特殊值法是解不等式类选择题的首选方法

PAGEPAGE4特殊值法是解不等式类选择题的首选方法——以教材及近三年高考试题为例金台区教研室吴晓英特殊值法是解答选择题的一种重要方法，特别是对于选择题中求不等式（或不等式组）的解这一类的题目来说，特殊值法以其计算量小、解题速度快的优势，应当成为解此类问题的首选方法.以下以北师大版高中数学必修5中的习题及近三年全国高考的部分试题为例，对以上观点加以说明.1利用特殊值法解北师大版高中数学必修5中的习题1.1北师大版高中数学必修5第三章第二小节“一元二次不等式”中练习2的两道题目题目1若，则（）A． B． C． D．或解析：x取最特殊的一个数字0,代入所给不等式，显然其不是解，故排除A、B、C，选D.本题只要会算0的平方，会比较两个数的大小即可，不必移项，不必按照解一元二次不等式的一套程序去解，虽然是高二学习的内容，恐怕初中生也能做对.题目2不等式的解集为()A． B． C． D．解析：本题已经够简单了，但是由于在顺序上的变化，学生按照常规解法还是容易出错，用特殊值法则可以避免出错.从四个选项所给的范围出发，选取0，可以排除A、B、D，选C.原因很简单，A、B、D中均包含0，但是0显然不是所给不等式的解，故这三个选项都是错误的，只有选C.这种方法似乎与一元二次不等式的解法相距甚远，但是相比较而言，计算量、书写量是否也是相距甚远?值得思考.1.2北师大版高中数学必修5第三章复习题中的两道题目题目3已知集合},,则（）A． B． C．D．解析：求出集合M的解集再求两个集合的交集，这是常规的解法,但是稍微麻烦了一点.用特殊值法则心算可得答案，本题显然没有必要考虑0，因为三个选项都有0，为了好算，只要检验1和2即可，且，符合要求；但，故选C.这种解法回避了一元二次方程的求根公式，降低了题目难度.题目4已知，则下列不等式成立的是（）A． B． C．D．解析：本题原意应该是为了复习巩固基本不等式及不等式的性质而设置的，直接推导，逐一验证是常规解法，但是，如果利用特殊值法，本题只需进行简单的计算即可.由已知条件，不妨设，，问题迎刃而解.当然，需要思考为什么选这两个数而不选其它数，选，也可以，如果不选1，则计算量就会增加.虽然本题不是解不等式的问题，但是用特殊值法依然可以快速求解.2利用特殊值法解近三年全国高考的部分试题2.1解一元二次不等式及分式不等式问题例1（2011广东文科）不等式的解集是（） A． B．（1，+） C．（－，1）∪（2，+） D．解析：这是一道容易题，注意到题目的特征，此类不等式假如有解，其解的形式必然与选项C或D相同，不可能是A或B，选最特殊的数字0检验，显然0不是所给不等式的解，排除C，选D.本题直接求解计算量不是太大.不过还是要比特殊值法慢一点.例2.（2010年全国卷2）不等式的解集为A．B．C．D．解析：选最特殊的数字0代入检验，显然0是所给不等式的解，排除A和B，x再选2检验可以排除D，故选C．本题大概想考查学生对“穿针引线法”的掌握情况，使用特殊值法后心算可得结果.例3（2011江西理科）若集合，则 A．B．C． D．解析：显然0不是集合B的元素，可以排除C和D；而－1也不是集合B的元素，因此只能选择选项B．如果将两个集合都化简以后再求交集，既麻烦，也没有必要，而且容易出错.本题直接解与用特殊值法求解在时间上的差异是比较大的.例4（2011江西理科）若，则的解集为 A． B． C． D．解析：∵,本题转化为求不等式的解集.给x分别选4和，即可排除D、A和C.2.2解指数不等式、对数不等式问题例5（2011北京文科）如果那么A．y<x<1 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x解析：此题不难，将化为，利用对数函数单调性可以得出答案为D.如果忘记了对数函数的性质，利用特殊值检验也可求解，只是根据题目的特征，x、y的值可以选为，或者2和4.例6（2011辽宁理科）设函数，则满足的x的取值范围是 A．，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]解析：本题如果使用特殊值法，就变成了一道分段函数求值的问题.若x为－1，则＝4，不符合条件，选项A可排除；x选0，＝2，符合条件，选项C可排除；x选4，＝－1，符合条件，选项B可排除，答案为D.本题如果通过分类讨论求解，就走入了“小题大做”的误区，既费力，也容易出错.2.3解基本不等式问题例7（2011上海）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A.B.C.D.解析：抓住这一条件，选代入检验，显然A、B、C三个选型均可排除.本题似乎要考查基本不等式成立的条件，用特殊值法则回避了这个知识点.2.4解绝对值不等式问题解绝对值不等式在教材中没有出现选择题，近几年全国卷及部分省的高考题中以选择题的形式出现了解绝对值不等式的问题.北师大版高中数学选修4—5解绝对值不等式时使用的方法是分类讨论或利用绝对值的几何意义求解，这两种方法如果用在解选择题上恐怕是吃力不讨好的.例8．（2010年江西高考题）不等式的解集是A． B． C． D．解析：选x=1代入检验，可知x=1是所给不等式的解，可排除选项B、C，再选x=－1可排除选项D.例9.（2010年全国新课程卷）已知集合},,则A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2]D．{0,1,2}解析：注意到，可排除选项A、B，再检验1是否满足题意即可选项C.如此一来，两个集合中的不等式都不需要解了.例10.（2010年山东高考题）已知全集U=R，集合，则 A． B． C． D．解析：本题求的是集合M的补集，所以选的值必须满足，给x取0可排除前两个选项，x取－1或3均不符合题意，故排除选项D.例11.（2009年安徽高考题）若集合则A∩B是A．B．C．D．解析：本题如果用特殊值法，在选择特殊值时要注意集合A和集合B所给不等式的特征，以方便计算，在代入集合B所给不等式检验时，只需判断符号，不必求出最终结果.显然，，可排除选项C；及均属于集合A和集合B，所以正确选项只能是A.例12.（2009年全国高考）不等式＜1的解集为A．｛xB．C．D．解析：本题如果通过分类讨论直接求解将比较麻烦.给x取可排除前两个选项，再取－2可排除选项C，答案只能是D.例13（2011山东理科）不等式的解集是 A．[－5，7] B．[－4，6] C． D．解析：给x取0可排除前两个选项,再取6可以肯定选项D是正确的.3利用特殊值法解与不等式有关的选择题时的基本思路由以上教材中以及高考中的题目可以得出一个结论，我们在解与不等式有关的选择题时，应该把特殊值法作为首选方法.总体来说，利用特殊值法可以达到快速求解、小题小做的目的，特别是在高考的时候.全国研究高考数学命题的权威专家、陕西师范大学罗增儒教授曾提出建议：“为了给难度较大、分值较高的解答题留下较多的思考时间，每道选择题应争取在1或2分钟内完成”.我们可以发现，利用特殊值法，上面这16道题目的解题时间都会控制在1分钟左右，绝不会超过2分钟.利用特殊值法解与不等式有关的选择题时的基本思路大致可以归纳为以下三点：一是分析所给选项特征，把选项作为重要的已知条件；二是选取特殊值代入计算，特殊值视题目条件而定，以好算为原则，最好可以心算，不要动笔；三是排除或肯定,由于数学试题中的选择题均为四选一的单选题，因此能排除掉三个选项，则剩余的选项必然是正确选项.需要注意的是，如果一个特殊值同时在两个选项中，那么可以同时排除掉两个选项，但是不能同时肯定两个选项，还必须再选一个特殊值进行检验.4题外话：虽然本文就题目而言可以告一段落，但在完成这篇文章的过程中产生了一些感想，可能对高三教学及高中数学命题有一些参考价值.4.1高三教学要回归课本.从近三年高考试题不等式部分的选择题来看，所考查的知识点和方法没有超出教材范围，在教材中可以找出其原型或所谓的影子,其中绝对值不等式属于自选内容，有关试题也没有超出教材的范围.按照罗增儒教授的说法，“课本是高考命题的基本依据，有的试题直接取自教材，或为原题，或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓”.本文中的12道高考题可以充分地证明罗增儒教授这个说法的正确性.因此，高三教学一定要回归课本、抓住课本,特别应该在课本题目的变式及解法多样化上多想办法.4.2选择题中不宜出现与不等式有关的题目.从本文的解答可以发现，与不等式有关的选择题不宜做为教材