直线与直线始终是异面直线；②存在点，使得；③四面体的体积为定值；④当时，平面平面.〖答案〗②③④.〖解析〗对于①：连接交于点，当点在点时直线与直线相交，故①不正确，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，，，，，对于②：，假设存在点，使得，，，所以，解得，所以当时，故②正确；对于③：连接、交于点，因为点E是棱的中点，此时，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故③正确；对于④：当时，，，，设平面的法向量为，由，令，可得，，可得，设平面的法向量为，，由解得：，令可得，所以，因为，，所以平面平面，故④正确.故〖答案〗为：②③④.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分.）17.实数取什么值时，复数.（1）与复数相等；（2）与复数互为共轭复数；（3）对应的点在轴上方.解：（1）根据复数相等的充要条件得，解得m＝－1.（2）根据共轭复数的定义得，解得m＝1.（3）根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.18.已知向量.（1）若，求证：；（2）若向量共线，求.解：（1）当时，，又，.（2）因为向量共线，，即，当，则与矛盾，故舍去；当时，由得：，又.另解：由，得，所以.19.为了落实提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；