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公共地的悲剧3.问题的提出与相关假设

考虑有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，农民要决定自己养多少只羊以使得自己的利润最大化。设：gi：第i个农民饲养的数量，i=1,2,…,n.

：n个农民饲养的总量V：每只羊的平均价值,v是G的函数,v=v(G),

因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死,有一个最大的可存活量Gmax,：

当G<Gmax时,v(G)>0;当G>=G(x)时,v(G)=0。3.问题的提出与相关假设

当草地上羊很少时，增加一只羊也许不会对其他羊的价值有太大影响，但随着羊的不断增加，每只羊的价值将急剧下降。因此假定:GGmaxv4.模型的建立与求解4.1策略型博弈的三个要素

局中人:共同拥有一片草地的n个农民

策略：决定使得自己利润最大化所需要饲养的羊的数量

支付函数:利润函数。假设一只羊的价格为c，对于农民i来讲，其利润函数为：

4.2模型求解

最优化的一阶条件为：

上式可以解释为：增加一只羊有正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负的效应是这只羊使所有之前的羊的价值降低。其最优解满足边际收益等于边际成本。4.模型的建立与求解

上述n个一阶条件定义了n个反应函数：因为：所以：4.模型的建立与求解

第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量增加而递减。n个反应函数的交叉点就是纳什均衡。4.模型的建立与求解

尽管每个农民在决定自己增加饲养量时考虑了对现有羊价值的影响，但是他考虑的只是对自己羊的影响，而并不是对所有羊的影响，因此，最优点上的个人边际成本小于社会边际成本，纳什均衡总饲养量大于社会最优饲养量。这一点可以通过比较社会最优目标下的饲养量与纳什均衡饲养量得出。5.分析与结论社会最优的目标是使得社会总剩余最大化，即：

最优化的一阶条件为：其中G**是社会最优的饲养量。将纳什均衡问题中的n个一阶条件相加得到，比较社会最优的一阶条件与个人最有的一阶条件，记，5.分析与结论

5.分析结论与

可以看出纳什均衡的总饲养量大于社会最优饲养量，这说明公有草地被过度使用了。公共地的悲剧说明了如果一种资源没有排他性的所有权，就会导致资源的过度使用。需要注意的是，公共地悲剧的证明是建立在农民都是“自私”的追求自己的利益最大化

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