与相似有关的证明计算-中考数学解答题专项训练（原卷版）

专题06-与相似有关的证明计算（原卷版）

1.（2022・浙江绍兴•一模）如图，四边形是平行四边形，DELBC于点E,CFL48交A8的延长线

于点F.

（1）求证：XCBFsADCE；（2）若点E恰为BC中点，且AB=6,BF=4,求A。的长.

2.（2022・湖北•前川三中一模）如图，点。，E在BC上，且2〃A8,FE〃AC,求证：ABCFDE

3.（2021.湖北黄冈•中考真题）如图，在aMC和,DEC中，Z4=ZD,ZBCE=ZACD.

(1)求证：AAfiCAD£C；(2)若S械：$DEC=4：9,BC=6,求EC的长.

4.（2021•广西玉林•中考真题）如图，在3ABe中，。在AC上，DEHBC,DF//AB.

1s°DFC

（1）求证：MFCs二砥。；（2）若CO=wAC,求消叵的值.【答案】（1）见详解：（2）

S

3°AED4

5.（2021•江苏南通•中考真题）如图，利用标杆OE测量楼高，点A,。,B在同一直线上，DELAC,BC1AC,

垂足分别为£,C.若测得A£=lm,DE=1.5m,C£=5m,楼高8c是多少？

6.(2022.广东.深圳市龙岗区金稻田学校一模)如图，在A48C中，AOJ_BC于点。，E为BD上一点,过

点E作EFLBC交AB于点F,过点F作/GLEF分别交A。，AC于点N,G,过点、G作GH〃EF交BC

于点H.

(1)求证：&AFGsXABC；

(2)若A£>=3,BC=9,设E/的长度为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x之间的函数表达式，并求y

的最大值.

7.(2022.甘肃平凉♦一模)如图，在四边形A8CO中，NADC=/B=90。，过点。作。钙于点E,若

DE=BE.

⑴求证：DA^DC；(2)连接AC交OE于点尸，若4M>E=3O。，AD=2,求。尸的长.

8.(2022・福建・一模)如图，四边形ABC。的对角线相交于点E,AC=AD,ZBAD=ZBCD=90°,过点

8,点。分别作8MLAC,DNA.AC,垂足分别为点M、N.

D

B

(1)求证：①NBAC=NBDC；②AM=CN；(2)若MV=24W,BD=4根,求四边形ABC。的面积.

9.（2022♦广西崇左♦一模）（1）问题发现：如图1,在，Q4B和08中，OA^OB,OC=OD,

ZAOB=ZDOC=50°,连接AC,8。交于点尸，且AC交OB于点E

AT

①黑的值为_____;②NAM的度数为______；

BD

（2）类比探究：如图2,在。4B和OCD中，/4OB=NCOD=90。，NOBA=NODC=30°,连接8E>,

交AC的延长线于点P,且AC交。8于点£请计算A器C的值及ZAPB的度数；

（3）拓展延伸：如图3,在（2）的条件下，将。8绕点。在平面内旋转，AC,3。所在直线交于点P,

若OC=1,0A=y[5,请直接写出点。与点尸重合时8。的长.

图1图2图3

10.(2022•江苏•一模)如图，在直角梯形ABCD中，ZA=90°；AD//BC,BC=BD=5cm,CO=Mcm.点

尸由8出发沿8。方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，线段EF由。C出发沿ZM方向匀速运动，速度为

lcm/s,交BO于。，连接PE.若设运动时间为f(s)(04).解答下列问题：

(1)A£＞的长为：

(2)当f为何值时，PE//AB1

(3)设APE。的面积为y(cm2),求y与f之间的函数关系式；

(4)连接尸尸，在上述运动过程中，试判断PE、PF的大小关系并说明理由.

11.(2022••一模)如图，在四边形中，ZB=ZBCD=90°,ACA.AD,点、E,F分别在边A£),CD

上，且E尸〃AC,AC+EF=36.当点尸从点E沿EP方向匀速运动到点F时，点。恰好从点C沿C4方

(1)求证：AFEDs^ABC.(2)求匕的值.

(3)若5c=12,连结PQ.

①当EP=^AE时，求P。的长.

②当PQ所在直线平行于四边形4BCD的某一边时，求所有满足条件的x的值.(直接写出答案即可)

12.(2022.安徽滁州•一模)点尸在NA8C的平分线8。上，连接D4,DC,ZDAF=^C.

⑴如图1,点A,D,C在同一条直线上，E在BC上，且=

①求证：ZBAD=ZBED；

②若ABrBFBD，求证：ADFsCDE；

3

（2）如图2,点A,D,C不在同一条直线上，NBDC=2ZADB,若AD=3近,BD=2AB,BF=-,求

DC的长.

13.（2022.湖北•通山县实验初级中学一模）如图，在△然（:中，8D是"BC的角平分线，且N4BC=2NC.

(1)求证：&ABCS/\ADB.(2)已知AB=5,40=4,求

14.（2022.福建•福州三牧中学一模）如图，在菱形ABCO中，点E在对角线AC上，延长BE交AO于点凡

P

B

小卡、正EFFA

⑴求证：商=就

(2)已知点P在边CD上，请以CP为边，用尺规作一个△CPQ与△AEF相似，并使得点Q在AC上.(只

需作出一个ACP。，保留作图痕迹，不写作法)

15.(2021•四川阿坝•中考真题)如图,町ABC中，Z4cB=90。,将..ABC绕点C顺时针旋转得到。EC,

点。落在线段AB上，连接BE.

(1)求证：0c平分NADE；

(2)试判断BE与A8的位置关系，并说明理由:

(3)若BE=BD,求tanNABC的值.

16.(2021•浙江嘉兴•中考真题)小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一

个矩形ABC。绕点A顺时针旋转。(0°<□《90。)，得到矩形

［探究1］如图1，当。=90。时，点C'恰好在£)8延长线上.若45=1,求BC的长.

［探究2］如图2,连结47,过点。作。M〃AC交BO于点M.线段。M与DM相等吗？请说明理由.

［探究3］在探究2的条件下,射线。3分别交AC'于点P,N（如图3）,MN,PN存在一定的数量

关系，并加以证明.

17.（2021・四川凉山•中考真题）如图，在四边形ABC。中，ZADC=ZB=90°,过点。作。ELAB于E,

若DE=BE.

（1）求证：DA=DC；

（2）连接AC交DE于点尸，若4。£：=30。,4）=6,求。尸的长.

18.（2021・四川广元•中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，E为OC边的中点，连接AE,若AE的延

长线和8C的延长线相交于点F.

（1）求证：BC=CF；

（2）连接AC和随相交于点为G,若.GEC的面积为2,求平行四边形A8CO的面积.

19.（2021•北京・中考真题）如图，在ABC中，AB=AC,NR4C=a，例为3c的中点，点。在MC上，以

点A为中心，将线段4）顺时针旋转a得到线段AE,连接

（1）比较与NC4D的大小；用等式表示线段M3之间的数量关系，并证明；

（2）过点用作AB的垂线，交。E于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

20.（2021•江苏南京・中考真题）如图，AC与50交于点O,OA=OD,ZABO=NDCO,E为8c延长线上

一点，过点E作EF//CD,交3。的延长线于点F.

D

（1）求证ZMO侬△DOC；

(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的长.

21.（2021.吉林长春•中考真题）如图，在菱形4BCD中，对角线AC与8。相交于点O,AC=4,BO=8,

（1）求AM的长.（2）tanNA仍O的值为

22.（2021•山西•中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.

图算法

图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲

线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏

9

F=-C+32

度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：5得出，当C=10时，

尸=50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条

进行计算的方法就是图算法.

再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和千欧，问并联后的电阻值是多少？

我们可以利用公式R&《求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°

的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算

图.我们只要把角的两边刻着和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后

的电阻值.

图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制

图人员，往往更能体会到它的优越性.

任务：

(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

不111

①用公式方=彳+丁计算：当片=7.5,%=5时，R的值为多少；

②如图，在aAOB中，ZAOB=120°,OC是AO8的角平分线，OA=1.5,OB=5,用你所学的几何知识

求线段OC的长.

B

23.(2021•黑龙江绥化•中考真题)如图所示，四边形ABC。为正方形，在二EC4中，

/£：。〃=90。,==。”,跳的延长线与。。的延长线交于点尸，点。、B、”在同一条直线上.

⑴求证：。比⑵当器」时，求零的值;

(3)当，8=3,HG=4时，求sinNCEE的值.

24.(2021・四川雅安・中考真题)如图，△04。为等腰直角三角形，延长。4至点8使03=8,其对角线

AC,BD交于点、E.

⑴求证：^OAF^DAB；(2)求前的值.

25.（2021・贵州安顺•中考真题）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古

代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后

人称之为“赵爽弦图根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形A8E的中心。，

作FGLHP,将它分成4份.所分成的四部分和以8C为边的正方形恰好能拼成以A8为边的正方形.若

AC=12,BC=5,求EF的值；

（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向

外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值〃，小正方形

4反。,。的边长分别为4力,0,”.已知Nl=N2=N3=a,当角。（0。＜。＜90。）变化时，探究b与c的关系

式，并写出该关系式及解答过程（6与c的关系式用含〃的式子表示）.

26.（2021.辽宁朝阳•中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个

小平面镜，当一位同学站在尸点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG=3m,

这位同学向古树方向前进了9m后到达点D,在。处安置一高度为1m的测角仪CD,此时测得树顶A的

仰角为30。，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF=，点8,D,G,F在同一水平直线上，且AB,CD,

所均垂直于8F,求这棵古树AB的高.（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

27.（2021•山东德州•中考真题）如图，点E,尸分别在正方形ABCD的边A3,4）上，且点G,

“分别在边A8,BC上,且FGJLE"，垂足为尸.

(1)求证：FG=EH-

3

⑵若正方形边长为5,=tanZAGF=-）求即的长度.

28.（2022.湖北武汉.一模）【问题背景】（1）如图1,在一ABC中，ZABC=90°,BHLAHH,求证：

AAHBsgHC；

AD4RF

【变式迁移】（2）如图2,已知/ABC=NO=90。，£为8。上一点，且AE=AB,若黑=2,求冬的

BC5CD

值；

【拓展创新】（3）如图3,四边形A8C£＞中，/ZMB=-4BC=90。，AB=BC,E为边CD上一点，且AE=AB,

np

BELCD,直接写出考的值.

图3

29.(2022•安徽・安庆市教育教学研究室一模)如图①，在菱形A8CD中，/84。=60。，点E在边上,

点尸在8力的延长线上，BE=DF,EF与相交于点G,连接CE,CF.

(1)求证：CE=CF；(2)求证：4DFGS/\DCF；

(3)如图②，连接CG,若48=4,点E是AB的中点，求CG长.

30.(2022.河南许昌•一模)问题背景

折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世

纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展

出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波

大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理.

芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：

第一步：如图1,将正方形纸片ABC。对折，使点A与点。重合，点3与点C重合.再将正方形ABCQ

展开，得到折痕EE

第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至的位置，得到折痕

BE与AB交于点P.

则点P为AB的三等分点，即AP:尸8=2:1.

问题解决

如图1,若正方形ABC。的边长是2.

(1)CM的长为；

(2)请通过计算AP的长度，说明点尸是A3的三等分点.

类比探究

(3)将长方形纸片488(48>8。)按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2,若折出的点尸也为AB的

AR

三等分点,请直接写出旅的值•

31.(2022・陕西榆林•一模)问题提出

BC上,BE=2EC,连接庄并

延长交0c的延长线于点G,求CG的长；

问题解决

(2)如图②，某生态农庄有一块形状为平行四边形ABCD的土地，其中筋=4km,BC=6km,ZB=60°.管

理者想规划出一个形状为口所的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点E是旬的中点，点P、M

分别在3C、上，PMLAB.设的长为x(km),的面积为)'(km?).

①求》与x之间的函数关系式；

②为容纳更多的游客，要求AEMP的面积尽可能的大，请求出EMP面积的最大值，并求出此时3P的长.

32.（2022・山东・济南市天桥区源口实验学校模拟预测）如图（1）ABC和.OEC都是等腰直角三角形，

其中NACB=NDCE=90。，BC=AC,EC=DC,点E在ABC内部，直线与BE交于点F,线段AF、BF、

C尸之间存在怎么样的数量关系？

图3

（1）先将问题特殊化如图2,当点厂重合时，直接写出线段A尸、BF、CT之间的数量关系式:

⑵再探究一般情况如图1,当点£»、尸不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.

（3）如图3,若ABC和.OEC都是含30。的直角三角形，若乙4cB=/Z）CE=90。，/8AC=/£DC=30。，点E

在，ABC内部，直线AD、BE交于点F,直接写出一个等式，表示线段4尸、BF、C尸之间的数量关系.

33.（2022•安徽马鞍山•一模）在矩形ABC。中，43=12,P是边A8上一点，把P3C沿直线PC折叠,

顶点B的对应点是点G,过点B作BELCG,垂足为E且在40上，BE交PC于点、F.

G

GG

图1图2图3

（1）如图1,若点E是4。的中点，求证：AAEB沿公DEC；

CF

（2汝U图2,当4）=25,且AE<£>£时，求f的值；

（3）如图3,当8£即=84时，求BP的值.

34.（2022・安徽黄山•一模）在RSABC中，/C=90。，AC=40cm,BC=30cm.现有动点P从点A出发,

沿线段AC向点C方向运动；动点Q从点C出发，沿线段CB向点8方向运动.如果点P的速度是8cm/s,

点Q的速度是4cm/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为，秒.求:

（1）当，=3时，P、Q两点之间的距离是多少？

（2）若△CPQ的面积为S,求S关于f的函数关系式.

（3）当，为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与△ABC相似?

35.（2022・云南昆明•一模）矩形A8C。中，AC、BD交于点O,=（%为常数）.作NEV=90。，

OE、OF分别与A8、BC边相交于点E、F,连接E/"

OF

(1)发现问题：如图1,若々=1，猜想：有

OF

(2)类比探究：如图2,探究线段0E,。F之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展运用：如图3,在(2)的条件下，若FO=FC,k=亚,0D=2娓,求E尸的长.

36.(2022・广东・佛山市南海区南海实验中学一模)如图，己知正方形ABC。的边长为6,点G是AB边上

的一个动点，连接CG,过点G作GC的垂线交AO于点E,以GE为斜边作等腰及EFG.

(1)若AG=2,则AE=.

(2)在点G从点A到点8的运动过程中，AAEG的外接圈的圆心也随之运动，求该圆心到A3边的距离的最

大值.

(3)连结EC、AF.当△EGCsaGBC时，求AF长度.

37.(2022.贵州遵义•一模)已知:ABC与，DEC为直角三角形,ZACB=NOCE=90。.

E

DAD

图1

(1)【问题发现】如图1，若/。43=/仪>6=45。时，点。是线段48上一动点，连接8E.则卡=______,

BE

ZDBE=°；

An

(2)【类比探究】如图2,若/。5=/。。匹=60。，点。是线段48上一动点，连接BE.请判断右的值

BE

及NDBE的度数,并说明理由；

(3)【拓展延伸】如图3,在(2)的条件下，将点。改为直线A8上一动点，其余条件不变，取线段OE的

中点M,连接BM、CM,若AC=2石，则当C8M是直角三角形时，请求线段8E的长.

38.(2022•辽宁抚顺・二模)已知AABC中，AB=AC,ZBAC^a(a<90°),C£>_LAB于点£>,点E是4c边

上一动点(不与点C重合)，于点尸，EF与CO交于点G.

A()A

图1图2图3

(1)当E点与A点重合时，如图1,若a=45。，猜想CF与EG的数量关系.

(2)当E点与A点不重合时，

①若a=45。，如图2,第(1)题中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理

由；

②若a*5。，如图3,请直接写出C名F的值(用含有a的三角函数表示).

39.(2022•黑龙江♦一模)如图，AABC与△£)£下都是等腰直角三角形，AC=BC,DE=DF.边AB,EF的

中点重合于点O,连接BF,CD.

⑴如图①，当FE_LAB时，易证BF=C£>(不需证明)；

(2)当尸绕点。旋转到如图②位置时，猜想8尸与C。之间的数量关系，并证明；

(3)当△A3C与均为等边三角形时，其他条件不变，如图③，猜想与C。之间的数量关系，直接

写出你的猜想，不需证明.

40.(2022山东济南・一模)

DE

(1)如图1,在正方形ABC。中，点£,F分别是AB,上的两点，连接。E,CF,DEA.CF,则会的值

Cr

为;

(2)如图2,在矩形A8CQ中，AD=5,8=3,点E是A。上的一点，连接CE,BD,且贝!的

BD

值为;

图2

(3)如图3,在四边形ABCO中，/4=/B=90。，点E为AB上一点，连接。E,过点C作OE的垂线交EO

nrAn

的延长线于点G,交A。的延长线于点F,求证：冬=餐；

图3

(4)如图4,在R/ZABQ中，N7M£>=90。，AB=3,AD=9,将』AB。沿80翻折，点A落在点C处得』CBQ,

点、E,尸分别在边AB,A。上，连接。E,CF,DE1CF.请MJ分是定值吗?若是，直接写出这个定值,

Ck

若不是，请说明理由.

Ac

A

图4

41.(2022・湖北・前川三中一模)

小；

B

ABAEC

图1图2图3

⑴问题发现

如图1,AABC和△CQE均为等边三角形，直线AO和直线8E交于点F.填空：

①/4F8的度数是；

②线段AO,BE之间的数量关系为一；

Q)类比探究

如图2,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，ZABC=ZDEC=90°,AB=BC,DE=EC,直线AD和

直线3E交于点凡请判断/A网的度数及线段4Q,BE之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,在△ABC中，ZACB=90°,NA=30。，A8=5,点/)在AB边上，OE_LAC于点E,AE=3,

将^AOE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时BD的长为.

42.(2022.江苏苏州.一模)如图，矩形A8C。中，AB=a,BC=b,点仞，N分别在边A8,CO上，点E,F

分别在边8C,AO上，MN,EF交于点、P,记k=MN:EF.

(1)若。山的值为g.

①当MN_LEF时，则k的值为；②求k的最小值.

(2)若上的值为3,MP=EF=3PE.

①连接ME,NF,证明：ME//NF,

②若/MPE=60。，当点N是矩形的顶点时，求a力的值.

43.(2022.湖北武汉.模拟预测)问题探究

⑴如图1,在RJABC中，/BAC=90。，点E在AB上，过E作EZ),8c于。，连接CE,F为CE中点.连

接A凡DF.直接写出A尸，。尸的数量关系；

(2)在(1)的条件下，将Rt^BOE绕点B顺时针旋转一定角度.如图2,证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展

(3)如图3,已知等边ABOE和等腰ZVIBC,其中AB=AC,ZBAC=120°.连接CE,F为CE的中点，连接

AF,DF,AF,有怎样的数量关系？给出结论并证明.

44.(2021.安徽•中考真题)如图1,在四边形ABCD中，NABC=/BCD,点E在边8c上，且A£〃C£>,

作CF//AD交线段4E于点F,连接

(1)求证：Z\ABF^A£AD；

(2)如图2,若A3=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的长；

BE

(3)如图3,若BF的延长线经过AO的中点M,求工的值.

45.(2021•浙江宁波•中考真题)【证明体验】

(1)如图1,AO为&ABC的角平分线，ZA£)C=60°,点E在A3上，AE=AC.求证：DE平分NAQB.

【思考探究】

(2)如图2,在(1)的条件下，尸为A3上一点，连结FC交AQ于点G.若FB=FC,DG=2,CD=3,

求3。的长.

【拓展延伸】

(3)如图3,在四边形ABCO中,对角线AC平分N8A£>,NBC4=2N〃C4,点E在AC上，ZEDC=ZABC.若

BC=5,CD=2>/5,AD=2AE,求AC的长.

46.(2021・上海・中考真题)如图，在梯形438中，AO〃3czABC=90。,AO=8,0是对角线AC的中

点，联结8。并延长交边CZ)或边40于E.

(1)当点E在边C£>上时，①求证：DACs：OBC；②若BE_LCZ),求r的值;

BC

(2)若DE=2,OE=3,求8的长.

47.(2021・四川乐山•中考真题)在等腰,45C中，43=AC,点。是5c边上一点(不与点8、C重合),

连结AO.

A

(1)如图1,若NC=60°,点。关于直线AB的对称点为点E,结AE,DE,则；

(2)若NC=60°,将线段AO绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连结8E.

①在图2中补全图形；

②探究CO与BE的数量关系，并证明；

(3)如图3,若A黑R=黑AD=3且NADE=NC,试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明.

BCDE

48.(2021・四川眉山・中考真题)如图，在等腰直角三角形A6C中，ZACB=90°,AC=BC=2小,边长

为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接A。，BE.

(1)求证：YACD^/BCE；

(2)当点。在..ABC内部，且加心=90。时，设AC与。G相交于点M,求AM的长；

(3)将正方形。EFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出的长.

50.（2021•山西・中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD

中，BEA.AD,垂足为E,尸为C£＞的中点，连接EF,BF,试猜想E尸与8尸的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将A88沿着斯（尸为CD的中点）所在直线折叠，如图②,

点C的对应点为C',连接。C'并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将cA88沿过点8的直线折叠，如图③，点A的对应点为4,使

43_1_8于点//,折痕交于点"，连接交CD于点、N.该小组提出一个问题：若此A8CD的

面积为20,边长AB=5,8C=26，求图中阴影部分（四边形处/NM）的面积.请你思考此问题，直接

写出结果.

图①图②图③

50.(2021・江苏宿迁•中考真题)已知正方形ABC。与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

CP

(1)如图①，连接BG、CF,求£的值；

(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE,分别取CF、8E的中点M、N,连接MN、试探究:

与8E的关系，并说明理由；

⑶连接BE、BF,分别取8E、BF的中点N、Q,连接QMAE=6,请直接写出线段QN扫过的面积.

51.(2021・四川广元•中考真题)如图1,在ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。是A3边上一点(含

端点A、B),过点8作8E垂直于射线CD,垂足为E,点尸在射线CO上，且EF=BE,连接反、BF.

图1图2

(1)求证：一ABFsCBE；

(2)如图2,连接AE,点P、M、N分别为线段AC、AE,E尸的中点，连接PM、MN、PN.求NPMN

的度数及爱的直

(3)在(2)的条件下，若BC=6,直接写出_PMN面积的最大值.

52.(2021・四川资阳・中考真题)已知，在ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC.

(1)如图1,已知点。在5c边上，ZDAE=90°,AD=AE,连结CE.试探究60与CE的关系；

(2)如图2,已知点。在BC下方，^DAE=90°,AD=AE,连结CE.若48=2而，CE=2,

AD交BC于点、F,求AF的长；

(3)如图3,已知点。在8c下方，连结40、BD、CD.若NC8E)=30。，ZBAD>\50,AB2=6,

AD2=4+y/3,求sinNBC。的值.

53.(2021•四川南充・中考真题)如图，点E在正方形ABC。边AO上，点F是线段AB上的动点(不与点

A重合）.。尸交AC于点G,GHLAD于点、H,AB=1,£>E=1.

(1)求tanNACE.

(2)设A/^=x,GH=y,试探究y与x的函数关系式(写出x的取值范围).

(3)当NA£>F=NACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

54.(2021・湖北鄂州•中考真题)如图，在「ABC。中，点E、尸分别在边A£>、8c上，且NABE=NCOF.

E

D

G

(1)探究四边形8红尸的形状，并说明理由;

AG2

(2)连接AC,分别交的、DF于点、G、H,连接3。交AC于点。.若"二二彳，AE=4,求5c的长.

C/O3

55.(2021.河南.中考真题)下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读,

并完成相应的任务.

小明：如图1,(1)分别在射线OA,08上截取OC=O〃，OE=OF(点C,E不重合)；(2)分别作线

段CE,。尸的垂直平分线L%,交点为尸，垂足分别为点G,"；(3)作射线°P,射线°P即为

的平分线.简述理由如下：

由作图，ZPGO=ZPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以Rl△PGO丝Rt,则NPOG=NPO〃，

即射线0P是408的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2.(1)分别在射线。A,OB

上截取"=8,OE=OF(点C,E不重合)；(2)连接。E,CF,交点为P；(3)作射线°匕射线

即为NAO3的平分线.

任务：

（1）小明得出RtZ\PGOgRtZ\P〃O的依据是.（填序号）

①SSS；②&4S；③A4S；④ASA；⑤）HL.

（2）小军作图得到的射线OP是NAO3的平分线吗？请判断并说明理由；

（3）如图3,已知NAOB=60。，点E,F分别在射线。4,OB上，且OE=O尸=6+1.点C,。分别

为射线Q4,03上的动点，且OC=8,连接£>E,CF,交点为尸，当NCPE=30。时，直接写出线段0c

的长.

56.（2021・海南・中考真题）如图1,在正方形A8CD中，点E是边8c上一点，且点E不与点3、C重合,

点厂是84的延长线上一点，且AF=CE.

DC

图2

（1）求证：DCE冬DAF；

（2）如图2,连接律，交A/）于点K,过点。作垂足为H,延长DH交所于点G,连接HB.HC.

①求证：HD=HB；

②若DK•HC=无，求HE的长.

57.（2021•福建・中考真题）如图，已知线段MN=a,AA_LAK,垂足为

a

R,WN

（1）求作四边形ABC。，使得点B,。分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a,ZABC=60°,CD//AB；

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设P,Q分别为（1）中四边形ABCZ）的边AB,8的中点，求证：直线相交于同一点.

58.（2021・广东•中考真题）如图，边长为1的正方形A8CO中，点E为4＞的中点.连接8E,将△ABE沿

8E折叠得到「心£3尸交AC于点G,求CG的长.

I)

59.(2021•江西•中考真题)课本再现

(1)在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与乙4相等

的角是,

图2

类比迁移

(2)如图2,在四边形ABCD中，ZA3C与-ADC互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比

(1)中思路进行拼合：先作NCDF=ZABC,再过点C作CE_L£>F于点E,连接AE,发现AZ),DE,AE

之间的数量关系是

方法运用

图3图4

(3)如图3,在四边形ABC。中，连接AC,Nfi4c=90。，点。是△AC。两边垂直平分线的交点，连接Q4,

ZOAC=ZABC.

①求证：ZABC+ZA£)C=90°：

AR

②连接8D,如图4,已知AZ)=m,DC=n,—=2,求的长(用含加，〃的式子表示).

60.(2021.吉林长春•中考真题)如图，在.ABC中，ZC=9O°,AB=5,BC=3,点。为边AC的中点.动

点尸从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点尸不与点A、C重合时，

连结PZ).作点4关于直线PD的对称点4,连结W。、A'A.设点P的运动时间为f秒.

(1)线段A。的长为.

(2)用含r的代数式表示线段8P的长.

(3)当点4在..ABC内部时，求f的取值范围.

(4)当NA4。与DB相等时，直接写出，的值.

61.(2021.贵州铜仁•中考真题)如图，在A4BC中，ZACB=90°,BC=6框cm,AC=12cm.点P是C4

边上的一动点，点?从点C出发以每秒2cm的速度沿C4方向匀速运动，以CP为边作等边ACPQ(点8、

点在AC同侧)，设点尸运动的时间为x秒，AABC与Ab。重叠部分的面积为S.

(1)当点。落在AA8C内部时，求此时AABC与ACPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示，不要求

写x的取值范围)；

（2）当点。落在A8上时，求此时AABC与ACP。重叠部分的面积S的值：

（3）当点。落在AABC外部时，求此时AA8C与ACPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示）.

62.（2021.湖北武汉•中考真题）问题提出如图（1）,在；4?。和_。£右中，NACB=/£>CE=90。，BC^AC,

EC=QC,点6在_4及7内部，直线AD与8E交于点F,线段越，BF,CF之间存在怎样的数量关系？

问题探究（1）先将问题特殊化.如图（2）,当点£）,产重合时，直接写出一个等式，表示反，BF,CF

之间的数量关系；

（2）再探究一般情形.如图（1）,当点。，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展如图（3）,在.ABC和DEC中，ZACB=NDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC（人是常数），

点E在2ABe内部，直线4）与8E交于点尸，直接写出一个等式，表示线段AF,BF,CF之间的数量关

系.

63.（202