湘教版初中数学八年级下册全册教学设计(全册)

湘教版初中数学八年级下

全册教案

目录

上1.1多项式的因式分解...................................1

4-1.2提公因式法.........................................3

上L2用提公因式分解因式（2）.........................................................5

上1.3公式法（1）................................................................................7

*1.3公式法（2）................................................................................9

4-因式分解小结与复习...................................10

工第一章《因式分解》测试题..............................12

4-2.1分式的基本性质（1）..............................................................14

上2.1分式基本性质（2）..................................................................16

42.2.1分式的乘除法....................................18

上2.2.2分式乘方.........................................20

4-2.3.1同底数幕的除法..................................22

d2.3.2零次累和负整数指数嘉..........................23

42.3.3整数指数幕的运算法则............................26

上2.4.1同分母的分式加、减法............................28

上2.4.2异分母的分式加减法..............................30

工251可化为一元一次方程的分式方程.....................32

4-2.5.2分式方程的应用..................................34

4-分式复习（1）..................................................................................35

;分式复习（2）..................................................................................37

k3.1.1平行四边形的性质和中心对称图形（1）...........................39

上3.1.1平行四边形的性质和中心对称图形（2）............................42

43.1.2中心对称图形（续）..............................44

43.1.3平行四边形的判定（1）.......................................................47

43.1.3平行四边形的判定（2）.......................................................50

4-3.L4三角形的中位线...................................52

土3.2.1菱形的性质......................................55

工3.2.2菱形判定（1）........................................................................57

工3.3矩形（1）....................................................................................58

工3.3矩形（2）...................................................................................60

*3.4正方形（一）......................................62

上3.4正方形（二）.......................................64

4-3.4正方形（三）.........................................67

上3.5梯形..............................................71

上3.6多边形的内角和与外交和（1）.................................................74

上3.6多边形的内角和与外角和（2）...............................................77

土四边形小结与复习.....................................79

4-4.1二次根式和它的化简（1）....................................................81

44.1二次根式和它的化简（2）....................................................84

上4.1二次根式和它的化简（3）.......................................................87

4-4.2.1二次根式的乘法..................................90

k4.2.2二次根式的除法.................................93

*4.3二次根式的加、减法（1）.....................................................95

工4.3二次根式的加、减法（2）......................................................98

44.3二次根式的加、减法（3）...................................................101

45.1概率的概念.......................................104

45.2概率的含义.......................................106

1.1多项式的因式分解

教学目标

1.了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系.

2.感受因式分解在解决相关问题中的作用.

3.通过因式分解培养学生逆向思维的能力。

重点与难点

重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。

难点：对分解因式与整式关系的理解

教学过程

一、创设情境，导入新课

1回顾整式乘法和乘法公式

填空：计算：(l)2ab(3a+4b-l)=,(2)(a+2b)(2a-b)=

(3)(x-2y)(x+2y)=;(4)*-2«丫=

(5)(吗牙=

2你会解方程：炉_1=0吗？

估计学生会想到两种做法：(1)•是用平方根的定义，

(2)二是：解：(x+1)(xT)=O,根据两个因式相乘等于0,

必有一个因式等于0,得到：x+l=0或者x-l=0,因此：得x=l或T

指出：把e-I号Q-D叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？这

节课我们来学习这个问题。

二合作交流，探究新知

1因式的概念

(1)说一说：6=2XdT_Q+与

(2)指出：对于6与2,有整数3使得6=2X3,我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6

的一个因数。

类似的：对于整式/y与x+2,有整式x-1使得L&+今0f,我们把x+2叫多

项式的一个因式，同理，x-2也叫多项式d-4的一个因式。

你能说说什么叫因式吗？

一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f的一个

因式，同样，h也是f的一个因式。

(3)考考你：你能说出下面多项式有什么因式吗？

Aab+ac,B“一9C"-&+彳D4^-125+9

2因式分解的概念

(1)指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式,

称为把这个多项式因式分解。

(2)考考你：

下面变形叫因式分解吗？

田一2%%»£+1^+3.0^+25?-2(2x:-l-x?XaM^4-J^V

X

E2x3+-3x24-l=*a(2x+^+1F2X34-3K2+1=X3C2X+3!)

说明：因式分解的对象是含有字母的多项式因此A不是因式分解，因式分解的目的是把含

字母的多项式化成均含字母的乘积的形式，因此B不是，因为a+3不是多项式。D中等号

X

右边不是乘积形式，因式分解是对一个多项式进行变形，不改变它的结果，因此F不是因式

分解。

3为什么要对一个多项式进行因式分解呢？看书P3

4尝试练习

你能根据(l)2ab(3a+4b-l)=,(2)(a+2b)(2a-b)=

(3)(x-2y)(x+2y)=;(4)©"*-24>*=

⑸(岁=------

对下面多项式进行因式分解吗？

(1)6AH■81^-206.(2)(3),⑷,MJ

4

5因式分解与整式乘法有什么区别和联系？

整式乘法：把乘积形式化和差形式，因式分解：把和差形式化成乘积形式；

考考你：

判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是分解因式？

(1)./一4」=(x+2y)(x-2y)(2).2x(x-3y)=2^-6xy

(3),(5aTfnN^TOa+l(4),胃+4x+4=(x+2)⑸.(a-3)(a+3)=-9

(6)o或*-4=(m+4)(m-4)(7).2nR+2Jtr=2n(R+r)

三应用迁移，巩固提高

1简单的因式分解

例1把F列多项式因式分解

(1)点一9,(2)"-9,(3)荷一弼，(4)£t*-4a+4(5)ePb-d?

2因式分解在解方程中的应用

例2解下列方程：(1)4片-9=0,(2)jr+3r=0

四课堂练习，巩固提高

1.指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？

(1)V—2=(A+1)(x—1)—1(2)(*—3)(户2)=*—x6

(3)3方〃一6〃片3即(加一2)(4)ma+/nb^nic=/n(.a+t>)+mc(5)a2—4a£H-4Z?2=(a—2Z?)2

2把下列各式因式分解

1

(1)3^4-fir+Ste,(2)16J?-256)(3)4nf-12m+9

五反思小结，拓展提高

1这节课重点内容是什么？这节课重点是因式分解的概念，

2什么叫因式分解？因式分解与整式的乘法有什么区别？

六作业P4

七教学后记

1.2提公因式法

教学目标：会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法分解多项式的因式。

重、难点：重点：用提公因式法分解因式。难点：确定多项式中的公

因式。

教学过程

一创设情境，导入新课

inwftnttfm

1如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？

这个问题实际上就是求(am+bm+cm)-?(a+b+c)=______

为了解决这个问题请你先思考：

2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地

皮的面积是多少？

提问：把ma+mb+mc写成m(a+b+c)叫什么运算？怎样分解因式？

这节课我们来学习第一个方法------提公因式法

二合作交流，探究新知

1公因式的概念

(1)式子：am,bm,cm,是由哪些因式组成的？航

指出：其中m是他们的公共的因式，叫公因式

(2)你能指出下面多项式中各项的公因式吗？■■e

⑸5」—(4)-12x^4-18v-15jr

2提公因式法3

把ma+mb+mc分解成：ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依据？这种因式分解有什么特点？

用到了乘法分配律，特点：把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。

3应用举例

例1把—加+x因式分解

强调：(1)公因式确定后，另一个因式怎么确定？

(2)某一项全部提出后，还有因数“1”

例2把*+&因式分解。

强调：(1)首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数。

(2)首项为负时，最好提出负号。

例3把*人一4。因式分解强调：公因式确定的方法：

(1)系数：取各系数的最大公约数。如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；求

48、36的最大功因数48=2*x3,36=那么Zx3就是他们的最大公约数

(2)对于字母，取各项都有的，指数最低的。如:土尸与Wz,V3取做为公因式的字

母因式

(3)公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。

考考你：

1.a?x+ay-a3xy在分解因式时，应提取的公因式()

D.ay

2.下列分解因式正确的个数为

(l)5y3+20y2=5y(y2+4y)(2)a2b-2ab2+ab=ab(a-2b)

(3)aJ+3ab-2ac=-a(a+3b-2c)(4)-2x2-12xy2+8xy3=-2x(x+6y2-4y3)

三应用迁移，巩固提高

1提公因式法在计算方面的应用

例4如图，a=4.6cm,b=1.3cm,求阴影部分的面积。

2提公因式法在证明中的应用

例5必能被45整除吗？试说明理由。

四课堂练习，巩固提高P81,2,3

五反思小结，拓展提高。这节课我们学习了因式分解的什么方法？应注意什么？

六作业P10A12(1)--(3)B2,3

七教学后记

L2用提公因式分解因式(2)

教学目标

1使学生进一步掌握公因式为多项式的因式分解；2渗透类比、转化的思想。

重点、难点：重点：公因式为多项式的因式分解

难点：公因式不明显而需要转化才能找到时的因式分解。

教学过程

-创设情境，导入新课

1复习检查

(1)-8abc-Ma%14-12o*的公因式是

师：强调找公因式的方法

(2)分解因式：①am+bm②+30^^

强调：如果多项式中各项有公因式，一定要提出公因式。找公因式是关键，如果把多项式

am+bm中的m换成：(x-2)得到a(x-2)+b(x-2)又怎样分解因式呢？

板书课题：用提公因式法分解因式(2)

二合作交流，探究新知

1公因式为多项式的因式分解

(1)am+bm中的m换成(x-2)得到a(x-2)+b(x-2中的公因式是什么？怎样分解因式

(2)若再将a换成2b-3得到：(2b-3)(x-2)+b(x-2)公因式是什么？怎样分解因式？

(3)am+bm中的m换成：渭到，公因式是什么？怎样分解因式？

(4)若再把a换成(a+c),b换成(a-c)得到：『公因式是什么？

怎样分解因式？’

从上面问题我们看到公因式有的是单项式，有的是多项式，我们要练就“火眼金睛”发现多

项式的公因式。

2公因式不明显的因式分解

(1)你知道下面多项式有什么关系吗？有式子怎样表达它们的关系？

①a+b与b+a②a-b与b-a③与(4){.—勾’

(2)下面多项式有公因式吗？如果有怎样分解因式呢？

①a(x-2)+b(2-x)②a(a-h)a+b(6-a)a③a(a—4-

三应用迁移，巩固提高

1多项式为公因式的因式分解

例1把T2歹力Mjk+y)分解因式。

例2把多项式(a+b-c)(a-b+c)-(b+c-a)(c-a-b)分解因式

例3把分解因式

2多项式因式分解的应用

例4已知x,y都是正的整数,且x(x-y)-y(y-x)=12,求x和y

例5解方程：2x(3x-1)+(2x-2)(l-3x)=28

四课堂练习，巩固提高Pw1,2

五反思小结：这节课你有什么收获？师强调：不明显的公因式要注意变形成为多项式。

六教学后记

1.3公式法(1)

教学目标

1使学生掌握用平方差公式分解因式；

2理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区

别。

重点、难点

重点：用平方差公式分解因式。难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解。

教学过程

-创设情境，导入新课

1复习检查：

(1)分解因式：⑴54c一方尸一(五+〃){

(2)(a+b)(a-b)=<，这是什么运算？

(3)怎样分解因式：这力？

这力=(a+b)(a-b),是用平方差公式分解的，我们把它公式法。

这节课我们来学习用公式法分解因式•板书课题

二合作交流，探究新知。

1用平方差分解因式

(1)把公式射力=(a+b)(a-b)中的字母a改为2x字母b改为y得到什么样的多项式？

怎样把4-一/分解因式？，

3

(2)把公式这田=(a+b)(a-b)中的字母a改为5x字母b改为得到什么样的多项式？

怎样分解多项式一彳,？

(3)把公式(a+b)(a-b)中的字母a改为x+y字母b改为2y得到什么样的多项

式?怎样把多项式任+#'一少分解因式？

(4)把公式标力=(a+b)(a-b)中的字母a改为x+y字母b改为x-y+1得到什么样的多

项式?怎样把多项式一3一>+中分解因式？

2模仿练习：请你把公式出一"=(a+b)(a-b)中的字母a、b任意改为数、字母、单

项式或者多项式，然后把这些多项式分解因式。通过这样的训练，你会多用平方差公式分解

因式更加熟练，一定要重视哟！

3平方差公式的识别下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？

(1)—用，(2)1一(出尸，(3)0a-(乃

师：一个多项式是否适合用平方差公式分解因式，怎样辨别呢？

三应用迁移，巩固提高

1用平方差公式分解因式

例1分解因式。(1)v-y*,⑵#-4一%/+，『(3)4"-,/-.+D

2综合运用平方差公式和提公因式法分解因式。

例2把/—分解因式。

3有理数范围和实数范围内分解因式。

交流：怎样把―一9分解因式？

估计学生会有两种想法：

一是：-9=(?+3*-，二是d_9=(?+3)g扬卜+向

这两种解法有什么区别？

前者结果中系数没有无理数，后者结果中出现无理数。我们把前面的因式分解叫在有理

数范围内分解因式，后者叫在实数范围内分解因式。

如果没有特别说明，因式分解只在有理数范围内进行。

4应用迁移，巩固提高

例3某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5m,内圆半径

r=24.5m,求需要的塑胶总面积。取3.14,结果精确到0.1)

四课堂练习，巩固提高P14练习题1,2,3

五反思小结，拓展提高用平方差公式分解因式，关键是会识别一个多项式是否适合用公

式，如果适合什么式子相同于公式中的字母a,什么式子相当于公式中的字母b。

六作业P“1B1,2

七教学后记

1.3公式法(2)

教学目标

1使学生掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式；

2培养学生的逆向思维能力。

重点、难点

重点：会用完全平方公式分解因式难点：识别一个多项式是否适合完全平方公式。

教学过程

一创设情境，导入新课1

1检查学习效果分解因式(2)旅

2(a-b)a=这叫什么运算？

a

怎样多项式：广■2o6+4、/42afr+"分解因式？

这节课我们来学习公式法(2)

二合作交流，探究新知

1理解平方差公式的结构，并会用平方差公式分解因式

(1)我们把式子『迎+炉中的字母a改为x,b改为2,得到的多项式是什么？怎样把

/+缶+4分解因式？+4x改为-4x又怎样分解因式呢？

(2)我们把式子呈2通+一中的字母把a改为x,b改为3,得到的多项式是什么？怎

样把/-女+2分解因式呢？-3x改为+3x呢？2

4

(3)我们把式子中的字母a改为2x,b改为2,得到什么样的多项式？怎样把

4P-12JC+4分解因式？T2x改为+12x呢？

(4)我们把式子中的字母a改为b不变，得到什么样的多项式？怎样把

『一2cAs分解因式？

(5)我们把式子『讪十一中的字母a改为(x+y),字母b改为6得到什么样的多项式？

怎样把(x+,)a-2(x4-,)+36分解因式？

通过上面的讨论，我们看到公式中的字母可以代替一个数、一个字母、甚至一个单项式

或一个多项式，关键是要知道多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什么相当于字母a,

什么相当于字母b.

2公式的识别

(1)下面多项式是否适合完全平方式分解因式？

(1)/+2r+4,⑵常+2|11-1(3)Y+20aA--⑷m2-E+L

4

(2)填空：

①4+2«:+=(②40a+£+f『=

③④G_)但44=3

三应用迁移，巩固提高

1用完全平方公式分解因式

例1把下面多项式分解因式

(1)(2)江4^*麻*,(3)X,—2^+1⑷(>3+初'+2(/1+次)+1

2提公因式法和公式法的综合运用

例2把多项式*/+&卬+为/分解因式

3分解因式的应用

例3若一个三角形的三条边a、b、c满足『+就？+才-ZS-2te=0

试判断这个三角形的形状

四课堂练习，巩固提高P17练习，1,2

五反思小结，拓展提高

1完全平方公式有什么特点？

2用完全平方公式分解因式关键是先识别一个多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什

么相当于a,什么相当于b.

六作业P17A2,3B3

七教学后记

因式分解小结与复习

教学目标：

1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题

的能力.

2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、

验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.

3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合

作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.

教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.

教具准备:多媒体课件(小黑板)

教学方法：活动探究法

教学过程：

一、引入:在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就

是因式分解.什么叫因式分解？

二、知识详解

知识点1因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做

把这个多项式分解因式.

【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

例如：

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

怎样把一个多项式分解因式？

知识点2提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的

公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式淇中••个因式

是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的

方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).

探究交流

下列变形是否是因式分解?为什么？

(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);(2)x?-2x+3=(x-1尸+2;

(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn,

典例剖析师生互动

例1用提公因式法将下列各式因式分解.

(1)-x3z+x4y;(2)3x(a-b)+2y(b-a);

分析：(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形，再把b-a化成-(a-b),然后

再提取公因式.

小结：运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.

(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。这时注

意到(a-b)n=(b-a)"(n为偶数).

(3)因式分解最后如果有同底数哥，要写成嘉的形式.

学生做一做把下列各式分解因式.

(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b);(2)4p(l-q)3+2(q-l)2

知识点3公式法

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的

积.例如：4x?-9=(2x产-32=(2X+3)(2X-3).

(2)完全平方公式:a2±2ab+b?=(a±b)2.JC4J,a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方

和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例

如:4X2-12xy+9y2=(2x)2-2•2x•3y+(3y)2=(2x-3y)2.

探究交流

下列变形是否正确?为什么？

(l)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;(3)x2-2x-l=(x-l)2.

例2把下列各式分解因式.

(l)(a+b)2-4a2;(2)1-10x+25x2;(3)(m+n)2-6(m+n)+9.

分析:本题旨在考查用完全平方公式分解因式.

学生做一做把下列各式分解因式.

(1)(X2+4)2-2(X2+4)+1;(2)(x+y)2-4(x+y-1).

综合运用

例3分解因式.

(1)X3-2X2+X;(2)x2(x-y)+y2(y-x);

分析:本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.

小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有,先提公因式;如果没有公因式是

两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式

都不能再分解为止.

探索与创新题

例4若9x?+kxy+36y2是完全平方式，则k=.

分析:完全平方式是形如:a?±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).

三、学生做一做若x?+(k+3)x+9是完全平方式，则k=

四、课堂小结

用提公因式法和公式法分解因式，会运用因式分解解决计算问题.

各项有“公"先提"公"，首项有负常提负，某项提出莫漏"1”,括号里面分到"底”。

自我评价知识巩固

1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于()

A.3B.-5C.7.D.7或-1

2.若(2x),8l=(4x?+9)(2x+3)(2x-3),贝IJn的值是()

A.2B.4C.6D.8

3.分解因式:4x2-9y2=

4.已知x-y=l,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.

5.把多项式l-x2+2xy-y2分解因式

思考题分解因式(x4+x2q)(x4+x2+3)+10.

第一章《因式分解》测试题

一、填空题.把下列各式因式分解(30分)

1.a—9=2.a+a=

3.-5a+25a=4.3ab-6abc=

5.a(a-3)—5(a-3)=6.—6ab(x+y)+12ab(x+y)=

7.(a+b)(a-c)—(a-b)(c-a)=

8.y(y-5)—7(5—y)=9.4a-b=

10.16x-y=

把下列各式因式分解（要求写出解题过程）（30分）

11.mn——m

解：

12.X2—72

解：

13.a'—5a+6

解：

14.X2—6x+9

解：

15.—25a2+20ab—4b2

解：

三.解答题（20分）

16.已知：a+b=3.x—y=l时

求：a2+2ab+b2—x+y的值

17.ZXABC的二边是a,b,c并且一c+a+2ab—2bc=0

请你说明ABC是等腰三角形。

18.当x=2,y=l时求代数式：(x+y)(x—y)+(x—y)—(x—3xy)的值

四.解答下列各题（20分）

19.因式分解：6x—6y—9x2+18xy—9y2—1

解：

20.因式分解：1+x+x(1+x)+x2(1+x)

21.解方程：X2—5x=0

22.在边长为a厘米的正方形的四个角，各剪去一个边长为b厘米的小正方形。

当a=12.4厘米.b=3.厘米时

求剩余部分的面积.

2.1分式的基本性质（1）

教学目标

1了解分式的概念。

2通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。

3理解分式有意义的条件。

教学重点、难点：

重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。

教学过程

一创设情境，导入新课

探究1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？

（交流讨论）3

（1）每位小朋友分工

（2）分法：3

①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的;

②为了艳个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这心占一个

苹果的8。363_3x2_6

想想这两种分法分得的是否一样多？，即：4=4^2=8）山此表明了什么？

分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。

分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。

这就是分数的基本性质。

2（1）把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n（m>0）位小朋友,每位小朋友分到多少苹果？

用除法表示：3+K,用分数表示为是，3+心2相等吗？（3e2）这里的n可以是实

数吗？3（n如能为0）k7"

（2）彳与最有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫

分式呢？分式有没有和分数一样的性质？

这节课我们来学习——分式的基本性质。（板书课题）

二合作交流，探究新知

1分式的概念填空：

（1）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是元。

（2）•个梯形木板的面积是6如果梯形上底是am,下底是bm,那么这个梯形的高是

________m.

⑶两块面积分别为a亩，b亩的稻田mkg,nkg,这两块稻田平均每亩产稻谷kg.

a12m+n

观察多项式：这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有

字母）

一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式:叫分式。

说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式：分母一定

含有字母。

2分式的基本性质A

思考：2与分会相等吗？如啰与分所相等吗？

443_3*

如果a*0,那么丁不，只要都意义，那么不一兀

你认为分式和分数具有相同的性质吗？

分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。

分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。

用式子表示为：设ha0,则£=&

做一做P24*Z'k

3分式的值为零的条件和分式有意义的条件

x-5j

例1求分式示的值，（1）x=3,（2）x=-5

XS（x-A

思考：（D要是分式M的值为零，X应等于多少？要使分式8+酸触》的值为零,

X应等于多少？

（2）分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零）

x-2

例2当x取什么值时，分式六三（1）无意义，（2）有意义。

分式有意义的条件是什么？（分母不等于零）

三课堂练习，巩固提高P25

四反思小结，巩固提高这节课你有什么收获？

学习了分式的概念，分式的基本性质，分式值为零的条件分式有意义的条件。

五作业P27-28A1,2,3B1,2

六教学后记

2.1分式基本性质（2）

教学目标

1进一步掌握分式基本性质的应用。2通过探索掌握分式符号的变换法则。

教学重点、难点：分式基本性质的应用和分式的变号法则

教学过程

一创设情境，导入新课

1复习：分式基本性质是什么？用式子怎么表示？

分式的分子分母同乘以一个非零的多项式，分式值不变。£=£±如4

2分式的值为零的条件是什么？分式有意义的条件是什么？we'h

分式值为零的条件：分子为零，分母不为零。

分式有意义的条件是：分母不为零.

二合作交流，探究新知

1分式基本性质的应用（1）约去分子分母的公因式而把分式化简

例1把下列分式中分子分母的公因式约去（1）X;（2）

分析：先要找到公因式，对于20b分子分母的公因式是什么？然后把分子分母分别写成

公因式乘以一个适当的式子。

—-4r生

解（1）20＞寸=—勺八》=—».

如果分子分母是多项式，还要注意先分解因式，再找公因式。

一一48+秋x+2

（2）at?—4x-^=⑴-41=X-2.

练一练：把下列分式中分子分母的公因式约去

—2a（a+O©-苗

3

（1）必/；（2）%•+切；（3）口-科；（4）V+^r.

2把异分母分式化成同分母分式

异分母分数化成同分母分数是利用分数的基本性质把每一个分数的分子分母乘以一个

适当的数。如：（1）］、1，它的公分母是多少呢？（60）60是怎么求得的呢？（用短除

法）还有别的方法吗?1220

12=^*xA20=2ax5,请你算一算:好x3x5你发现了什么？

例2把下列异分母分式化成同分母分式。

1111

（1）n,(2)r,而(3)而，*

Ilx^^1bos4

解：（1）。a，b&bb5-aob

11・Gc+4）x+y1L⑴一力x-y

（2）*-y=Q-力（x+力=/-/,工r=8+»x-y）=

1产61I：”a

(3)a^b=心b，b=—,at^=o6a・a=W?.

1工

练一练：把分式至，西；化成分母相同的分式。

2分式符号的变换

思考：

(1)

(2)①且与f、_£；②F与上有什么关系？为什么？

-ggg-g8

估计学生会想到用除法法则来找到他们的关系，但还要引导学生利用分式的基本性质来

找到他们的关系。

/_/x(-i>_-ff=(1)/_Gi)xf_-f-f_/_r

~£/xCl〉gggg£因此：g-g£

-faoq_/三=£

-a(-D«Y)£,因此，~B£

从上面的变换你发现了什么规律？请用你的话来表达？

分式的分子、分母、分式本身三个符号任意改变两个，值不变。

练一练：1P26做一做2P27练习题

3下面变形是否正确？为什么？如果不正确应怎样改正？

—x+1_x+1

-**-]_』一]

三反思小结，拓展提高

这儿课你有什么收获？

1感受了分式基本性质的应用，2会变换分式的符号。

四作业P29A3、4、5B

五教学后记

2.2.1分式的乘除法

教学目标

1通过类比得出分式的乘除法则，并会进行分式乘除运算。

2了解约分、最简分式的概念，会对分式的结果约分。

重点、难点

重点：分式乘除法则及运用分式乘除法则进行计算；难点：分式乘除法的计算。

教学过程

一创设情境，导入新课

1分数的乘除法复习

计算：（1净•4分数乘法、除法运算的法则是什么？

2类比：把上面的分数改为分式：①£总◎）£+上怎样计算呢？

gvgv

这节课我们来学习一一分式的乘除法（板书课题）

二合作交流，探究新知

1分式的乘除法则

（1）24=匕£,⑵£二=工』=3（"0）

gVg-vgVgug-u

你能用语言表达分式的乘除法则吗？

分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子、

分母的公因式。

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

2分式乘除法则的初步应用及分式的约分和最简分式的概念

例1计算：⑴竺.±.（2）至：上学生独立完成，教师点评

点评：（1）分式的乘法，可以先把分子、分母分别相乘再约去分子、分母的公因式，这叫

约分。分子、分母没有公因式的分式叫最简分式。

（2）分式的除法运算实际上是转化为分式的乘法运算，这里体现了“转化”的思想。

三应用迁移，巩固提高

1需要分解因式才能约分的分式乘除法

例2计算：（1）宝■•PI；8??二

点评：如果分子、分母含有多项式因式，因先分解因式，然后按法则计算。

2分式结果的化筒及化简的意义

例3化筒：叫*09■⑷Q-

点评：在进行分式运算的时候，一般要对要对结果化简，为什么要对分式的结果化简呢?

请你先完成下面问题：

2-9

例4当x=5时，求―+①”的值。

现在你知道为什么要对分式的结果化简了吗？(把分式的结果先化简，可以使求分式

的值变得简便)

四课堂练习，巩固提高

［计算:噫%㈤等七冏三力僦/+2)干+公可

行侬"-21y廿

2化简：9+1。+25y-x

3下面约分对吗？如果不对，指出错误原因，并改正

⑴2x+2y=2(x+y)J+1=2.⑵2x=2

2x2+2y22(x2+y2)x+yx+y"\2+3x+3

__JM%=20QV

4有这样一道题“计算：W-l7+X甲同学把x=2009错抄成2900”,

但他的计算结果是正确的，你说这是怎么回事？

五反思小结，拓展提高

六、作业：P341,2,3B1,2,3

七教学后记

2.2.2分式乘方

教学目标：探索分式乘方的运算法则；熟练运用乘方法则进行计算。

重点、难点

重点：分式乘方的法则和运算。

难点：分式乘方法则的推导过程的理解及利用分式乘方法则进行运算。

教学过程

一创设情境，导入新课

1复习：分式乘除法则是什么？

2什么叫最简分式？

3取一条长度为1个单位的线段AB,如图：

BA日

第一步：把线段AB三等分，以中间一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，就得到了由

_____条长度相等的线段组成的折线，每一段等于一,总长度等于—.

第二步：把上述折线中的每一条重复第一步的做法，得到__，继续下去。情况怎么样呢？

这节课我们来学习-----分式的乘方。

二合作交流，探究新知。

分式乘方的法则

（1）把结果填入下表：

步数线段的条数每条线段的长度总长度

1414

3

2

4-©⑶==3*3=9

3

干假得49T竺

4

41©4444256

=3；：35；3；-；5=面7

5

.f["1Y44444些

假UJ=3＞：3＞：3＞：3＞：3=243

（2）进行到第n步时得到的线段总长度是多少呢？

4Y_444_4x4x…4_£_

n个

4/

(3)把与改为名,即…*y：

⑴轨44的444酒也就方肪府M彳他8"

H个

用语言怎么表达呢分式乘方等于分子、分母分别乘方。

三应用迁移，巩固提高

1分式乘方公式的应用

例1计算：0注：强调每一步运用了哪些公式。

2除法形式改为分式形式进行计算。

例2计算：夕—xV

强调：除法形式改为分式，利用分式的运算性质进行计算给计算带来了方便。

3分式乘方与分式乘法、除法的综合运用。

4整体思想

b=4jafrj&T*

例4l_l知：,求IaJ的值。

四课题练习，巩固提高P34练习题1,2

补充：先化简，再求值。m+4r+H焉,其中x=l.

五反思小结，拓展提高这几课你有什么收获？

(1)分式乘法法则(2)分式乘方法则与分式乘除运算法则综合运用时的顺序。

六、作业：P35A4B4,5,6

七教学后记

2.3.1同底数塞的除法

教学过程

1通过探索归纳同底数累的除法法则。

2熟练进行同底数塞的除法运算。

3通过计算机单位的换算，使学生感受数学应用的价值，提高学习学生的热情。

重点、难点：重点：同底数塞的除法法则以及利用该法则进行计算。

难点：同底数幕的除法法则的应用

教学过程

-创设情境，导入新课

片X?—4

1复习：约分：①国人，②/，③d-4x+4

复习约分的方法

2引入

（1）先介绍计算机硬盘容量单位：计算机硬盘的容量最小单位为字节，1字节记作1B,

计算机上常用的容量单位有KB,MB,GB,其中：

1KB=20B=1O24B««1OOOB,

14^=2*°AB=2*,x2*0B=2aaB,

（2）提出问题：小明的爸爸最近买了一台计算机，硬盘容量为40GB,而10年前买的一

台计算机，硬盘的总容量为40MB,你能算出现在买的这台计算机的硬盘总容量是原来买的