圆(解析版)-2021年中考数学保A必刷压轴题(广东专用)

专题06圆专题

1.(2019•黄石)如图，AB是。0的直径，点。在AB的延长线上，C、E是。。上的两点，CE=CB,Z

BCD=/CAE,延长AE交8c的延长线于点尸.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)求证：CE=CF；

(3)若8。=1,CD=®,求弦AC的长.

【分析】(1)连接OC,可证得NCAO=NBCD,由NCAO+NA8C=90°,可得出NOCO=90°,即结

论得证；

(2)证明△ABCgZXAFC可得C8=CF,又CB=CE,则CE=CF；

(3)证明△DCBS/XOAC,可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，A则由勾股定理可得

AC的长.

【解析】(1)连接OC,

是OO的直径，

，NAC8=90°,

.'.ZCAD+ZABC=90°,

"：CE=CB,

：.ZCAE=ZCAB,

,:NBCD=NCAE,

：.NCAB=NBCD,

'：OB=OC,

：./OBC=NOCB,

：.ZOCB+ZBCD=90Q,

：.ZOCD=90°,

是。。的切线；

(2)'：ZBAC^ZCAE,/ACB=/AC尸=90°,AC^AC,

：.△ABC丝AAFC{ASA),

J.CB^CF,

又,：CB=CE,

：.CE=CF；

(3)'：ZBCD=ZCAD,ZADC=ZCDB,

.,.△DCB^ADAC,

.CDADAC

"BD=CD=BC'

.我AD

1V2

；.ZM=2,

：.AB=AD-BD^2-1=1,

222,

设8c=a,AC=心,由勾股定理可得：a+(72a)=l

解得：a=返，

3

,,,人，/

2.(2019•包头)如图，在。。中，B是。0上的一点，乙48c=120°,弦AC=2«,弦平分NABC

交4c于点。，连接MA,MC.

(1)求OO半径的长；

(2)求证：AB+BC=BM.

【分析】(1)连接OA.OC,过。作于点H,由圆内接四边形的性质求得NAMC,再求得乙40C,

最后解直角三角形得04便可;

(2)在BM上截取8E=8C,连接CE,证明BC=8E,再证明△4CB四△MCE,得AB=ME,进而得结

论.

【解析】(1)连接04、0C,过。作于点，，如图1,

VZABC=120°,

二/AMC=180°-ZABC=60°,

...NAOC=2/AMC=120°,

AZAOH=—ZAOC=60°,

2

•.•AH=LC=«,

.'.OA-—=2，

sin60

故。。的半径为2.

(2)证明：在8M上截取8E=BC,连接CE,如图2,

B

图2

VZMBC=60°,BE=BC,

.•.△EBC是等边三角形,

:.CE=CB=BE,NBCE=60°,

AZBCD+Z£)CE=60°,

VZACM=60°,

/ECM+/OCE=60°,

NECM=NBCD,

VZABC=120°,8M平分NA8C,

...NABM=NC8M=60°,

.•./CAM=/CBM=60°,ZACM=ZABA/=60",

?.Z\ACM是等边三角形，

；.AC=CM,

AACB注AMCE,

：.AB=ME,

■:ME+EB=BM,

：.AB+BC=BM.

3.(2019•聊城)如图，△ABC内接于。0,AB为直径，作OD_LAB交4c于点。，延长8C,0。交于点尸,

过点C作。。的切线CE,交OF于点E.

(1)求证：EC=ED-.

(2)如果04=4,EF=3,求弦AC的长.

【分析】(1)连接0C,由切线的性质可证得NACE+NA=90°,又NCZ)E+N4=90°,可得/CDE=

ZACE,则结论得证；

(2)先根据勾股定理求出0E,0D,AD的长，证明RL^AODSRI/VICB,得出比例线段即可求出AC

的长.

【解析】（1）证明：连接0C,

・・・CE与OO相切，为。是。。的半径,

:.OCLCE,

：.ZOCA+ZACE=90°,

•：OA=OC,

：.NA=NOCA,

/.ZACE+ZA=90°，

・・・ODLAB.

・・・NOD4+N4=90°,

VZO£>A=ZCDE,

：.ZCDE+ZA=90a,

AZCDE=ZACE,

:.EC=ED；

(2)YAB为OO的直径，

-8=90°,

在RlZ\QC”中，NDCE+NECF=90°,/DCE=NCDE,

：.ZCDE+ZECF=90°,

VZCD£+ZF=90°,

；.NECF=NF,

：.EC=EF,

VEF=3,

:・EC=DE=3,

0£=VOC2+EC2=V42+32=5,

OD=OE-DE=2,

在1

RlAOAD'I,^Q^2+QJJ2=.^T^2=2-/5，

在RtAAOD和RtAACB中，

VZA=ZA,ZACB=ZAOD,

：.RtAAOD^RtA/lCB,

•.•OAAD,

ACAB

即_£乌应

AC8

：.AC=-^-.

5

4.(2019•成都)如图，AB为。。的直径，C,。为圆上的两点，OC//BD,弦A。，BC相交于点E.

(1)求证：AC=CD；

(2)若CE=1,EB=3,求。0的半径；

(3)在(2)的条件下，过点C作。。的切线，交54的延长线于点P,过点P作尸。〃CB交。。于凡

。两点(点尸在线段P。上)，求PQ的长.

【分析】(1)由等腰三角形的性质和平行线的性质可得/O8C=/C8Z),即可证AC=CD；

(2)通过证明△ACEsaBCA,可得挺_/殳，可得AC=2,由勾股定理可求A8的长，即可求。。的

CEAC

半径；

(3)过点。作CWLFQ于点口，连接O。，通过证明△APCs^CPB,可得空注=-^■工」，可

PCPBBC42

求以=空£,即可求尸。的长，通过证明△PHOsaBCA,

3

可求P”，OH的长，由勾股定理可求HQ的长，即可求尸。的长.

【解析】证明：(1)；OC=OB

：.ZOBC=ZOCB

■:OC//BD

：.ZOCB=ZCBD

：.ZOBC=ZCBD

AC=CD

(2)连接AC,

CE=1,EB=3,

：.BC=4

vAC=CD

：.ZCAD=ZABC,且NACB=NACB

△ACES/XBCA

.A•C•CB=

CEAC

：.AC2=CH-CE=4X1

：.AC=2,

,：AB是直径

ZACB=90°

•"8=VAC2+BC2=2娓

的半径为遥

（3）如图，过点。作0"，尸。于点”，连接。。,

D

H

是G)0切线,

尸CO=90°,且NACB=90°

：.ZPCA^ZBCO=ZCBO,且/CP5=NCB4

:.△APCs^CPB

.PAPCAC_2_1

"PC"PB"BC'T"?

：.PC=2PA,PC2=PA'PB

：.4PA2=PAX(B4+2A/5)

：.PA=^^

3

:.PO=^IL

3

,JPQ//BC

：.ZCBA^ZBPQ,且/PHO=/ACB=90°

:.△PHOSXBCA

.ACBCAB

"OH"PH'PO

即2』芈四

OHPH5755

3

.•.尸”=也o，=旦

33

**,He=VoQ2-OH2=^^

PQ=PH+HQ="立.

5.(2019♦鄂州)如图，南是。0的切线，切点为4,AC是。。的直径，连接OP交。。于E.过4点作

AB_LP。于点£>,交。。于8,连接BC,PB.

(1)求证：P8是。。的切线；

(2)求证：E为△%B的内心；

(3)若cos/%B=Y亚，BC=\,求P。的长.

10

【分析】(1)连结。8,根据圆周角定理得到NA3C=90°,证明△AOP也/XBOP,得到NO8P=NOAP,

根据切线的判定定理证明：

(2)连结AE,根据切线的性质定理得到N用E+/OAE=9(T,证明E4平分/外£),根据三角形的内

心的概念证明即可；

(3)根据余弦的定义求出OA,证明△雨Os/viBC,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【解析】(1)证明：连结OB,

为。。的直径，

/.ZABC=90°,

'：AB±PO,

：.PO//BC

：.ZAOP^ZC,NPOB=NOBC,

OB=OC,

:.NOBC=NC,

ZAOP=ZPOB,

在△4OP和△BOP中，

'0A=0B

<ZA0P=ZP0B,

PO=PO

.♦.△AOP丝△BOP(SAS),

：./OBP=/OAP,

；必为。。的切线，

：.ZOAP=90Q,

:・NOBP=90”,

是。。的切线；

(2)证明：连结AE,

,..以为。。的切线，

AZPAE+ZOAE=90°,

'：AD.LED,

：.ZEAD+ZAED=90°,

,/OE^OA,

：.ZOAE=ZAED,

：.ZPAE=^ZDAE,即EA平分/以O,

■：PA.PB为。0的切线，

平分NAP8

为的内心；

(3)VZMB+ZBAC=900,ZC+ZBAC=90°,

：.ZPAB=ZC,

cosZC=cosZPAB—,

10_

在RtZ\4BC中，cosZC=-

ACAC10

.•.4C=A/T5，AO=^^-,

,：/\PAO^/\ABC,

•.•POAO,

ACBC

6.（2018•孝感）如图，△ABC中，AB=AC,以48为直径的OO交8c于点。，交4c于点E,过点。作

DFLAC于点F,交AB的延长线于点G.

(1)求证：DF是。。的切线；

(2)已知80=2遥，CF=2,求AE和BG的长.

【分析】(1)连接0。，AD,由圆周角定理可得ADL8C,结合等腰三角形的性质知5£>=CD,再根据

OA^OB^QOD//AC,从而由〃GJ_AC可得O£)_LFG,即可得证；

(2)连接8E.BE//GF,推出△AEBS^AFG,可得胆=胆，由此构建方程即可解决问题：

AGAF

【解析】(1)连接OD,AD,

,：AB为。。的直径，

.'.ZADB=90°,BPADA.BC,

\"AB=AC,

：.BD=CD,

又：0A=03,

：.OD//AC,

\'DG±AC,

：.ODLFG,

直线FG与。。相切；

(2)连接BE.•:BD=2®

CD=BD=2A/5,

"：CF=2,

JDF=>I(275)2-22=4,

,•SB是直径，

AZAEB=ZCEB=90°,

：.BE-LAC,VDF1AC,

：.DF//BE,

:.EF=FC,

：.BE=2DF=S,

VcosZC=cosN48C,

.CF=BD

**CD而'

.2_275

••初一而‘

：.AB=\O,

'•AE—y]02_g2=6,

VBE±AC,DF1.AC,

：.BE//GF,

：.△AEBs/XAFG,

.AB=AE

"AGAF'

.10_6

10+BG西’

：.BG=^-.

3

7.(2019•恩施州)如图，在。。中，A8是直径，BC是弦，BC=BD,连接CD交。。于点E,NBCD=N

DBE.

(1)求证：8。是。。的切线.

(2)过点E作E/UAB于凡交8c于G,已知。后=2万，EG=3,求8G的长.

D

【分析】(1)连接AE,由条件可得出NAEB=90°,证明得出NABE+/O8E=90°,即

Z/4BD=90°,结论得证；

(2)延长EF交。。于H,证明△EBCSAGBE,得出巫军，求出BE长，求出CG=GE=3,则8c

_BGBE

=BG+3,可得出至出里圾，解出8G=5.

BG2V10

【解析】(1)证明：如图1,连接AE,则/A=NC,

D

图1

是直径，

...NAEB=90°,

/.ZA+ZABE=90°,

■:NC=/DBE,

:.NABE+NDBE=90°,即NA8O=90°,

是。。的切线

(2)如图2,延长EF交。。于“，

D

'：EF±AB,AB是直径,

/.BE=BH,

:.NECB=NBEH,

:NEBC=NGBE,

:.AEBCSAGBE,

•.•-B-E--B-C-,

BGBE

■:BC=BD,

:,/D=/C,

■:NC=NDBE,

:・ND=NDBE,

：.BE=DE=2y/lQ,

又NAFE=NABD=90°,

：.BD〃EF,

：・ND=NCEF,

1・NC=NCEF,

：.CG=GE=3,

：.BC=BG+CG=3G+3,

,2V10BG+3

一BG二2后'

：.BG=-8（舍）或BG=5,

即8G的长为5.

8.（2019•莱芜区）如图，已知AB是。0的直径，CB_LAB,。为圆上一点，且4O〃OC,连接CO,AC,

BD,AC与BO交于点M.

（1）求证：8为。0的切线；

（2）若C£>=J5A。，求史的值.

【分析】（1）连接0。，设OC交8。于K.想办法证明△OOC丝△OBC（55S）即可解决问题.

（2）由CO=&A。，可以假设CD=®a,设KC=b.由△CQKs/XC。。，推出型=里，

OCCD

推出喜-=/一整理得：2（电）2+（旦）-4=0,解得返二I或二医二（舍弃），由此即可

—+bV2aaaa44

2a

解决问题.

【解析】（1）证明：连接OD设OC交8。于K.

TAB是直径，

•:NADB=90°,

：.ADLBD,

・IOC//AD,

:.0CBD,

:,DK=KB,

：.CD=CB,

VOD=OB,OC=OCfCD=CB,

：./\ODC^/\OBC（SSS）,

：・NODC=NOBC,

,:CBLAB,

：.ZOBC=90°,

.\ZODC=90°,

OD工CD,

；.c。是。。的切线.

（2）♦:CD=®AD,

.•.可以假设AD=a，CD=&a,设KC=b.

;DK=KB,AO=OB,

/.OK=Lo=工，

22

,：ZDCK=ZDCO,/CKD=NCDO=90°,

：.XCDKsXCOD、

•.•-C-D--_-C-K-,

OCCD

.如a_b

/a+b近a

整理得：2（旦）2+（上）-4=0,

aa

解得2=岳-1或勾通-1（舍弃），

a44

"：CK//AD,

.CM_CK_b_V33-l

"AMAD7-4—'

9.(2019•广安)如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分/BAC,AD交BC于点

D,EDJ_A。交AB于点E,△AOK的外接圆。。交AC于点F,连接EF.

(1)求证：8c是。0的切线；

(2)求的半径r及N3的正切值.

【分析】(1)由垂直的定义得到NE/)A=90°,连接0力，则0A=0。，得到N1=NOOA,根据角平分

线的定义得到N2=N1=/OQA,根据平行线的性质得到N8Z)O=NACB=90°,于是得到BC是0O

的切线；

（2）由勾股定理得到48=阮2荷=海宕=10,推出△BQOS/XBCA,根据相似三角形的性质

得到r=生，解直角三角形即可得到结论.

4

【解析】（1）证明：；E£）L4。，

:.NEDA=90°,

；力£是。。的直径，

的中点是圆心O,

连接OD，则OA=O。，

：.Z\=ZODA,

•.,AO平分N8AC,

•,.Z2=Z1=ZODA,

：.OD//AC,

:.NBDO=NACB=90°,

；.BC是。。的切线：

（2）在RtaABC中，由勾股定理得，^B=7BC2+AB2=V82+62=1（）,

•；OD//AC,

:ABDOsABCA,

•ODOBr10-r

••=''，011—=，

ACAB610

•l15

4

在RS。。中，BZ）=VoB2-OD2=：V（10-r）2-r2=5>

；・CD=BC-BD=8-5=3,

在RtZXAC。中，tanN2=^=3=』，

AC62

VZ3=Z2,

tanZ3=tanZ2=—.

2

10.(2019•泸州)如图，42为O。的直径，点尸在A8的延长线上，点C在o。上，且PC2=P8•%.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)已知PC=20,PB=1。,点。是标的中点，DE1AC,垂足为E,DE交AB于点F,求EF的长.

【分析】(1)连接OC,XPBCsXPCA,得出/PCB=/«4C,由圆周角定理得出NAC8=90°,证出

ZPCB+ZOCB=90Q,即OCrPC,即可得出结论；

(2)连接OD,由相似三角形的性质得出22=FA=2,设BC=x,则AC=2x,在Rt^ABC中，由勾股

BCPC

定理得出方程，得出BC=6jG，证出DE〃3C,得出△DOFs/vicB,得出空=区=」，得铝。尸=工

ODAC22

。。=」回，即AF=生，再由平行线得出里=迎=工，即可得出结果.

22BCAB4

【解析】(1)证明：连接OC,如图1所示：

VPC2=PB'PA,即空=型，

PCPB

VZP=ZP,

:.丛PBCs/XPCA,

：.ZPCB^ZPAC,

'：AB为。0的直径,

：.ZACB=90Q,

NA+N4BC=9()°,

•：OC=OB,

：.ZOBC^ZOCB,

：.ZPCB+ZOCB=90a,

即OCLPC,

是OO的切线；

(2)连接0£),如图2所示：

VPC=20,PB=IO,Pd=PB・*

：.AB=PA-PB=30,

,.,△PBC^APCA,

.ACPA0

BCPC

设8C=x,则AC=2x,

在Rtz^ABC中，/+(2x)2=3。2,

解得：x=6爬,即8c=6旄，

二•点。是源的中点，48为。。的直径,

，乙4。。=90°,

'."DE1AC,

尸=90°,

；/4。8=90°,

J.DE//BC,

：.ZDFO=ZABC,

：./\DOF^^ACB,

.OF=BC^l

"0DACT

.•.0尸=1。。=耳即AF=K

222

'：EF//BC,

.EF=^=1

"BCABT

：,EF=^BC=^^-.

42

11.（2019•雅安）如图，已知AB是。。的直径，AC,BC是。。的弦，OE"AC爻BC书E,过点B作。。

的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.

（1）求证：OC是。。的切线；

（2）若/ABC=30°,AB=8,求线段CF的长.

【分析】（I）连接OC,根据平行线的性质得到=由圆周角定理得到Nl=/ACB=90°,根

据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,求得NDBE=NDCE,根据切线的性质得到ND8O=90°,求

得OCLOC,于是得到结论；

（2）解直角三角形即可得到结论.

【解析】（1）证明：连接OC,

'JOE//AC,

：.Z\=ZACB,

是。。的直径，

.*.Zl=ZACB=90°,

AOD1BC,由垂径定理得。。垂直平分BC,

：.DB=DC,

:.NDBE=NDCE,

又：OC=OB,

：.NOBE=NOCE,

即N/)80=N0CD,

,/DB为。。的切线，OB是半径,

：.ZDBO^90Q,

...NOCL»=NO8O=90°,

即0C1DC,

：0C是。。的半径，

；.OC是。。的切线；

(2)在RtaABC中，ZABC=30°,

.,./3=60°,又04=0C,

.'♦△AOC是等边三角形，

CO尸=60°,

在RtZ\COF中，tan/COF=铝,

0C

:.CF=AM.

12.(2019•十堰)如图，△A8C中，AB=AC,以AC为直径的。。交BC于点。，点E为AC延长线上一

点,且/COE=」NBAC.

2

(1)求证：OE是的切线；

(2)若4B=3BO,CE=2,求00的半径.

o

B

£

【分析】(1)根据圆周角定理得出NAOC=90°,按照等腰三角形的性质和己知的2倍角关系，证明/

OOE为直角即可；

(2)通过证得△CDES/XDAE,根据相似三角形的性质即可求得.

【解析】(1)如图，连接。£),AD,

：AC是直径，

AZADC=90°,

：.ADLBC,

'：AB=AC,

：.ZCAD^ZBAD=1-ZBAC,

2

VZCDE=AZBAC.

2

：.ZCDE=ZCAD,

•：OA=OD,

：.ZCAD=ZADO,

,：ZADO+ZODC=90a,

：.ZODC+ZCDE=90°

.../OOE=90°

又力是。。的半径

.•.QE是。。的切线；

(2)'：AB=AC,ADLBC,

:.BD=CD,

'：AB=3BD,

：.AC^3DC,

设OC=x,则AC=3x,

Ao=JAC2-DC2=,

,:NCDE=NCAD,NDEC=NAED,

.•.△CDE^ADAE,

•CEDC_DE即2=x_DE

DEADAEDE2&x3x+2

.•.DE=472>'=学

/.AC=3x=14,

13.(2017♦十堰)已知AB为0。的直径，BCJ_A8于8,且3C=AB,。为半圆。。上的一点，连接3。并

(I)如图1,若CD=CB,求证：CD是。0的切线；

(2)如图2,若尸点在。8上，且COJ_OF,求迪•的值.

AF

【分析】Q)连接。0,CO,易证△C。。丝△CB。，即可解题；

(2)连接AQ,易证和△AOEs/SBDA,根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题.

【解析】(1)连接DO,CO,

图1

".'BCLABTB,

：.ZABC=90°,

fCD=CB

在与△C80中，JOD=OB,

loc=oc

:ACDO沿/\CBO,

：.ZCDO=ZCBO=90°,

：.ODLCD,

...C£＞是。。的切线；

(2)连接AC,

是直径，.•.NAOB=90°,

AZADF+ZBDF^90°,ZDAB+ZDBA^90°,

VZBDF+ZBDC=90°,ZCBD+ZDBA=90°,

:.NADF=NBDC,ZDAB=NCBD,

...在△A£＞尸和△8CC中，［N加F=NBDC,

IZDAB=ZCBD

△ADFS/XBOC,

.AD=AF

"BDBC'

NOAE+NZM8=90°,ZE+ZDAE=90°，

：.ZE=ZDAB,

:在△ADE和△8£>A中，1/皿*=4口人=90°,

IZE=ZDAB

，/\ADE^/\BDA,

.AE^AD

"ABBD'

.AE_AF[ipAE_AB

"ABBC,'AFBC"

'：AB=BC,

.AE=1

"AF

14.(2019•孝感)如图，点/是△ABC的内心，引的延长线与△ABC的外接圆。。交于点。，与AC交于

点E,延长C。、54相交于点凡NAD尸的平分线交4尸于点G.

(1)求证：DG//CA；

(2)求证：AD=ID；

(3)若。E=4,BE=5,求出的长.

【分析】(I)根据三角形内心的性质得N2=N7,再利用圆内接四边形的性质得乙4。尸=NA8C,则N1

=Z2,从而得到Nl=/3,则可判断OG〃AC；

(2)根据三角形内心的性质得N5=N6,然后证明N4=ND4/得到D4=O/；

(3)证明△D4ESZ\£>84,利用相似比得到A£>=6,则。/=6,然后计算8〃-0/即可.

【解析】(1)证明：•.•点/是aABC的内心，

；./2=N7,

平分乙4OF,

.,.ZI=AZADF,

2

NADF=NABC,

.\Z1=Z2,

VZ3=Z2,

AZ1=Z3,

：.DG//AC；

(2)证明：丁点/是△ABC的内心，

，N5=N6,

VZ4=Z7+Z5=Z3+Z6,

即N4=NDA/,

：.DA=DI；

(3)VZ3=Z7,ZAED=ZBAD,

：.4DAEs/\DBA,

：.AD：DB=DE：DA,即AD：9=4：4Q,

・"。=6,

・・・£)/=6,

:・B1=BD-DI=9-6=3.

15.(2019•滨州)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。分别与BC,AC交于点。，E,过点。

作。FL4C,垂足为点F.

(1)求证：直线。尸是。。的切线；

(2)求证：BC2=4CF*AC；

(3)若。。的半径为4,ZCDF=]5°,求阴影部分的面积.

【分析】（1）如图所示，连接0。，证明/。?尸+/。/）8=90°,即可求解;

（2）证明△CFOs^cttA,则cJnCfAC,UPBC2=^4CF-AC；

（3）S阴影部分=Sa®OAE-S&OAE即可求解.

【解析】（1）如图所示，连接0力，

'：AB=AC,：.ZABC^ZC,[fl]OB=OD,：.ZODB^ZABC^ZC,

'：DFLAC,.•./C£>F+/C=90°,：.NCDF+/ODB=90°,

：.ZODF=90°,

直线。F是。。的切线；

(2)连接AO,则4O1.BC,则A8=4C,

则DB=DC=^Q,

VZCDF+ZC=90°,ZC+ZDAC=90°,：.ZCDF=ZDCA,

而NZ)FC=NAOC=90°,AACFD^ACDA,

：.CD2^CF-AC,BPBC2^4CF-AC；

(3)连接OE,

,:NCDF=15°,ZC=75°,ZOAE=30°=NOEA,

AZAOE=120°,

S&OAE=-^AEXOEsinZOEA=^X2XOEXcosNOEAXOEsinZOEA=4近,

-

S阴影部分=5鬲形OAE-SAOAE=W?。—XITX4--45/3=兀4A/3-

3603

16.（2018•成都）如图，在RtZ\ABC中，NC=90°,A。平分NBAC交BC于点。，O为AB上一点，经

过点4,。的。。分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AO于点G.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)设A8=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AO的长;

(3)若BE=8,sinB=-5-,求。G的长，

【分析】(1)连接O。，由A。为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换

得到内错角相等，进而得到。。与AC平行，得到。。与8c垂直，即可得证；

(2)连接ZJF,由(1)得到2c为圆。的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD

与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出A。；

(3)连接EF,设圆的半径为r,由sin8的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周

角为直角，得到EF与BC平行，得至I]sin/AEF=sinB,进而求出OG的长即可.

【解析】(1)证明：如图，连接00，

'：AD为NBAC的角平分线，

：.ZBAD=ZCAD,

•：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.Z0DA=ZCAD,

：.OD//AC,

VZC=90°,

：.ZODC=90°,

ODLBC,

；.8C为圆。的切线；

(2)连接。F,由(1)知BC为圆。的切线，

：.4FDC=/DAF,

.".ZCDA^ZCFD,

：.NAFD=NADB,

,：ZBAD=ZDAF,

：./\ABD^/\ADF,

AAB=AD,即4小二川炉人尸二町,，

ADAF

则A£>=V^；

(3)连接£F,在RtZ\80。中，sin8=2R=^

OB13

设圆的半径为r,可得工=巨，

r+813

解得：r=5,

.,.AE=10,A8=18,

是直径，

AZAF£=ZC=90°,

：.EF//BC,

：./AEF=/B,

.•.sin/4EF="=W

AE13

/=AE・sin/AE尸=10义巨=皿

1313

'：AF//OD,

50

；.幽=空=旦=也，即£)Gh乌1。

DG0D51323

.•.A£>=5/AB・AF=

17.(2017•成都)如图，在aABC中，AB=AC,以AB为直径作圆。，分别交BC于点。，交CA的延长线

于点E,过点。作£>H_LAC于点H,连接。E交线段0A于点F.

(1)求证：。〃是圆。的切线；

(2)若A为E”的中点，求明的值;

FD

【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明：ZODB=ZOBD=ZACB,贝UDH是

圆。的切线；

(2)如图2,先证明NE=/8=/C,则，是EC的中点，设AE=x,EC=4x,贝UAC=3x,由。〃是

△A8C的中位线，得：OO=」AC一丝，证明列比例式可得结论；

22

(3)如图2,设。0的半径为r,即OD=OB=r,证明DF=OD=r,则DE=DF+EF=r+\,BD=CD

=DE—r+\,证明△BF£)S/\E/弘，列比例式为：旦2^2,则—L=•!士二，求出r的值即可.

FADFr-lr

【解析】证明：(1)连接0/),如图I,

,:OB=OD,

...△008是等腰三角形，

NOBD=NODB①,

在△ABC中，'：AB=AC,

：.NA2C-8②，

由①②得：NODB=NOBD=/ACB,

：.OD//AC,

\'DH±AC,

：.DH10D,

二。”是圆。的切线;

(2)如图2,在。。中，:NE=NB,

...由(1)可知：NE=NB=NC,

...△EQC是等腰三角形，

'：DH±AC,且点A是E”中点,

设AE=x,£C=4x,则AC=3x,

连接AD,则在00中，ZADB=90Q,ADA.BD,

"：AB=AC,

；.£)是BC的中点，

/.0Z)是△ABC的中位线，

：.0D//AC,0D=^AC=-—X3x=—,

222

,JOD//AC,

：.ZE=Z0DF,

在△人£尸和△0。尸中，

,:NE=NODF，N0FD=4AFE,

XAEFSMODF,

•.•EF,AE

FDOD

•.•-A-E__x—_—2，

OD23

2*

•.•-E-F--_-2-;

FD3

(3)如图2,设OO的半径为r，即。。=08=八

,:EF=EA,

：.ZEFA=ZEAFf

・：OD//EC,

:.NFOD=/EAF,

则ZF0D=ZEAF=ZEFA=NOFD,

：.DF=OD=r,

：.DE=DF+EF=n\f

：.BD=CD=DE=n\f

在0。中，: