强度计算.材料疲劳与寿命预测：应变寿命法：疲劳裂纹萌生与扩展理论

强度计算.材料疲劳与寿命预测：应变寿命法：疲劳裂纹萌生与扩展理论1强度计算基础1.1材料的力学性能材料的力学性能是强度计算的基础，它涉及到材料在不同载荷条件下的响应。主要性能指标包括：弹性模量（E）:表示材料抵抗弹性变形的能力，单位为GPa。泊松比（ν）:描述材料在弹性变形时横向收缩与纵向伸长的比值。屈服强度（σy）:材料开始发生塑性变形的应力点。抗拉强度（σu）:材料在拉伸载荷下断裂前的最大应力。疲劳极限（σf）:材料在无限次循环载荷下不发生疲劳破坏的最大应力。1.1.1示例假设我们有以下材料的力学性能数据：弹性模量（GPa）泊松比屈服强度（MPa）抗拉强度（MPa）疲劳极限（MPa）2000.32504001501.2应力与应变的概念应力（σ）和应变（ε）是材料力学中的基本概念，用于描述材料在载荷作用下的内部反应和变形。应力（σ）:单位面积上的内力，分为正应力和剪应力。应变（ε）:材料在应力作用下的变形程度，分为线应变和剪应变。1.2.1示例假设一根直径为10mm的圆柱形试样在拉伸试验中，受到1000N的力作用，计算试样上的应力。#定义材料直径和受力

diameter=10e-3#单位：m

force=1000#单位：N

#计算截面积

area=(diameter/2)**2*3.14159

#计算应力

stress=force/area

print(f"应力为：{stress:.2f}MPa")1.3应力应变曲线分析应力应变曲线是描述材料在受力过程中应力与应变关系的图形，通过该曲线可以分析材料的弹性、塑性、强度和韧性等特性。1.3.1弹性阶段在弹性阶段，应力与应变呈线性关系，遵循胡克定律，即：σ其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。1.3.2屈服点屈服点是材料开始发生塑性变形的点，通常用σy表示。1.3.3强化阶段在强化阶段，材料的应力继续增加，但应变增加速率减慢。1.3.4颈缩与断裂材料在达到抗拉强度后，会出现局部颈缩现象，最终导致断裂。1.3.5示例假设我们有以下应力应变数据：应变（ε）应力（σ）0.0012000.0024000.0036000.0048000.0051000我们可以使用这些数据来绘制应力应变曲线，并分析材料的弹性模量。importmatplotlib.pyplotasplt

importnumpyasnp

#应力应变数据

strain=np.array([0.001,0.002,0.003,0.004,0.005])

stress=np.array([200,400,600,800,1000])

#绘制应力应变曲线

plt.plot(strain,stress,marker='o')

plt.title('应力应变曲线')

plt.xlabel('应变（ε）')

plt.ylabel('应力（σ）')

plt.grid(True)

plt.show()

#计算弹性模量

elastic_modulus=np.polyfit(strain,stress,1)[0]

print(f"弹性模量为：{elastic_modulus:.2f}MPa")通过上述代码，我们可以得到材料的应力应变曲线，并计算出弹性模量。这有助于我们进一步理解材料在不同应力状态下的行为，为强度计算和材料选择提供依据。2材料疲劳理论2.1疲劳现象概述疲劳是材料在循环应力或应变作用下，经过一定次数的载荷循环后发生断裂的现象。这种断裂通常发生在远低于材料的静载强度的应力水平下，是工程结构和机械零件失效的主要原因之一。疲劳过程可以分为三个阶段：裂纹萌生、裂纹稳定扩展和裂纹快速扩展直至断裂。2.1.1裂纹萌生裂纹萌生阶段，材料表面或内部的缺陷处开始形成微观裂纹。这一阶段通常难以直接观测，但可以通过表面处理和材料选择来减少缺陷，从而提高材料的疲劳寿命。2.1.2裂纹稳定扩展一旦裂纹形成，它会在循环载荷的作用下逐渐扩展，但扩展速度相对稳定。这一阶段的裂纹扩展速率与应力强度因子范围（ΔK）和材料的裂纹扩展阈值（Kth）有关。2.1.3裂纹快速扩展直至断裂当裂纹扩展到一定程度，其扩展速率会急剧增加，最终导致材料断裂。这一阶段的断裂通常发生在裂纹长度达到临界值时，此时的应力强度因子超过了材料的断裂韧性（KIC）。2.2疲劳极限与S-N曲线疲劳极限，也称为疲劳强度，是指材料在无限次循环载荷作用下不发生疲劳断裂的最大应力。S-N曲线是描述材料疲劳性能的重要工具，其中S代表应力，N代表应力循环次数。S-N曲线通常在对数坐标系中绘制，显示了材料在不同循环次数下的疲劳极限。2.2.1S-N曲线的建立S-N曲线是通过疲劳试验获得的，试验中对材料施加不同水平的循环应力，直到材料发生断裂，记录下断裂前的应力循环次数。这一过程重复多次，以获得不同应力水平下的疲劳寿命数据，从而绘制出S-N曲线。2.2.2示例数据与分析假设我们有以下一组S-N曲线数据，用于分析某金属材料的疲劳性能：应力循环次数N疲劳极限S(MPa)10^320010^418010^516010^614010^7120我们可以使用Python的matplotlib库来绘制S-N曲线：importmatplotlib.pyplotasplt

importnumpyasnp

#数据

N=[1e3,1e4,1e5,1e6,1e7]

S=[200,180,160,140,120]

#绘制S-N曲线

plt.loglog(N,S,marker='o')

plt.xlabel('应力循环次数N')

plt.ylabel('疲劳极限S(MPa)')

plt.title('材料的S-N曲线')

plt.grid(True)

plt.show()通过分析S-N曲线，我们可以确定在特定循环次数下的疲劳极限，这对于设计和评估材料在循环载荷下的寿命至关重要。2.3应变寿命法原理应变寿命法，也称为ε-N曲线法，是基于应变而不是应力来预测材料疲劳寿命的方法。这种方法适用于塑性材料，尤其是那些在高循环次数下表现出明显塑性变形的材料。应变寿命法的核心是应变-寿命曲线（ε-N曲线），它描述了材料在不同循环次数下的最大应变。2.3.1ε-N曲线的建立ε-N曲线的建立与S-N曲线类似，但试验中记录的是应变而不是应力。通过在不同应变水平下进行疲劳试验，可以得到材料的应变寿命数据，从而绘制出ε-N曲线。2.3.2示例数据与分析假设我们有以下一组ε-N曲线数据，用于分析某塑性材料的疲劳性能：应变循环次数N最大应变ε(%)10^30.510^40.410^50.310^60.210^70.1我们可以使用相同的Python代码来绘制ε-N曲线：#数据

N=[1e3,1e4,1e5,1e6,1e7]

epsilon=[0.5,0.4,0.3,0.2,0.1]

#绘制ε-N曲线

plt.loglog(N,epsilon,marker='o')

plt.xlabel('应变循环次数N')

plt.ylabel('最大应变ε(%)')

plt.title('材料的ε-N曲线')

plt.grid(True)

plt.show()通过ε-N曲线，我们可以更准确地预测塑性材料在高循环次数下的疲劳寿命，这对于设计承受循环载荷的结构和零件具有重要意义。以上内容详细介绍了材料疲劳理论中的疲劳现象概述、疲劳极限与S-N曲线以及应变寿命法原理，通过具体的示例数据和Python代码，展示了如何建立和分析S-N曲线和ε-N曲线，为材料的疲劳寿命预测提供了基础。3应变寿命法详解3.1应变控制疲劳试验应变控制疲劳试验是材料疲劳测试的一种方法，主要用于确定材料在不同应变水平下的疲劳寿命。在试验中，材料试样受到周期性的应变加载，直到试样发生疲劳破坏。这种试验方法特别适用于那些在实际应用中主要受到应变控制的材料，如在高温或塑性变形条件下工作的材料。3.1.1原理在应变控制疲劳试验中，试样被固定在试验机上，通过施加周期性的载荷，使试样产生周期性的应变。试验机可以精确控制应变的大小和频率，从而模拟材料在实际工作环境中的应变情况。试验通常从高应变水平开始，逐渐降低应变幅度，直到找到材料的疲劳极限，即在给定的应变幅度下，材料可以承受无限次循环而不发生破坏的应变水平。3.1.2内容试样准备：选择合适的材料试样，确保试样的尺寸和形状符合试验标准。试验机设置：调整试验机以施加所需的应变幅度和频率。数据记录：记录每次试验的应变幅度、频率以及试样发生破坏的循环次数。结果分析：根据试验数据，绘制应变-寿命曲线，确定材料的疲劳特性。3.2应变寿命方程应变寿命方程是描述材料在不同应变水平下疲劳寿命的数学模型。最常用的应变寿命方程是Manson-Coffin方程，它基于应变幅度和疲劳寿命之间的关系，可以用来预测材料在给定应变条件下的寿命。3.2.1原理Manson-Coffin方程基于观察到的材料疲劳行为，认为材料的疲劳寿命与应变幅度之间存在幂律关系。方程的一般形式为：N其中，N是疲劳寿命（循环次数），Δε是应变幅度，C和m3.2.2内容参数确定：通过应变控制疲劳试验，确定材料的C和m值。方程应用：使用确定的参数，根据实际应变条件预测材料的疲劳寿命。修正与扩展：考虑到温度、环境等因素的影响，对方程进行修正，以提高预测的准确性。3.2.3示例假设通过试验确定了某材料的Manson-Coffin方程参数为C=106，m=10#Python代码示例

C=1e6#材料特性参数C

m=10#材料特性参数m

delta_epsilon=0.001#应变幅度

#根据Manson-Coffin方程计算疲劳寿命

N=C*(delta_epsilon**-m)

print(f"预测的疲劳寿命为：{N:.2e}次循环")3.3材料的疲劳特性参数材料的疲劳特性参数是描述材料疲劳行为的关键指标，包括疲劳极限、疲劳强度系数和疲劳指数等。这些参数对于应变寿命方程的建立和材料疲劳寿命的预测至关重要。3.3.1原理疲劳极限是指在一定应变幅度下，材料可以承受无限次循环而不发生破坏的应变水平。疲劳强度系数和疲劳指数则是在应变寿命方程中用于描述材料疲劳行为的参数，它们反映了材料在不同应变水平下的疲劳特性。3.3.2内容疲劳极限：通过应变控制疲劳试验确定材料的疲劳极限。疲劳强度系数与疲劳指数：分析试验数据，确定Manson-Coffin方程中的C和m值。参数影响因素：研究温度、环境、加载频率等因素对疲劳特性参数的影响。3.3.3示例假设我们有一组应变控制疲劳试验数据，如下所示：应变幅度(Δε疲劳寿命(N)0.01100000.008200000.006500000.0041000000.002500000我们可以使用这些数据来拟合Manson-Coffin方程，确定C和m的值。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromscipy.optimizeimportcurve_fit

#试验数据

delta_epsilon=np.array([0.01,0.008,0.006,0.004,0.002])

N=np.array([10000,20000,50000,100000,500000])

#定义Manson-Coffin方程

defmanson_coffin(C,m,delta_epsilon):

returnC*(delta_epsilon**-m)

#拟合方程

params,_=curve_fit(manson_coffin,delta_epsilon,N)

C,m=params

#绘制拟合曲线

N_fit=manson_coffin(C,m,delta_epsilon)

plt.loglog(delta_epsilon,N,'o',label='试验数据')

plt.loglog(delta_epsilon,N_fit,'-',label='拟合曲线')

plt.xlabel('应变幅度($\Delta\varepsilon$)')

plt.ylabel('疲劳寿命($N$)')

plt.legend()

plt.show()

print(f"拟合得到的C值为：{C:.2e}")

print(f"拟合得到的m值为：{m:.2f}")通过上述代码，我们可以从试验数据中拟合出材料的疲劳强度系数C和疲劳指数m，并绘制出应变-寿命曲线，直观地展示材料的疲劳特性。4疲劳裂纹萌生理论4.1裂纹萌生机制疲劳裂纹萌生是材料在循环载荷作用下，由于局部应力集中和微观缺陷的存在，导致材料内部产生裂纹的过程。这一过程主要发生在材料的表面或近表面区域，因为这些区域承受的应力最大。裂纹萌生机制通常包括以下步骤：微观缺陷的激活：材料中的微观缺陷（如夹杂物、晶界、位错等）在循环应力作用下开始活动。应力集中：这些活动的微观缺陷成为应力集中的点，局部应力远高于平均应力。裂纹核的形成：在应力集中点，材料的局部区域发生塑性变形，形成裂纹核。裂纹的扩展：裂纹核在后续的循环载荷作用下逐渐扩展，形成宏观裂纹。4.1.1示例：裂纹萌生的有限元分析#导入必要的库

importnumpyasnp

fromfenicsimport*

#定义几何形状和网格

mesh=UnitSquareMesh(32,32)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

V=VectorFunctionSpace(mesh,'P',1)

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定义材料属性

E=1e3#弹性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定义应力应变关系

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(2)+2*mu*eps(v)

#定义应变能密度

defW(v):

return0.5*inner(sigma(v),eps(v))

#定义循环载荷

defcyclic_load(t):

return100*sin(2*pi*t)

#定义变分问题

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=as_vector([0,cyclic_load(0)])

a=inner(grad(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#计算应变能密度

W_u=W(u)

print("应变能密度:",assemble(W_u*dx))这段代码使用FEniCS库进行有限元分析，模拟了材料在循环载荷作用下的应力应变行为，从而可以分析裂纹萌生的机制。4.2裂纹萌生的临界条件裂纹萌生的临界条件通常与材料的疲劳极限和应力集中因子有关。疲劳极限是材料在无限次循环载荷作用下不产生裂纹的最大应力。应力集中因子则描述了材料中缺陷或几何不连续性对局部应力的影响。裂纹萌生的临界条件可以通过以下公式表示：K其中，KIC是材料的断裂韧性，σf是疲劳极限，a是裂纹长度，fY4.2.1示例：计算临界裂纹长度假设我们有以下参数：-KIC=100MPam-σf=我们可以计算临界裂纹长度a。importmath

#定义参数

K_IC=100#断裂韧性，单位：MPa\sqrt{m}

sigma_f=100#疲劳极限，单位：MPa

Y=3#应力集中因子

#计算临界裂纹长度

a_critical=(K_IC/(sigma_f*math.sqrt(math.pi)*Y))**2

print("临界裂纹长度:",a_critical,"m")4.3疲劳裂纹萌生模型疲劳裂纹萌生模型用于预测材料在循环载荷作用下裂纹的萌生和扩展。其中，Paris公式是最常用的模型之一，它描述了裂纹扩展速率与应力强度因子幅度的关系：d其中，da/dN是裂纹扩展速率，ΔK4.3.1示例：使用Paris公式预测裂纹扩展假设我们有以下参数：-C=10−12m​1/2/cycle-我们可以使用Paris公式预测裂纹扩展速率。#定义参数

C=1e-12#材料常数C，单位：m^{1/2}/cycle

m=3#材料常数m

Delta_K=50#应力强度因子幅度，单位：MPa\sqrt{m}

#计算裂纹扩展速率

da_dN=C*(Delta_K**m)

print("裂纹扩展速率:",da_dN,"m/cycle")通过上述分析和模型，我们可以更深入地理解疲劳裂纹萌生的机制，以及如何预测裂纹的萌生和扩展，这对于材料的寿命预测和结构设计具有重要意义。5疲劳裂纹扩展理论5.1裂纹扩展速率疲劳裂纹扩展速率是材料在循环载荷作用下裂纹增长速度的度量。这一速率受到多种因素的影响，包括应力强度因子幅度、温度、环境介质、材料的微观结构等。在工程应用中，了解裂纹扩展速率对于预测材料的疲劳寿命至关重要。5.1.1巴黎公式与裂纹扩展巴黎公式是描述裂纹扩展速率与应力强度因子幅度之间关系的常用模型。其数学表达式如下：d其中，a是裂纹长度，N是应力循环次数，ΔK是应力强度因子幅度，C和m示例代码假设我们有以下数据集，包含不同应力强度因子幅度下裂纹扩展速率的测量值：#示例数据

data={

'Delta_K':[10,20,30,40,50],#应力强度因子幅度

'da_dN':[0.001,0.005,0.01,0.02,0.03]#裂纹扩展速率

}

#使用最小二乘法拟合巴黎公式

importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportcurve_fit

defparis_law(Delta_K,C,m):

returnC*(Delta_K**m)

#拟合数据

popt,pcov=curve_fit(paris_law,data['Delta_K'],data['da_dN'])

#输出拟合参数

C,m=popt

print(f"C={C},m={m}")5.1.2裂纹扩展路径分析裂纹扩展路径分析涉及裂纹在材料中的发展方向，这取决于裂纹尖端的应力状态。在复杂载荷条件下，裂纹可能不会沿最直接的路径扩展，而是会转向，以寻找应力最大的路径。这一分析对于预测结构的完整性至关重要。示例代码裂纹扩展路径分析通常需要使用有限元分析软件，如ANSYS或ABAQUS，来模拟裂纹在不同载荷下的行为。以下是一个简化版的路径分析示例，使用Python和SciPy库来模拟裂纹在二维应力场中的扩展方向。importnumpyasnp

fromscipy.linalgimportnorm

#定义应力场

stress_field=np.array([[100,50,0],

[50,0,-50],

[0,-50,-100]])

#定义裂纹尖端位置

crack_tip=np.array([1,1])

#计算裂纹尖端的应力梯度

stress_gradient=np.gradient(stress_field)

#计算裂纹尖端的应力梯度方向

gradient_direction=stress_gradient[:,crack_tip[0],crack_tip[1]]

gradient_direction/=norm(gradient_direction)

#输出裂纹可能的扩展方向

print(f"Crackextensiondirection:{gradient_direction}")5.2结论通过理解和应用疲劳裂纹扩展理论，包括巴黎公式和裂纹扩展路径分析，工程师可以更准确地预测材料在循环载荷下的疲劳寿命，从而提高结构设计的安全性和可靠性。6材料寿命预测方法6.1基于S-N曲线的寿命预测6.1.1原理S-N曲线，即应力-寿命曲线，是材料疲劳寿命预测中最常用的方法之一。它基于材料在不同应力水平下的疲劳寿命实验数据，绘制出应力与寿命之间的关系曲线。S-N曲线通常分为两个区域：低应力区（无限寿命区）和高应力区（有限寿命区）。在低应力区，材料的寿命被认为是无限的；而在高应力区，材料的寿命随着应力的增加而显著减少。6.1.2内容S-N曲线的建立：通过实验，对材料施加不同水平的循环应力，记录下材料失效的循环次数，从而得到一系列的应力-寿命数据点。这些数据点被用来拟合S-N曲线。S-N曲线的修正：实际应用中，S-N曲线需要根据环境条件、表面处理等因素进行修正，以更准确地预测材料在特定条件下的寿命。寿命预测：给定一个特定的应力水平，通过查找S-N曲线，可以预测材料在该应力水平下的预期寿命。6.1.3示例假设我们有以下材料的S-N曲线数据：应力(MPa)寿命(次)10010000001505000002002000002508000030030000我们可以使用插值方法来预测在220MPa应力水平下的材料寿命。importnumpyasnp

fromerpolateimportinterp1d

#S-N曲线数据

stress=np.array([100,150,200,250,300])

cycles=np.array([1000000,500000,200000,80000,30000])

#创建插值函数

sn_curve=interp1d(stress,cycles)

#预测220MPa应力下的寿命

predicted_cycles=sn_curve(220)

print(f"在220MPa应力水平下，材料的预期寿命为：{predicted_cycles:.0f}次")6.2基于应变寿命法的寿命预测6.2.1原理应变寿命法，或ε-N曲线法，是另一种预测材料疲劳寿命的方法，它基于材料在不同应变水平下的疲劳寿命实验数据。与S-N曲线不同，应变寿命法更适用于低周疲劳（LBF）和高周疲劳（HCF）的预测，特别是在材料的塑性变形区域。6.2.2内容ε-N曲线的建立：通过实验，对材料施加不同水平的循环应变，记录下材料失效的循环次数，从而得到一系列的应变-寿命数据点。ε-N曲线的修正：考虑到实际应用中的复杂因素，如温度、加载频率等，ε-N曲线需要进行修正，以提高预测的准确性。寿命预测：给定一个特定的应变水平，通过查找ε-N曲线，可以预测材料在该应变水平下的预期寿命。6.2.3示例假设我们有以下材料的ε-N曲线数据：应变(ε)寿命(次)0.00110000000.0025000000.0032000000.004800000.00530000我们可以使用插值方法来预测在0.0035应变水平下的材料寿命。#ε-N曲线数据

strain=np.array([0.001,0.002,0.003,0.004,0.005])

cycles=np.array([1000000,500000,200000,80000,30000])

#创建插值函数

en_curve=interp1d(strain,cycles)

#预测0.0035应变下的寿命

predicted_cycles=en_curve(0.0035)

print(f"在0.0035应变水平下，材料的预期寿命为：{predicted_cycles:.0f}次")6.3裂纹扩展理论在寿命预测中的应用6.3.1原理裂纹扩展理论是基于材料中裂纹的生长速率来预测材料的剩余寿命。它通常使用Paris公式来描述裂纹扩展速率与应力强度因子幅度之间的关系。裂纹扩展理论适用于预测材料在存在初始裂纹时的疲劳寿命。6.3.2内容Paris公式：da/dN=CΔKm裂纹扩展寿命预测：通过计算裂纹从初始尺寸增长到临界尺寸所需的循环次数，可以预测材料的剩余寿命。6.3.3示例假设我们有以下裂纹扩展数据：材料常数C=1.5初始裂纹尺寸a0临界裂纹尺寸ac应力强度因子幅度ΔK=我们可以使用Paris公式来预测材料的剩余寿命。importmath

#材料常数

C=1.5e-12

m=3.5

#裂纹尺寸

a_0=0.1#初始裂纹尺寸(mm)

a_c=1.0#临界裂纹尺寸(mm)

#应力强度因子幅度

delta_K=50#MPa*sqrt(m)

#裂纹扩展寿命预测

#Paris公式积分求解

N=(1/(C*delta_K**m))*((a_c**m)-(a_0**m))

print(f"材料的剩余寿命为：{N:.0f}次循环")以上示例展示了如何使用Python进行裂纹扩展寿命的预测，通过Paris公式计算裂纹从初始尺寸增长到临界尺寸所需的循环次数。7案例分析与实践7.1金属材料疲劳寿命预测案例在金属材料的疲劳寿命预测中，应变寿命法是一种常用的方法，它基于材料在不同应变水平下的疲劳寿命数据，通过S-N曲线或ε-N曲线来预测材料的疲劳寿命。下面，我们将通过一个具体的案例来分析金属材料的疲劳寿命预测过程。7.1.1数据准备假设我们有以下金属材料的应变-寿命数据：应变ε寿命N（循环次数）0.011000000.02500000.03200000.04100000.0550007.1.2应变寿命模型应变寿命模型通常采用Basquin方程或Morrow方程。这里我们使用Basquin方程：N其中，N是疲劳寿命（循环次数），ε是应变，C和m是材料常数。7.1.3模型拟合使用Python的scipy.optimize.curve_fit函数来拟合Basquin方程：importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportcurve_fit

#定义Basquin方程

defbasquin(epsilon,C,m):

returnC*epsilon**(-m)

#数据

epsilon=np.array([0.01,0.02,0.03,0.04,0.05])

N=np.array([100000,50000,20000,10000,5000])

#拟合模型

params,_=curve_fit(basquin,epsilon,N)

C,m=params

print(f"C={C},m={m}")7.1.4预测寿命假设我们有新的应变数据0.06，我们可以使用拟合的模型来预测寿命：#预测新应变下的寿命

epsilon_new=0.06

N_pred=basquin(epsilon_new,C,m)

print(f"预测寿命N={N_pred}")7.2复合材料的疲劳分析复合材料的疲劳分析与金属材料有所不同，通常需要考虑复合材料的多相性质和界面效应。这里我们通过一个案例来分析复合材料的疲劳行为。7.2.1数据准备假设我们有以下复合材料的应力-寿命数据：应力σ寿命N（循环次数）10010000020050000300200004001000050050007.2.2疲劳模型对于复合材料，我们使用Coffin-Manson方程来描述其疲劳行为：Δ其中，Δεf是疲劳应变，ε0、εf′和b7.2.3模型拟合使用Python的scipy.optimize.curve_fit函数来拟合Coffin-Manson方程：#定义Coffin-Manson方程

defcoffman(epsilon,sigma,N,epsilon_0,epsilon_f_prime,b):

returnepsilon_0+epsilon_f_prime*sigma*N**(-b