广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考 数学试题（含解析）

2025届高三年级摸底联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.B.C.D.2.某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表：钢管口径11.012.514.016.518.520.521.022.0频数26741004046523824则这批钢管口径的中位数为（）A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm3.已知直线，直线，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知向量，若，则（）A.5B.3C.D.5.在平面直角坐标系中，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，则得到的新曲线的曲线方程为（）A.B.C.D.6.在中，内角的对边分别为，且，若点在边上，且平分，则（）A.B.C.D.7.在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（）A.B.C.D.8.当时，方程在上根的个数为（）A.0B.1C.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若在复平面内对应的点为，则（）A.的实部为1B.的虚部为C.D.直线的倾斜角为10.已知为坐标原点，点是抛物线的焦点，过点的直线交于两点，为上的动点（与均不重合），且点位于第一象限，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则（）A.B.C.的最小值为D.面积的最小值为211.已知函数的定义域为，则（）A.若，则是上的单调递增函数B.若，则是奇函数C.若，且，则D.若，则是奇函数或是偶函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则__________.13.函数，若的一个单调递增区间为，且，则__________.14.已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是__________；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为__________（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，已知内角所对的边分别为，且依次为等比数列的前3项，设其公比为，且.（1）若，求的前项和；（2）证明：当时，长度为的三条线段可以构成三角形.16.（本小题满分15分）已知函数.（1）当时，若存在极大值，且存在极小值，求的取值范围；（2）证明：当时，.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角.18.（本小题满分17分）已知双曲线的离心率为，焦距为.（1）求的标准方程；（2）若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围.19.（本小题满分17分）将4个面上分别写有数字的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（为正整数），设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率.（1）当时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差；（2）若正四面体有瑕疵，即.①设是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：②求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.2025届高三年级摸底联考数学参考答案及解析一､选择题1.A【解析】将中的元素依次代入验证，只有满足，所以.故选A.2.B【解析】因为为整数，所以样本数据的中位数为从小到大排列的第200个数据和第201个数据的平均数，因为前三组的频数之和为200，所以这批钢管口径的中位数为15.25.故选B.3.A【解析】因为或，所以是的充分不必要条件.故选A.4.C【解析】因为，所以，所以，，所以.故选C.5.D【解析】设为上任意一点，将点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩到原来的得到点，则，所以，因为，所以，所以新的曲线方程为.故选D.6.C【解析】因为，所以由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以，所以，因为0，所以，所以，由，得，所以.故选C.7.D【解析】设甲，乙，丙通关分别为事件，三人中恰有两人通关为事件，.故选D.8.B【解析】，设函数，现讨论方程根的个数，在时单调递增，故问题可转化为根的问题，令单调递增，故，当时，方程只有一根，所以方程在上根的个数为1.故选B.二､多选题9.AB【解析】设，因为，所以，即，所以A､B正确；，所以C错误；对应的点为，所以直线的倾斜角为，所以D错误.故选AB.10.ABD【解析】A选项，由题意知，故，所以，故A正确；B选项，由题意知轴，所以，所以，又，即，故B正确；C选项，由抛物线的性质知，，因此当三点共线时，取得最小值，此时，即，故C错误；D选项，设直线的方程为，与抛物线的方程联立得，故，，因此，又因为点到直线的距离为，所以的面积为，当时，的面积取最小值2，故D正确.故选ABD.11.BC【解析】A.若，则，但不是上的单调递增函数，所以A错误；B.若，当时，令，因为，所以，即；当时，令，因为，所以，即；当时，令，因为，所以，综上，，所以是奇函数，所以B正确；C.若，且，则，所以C正确；D.若，满足，但函数是非奇非偶函数，故D错误.故选BC.三､填空题12.【解析】，所以.故答案为.13.【解析】因为的一个单调递增区间为，所以周期，所以，因为，所以或，因为在上单调递增，所以，所以，所以.故答案为.14.【解析】圆台外接球的球心必在圆台的轴线上，因为在圆台外，设到下底面的距离为，则，所以，所以，所以圆台的外接球表面积为，因为在时单调递减，且，所以.故答案为.（第一空2分，第二空3分）四､解答题15.解：（1）因为，所以，因为分别为的三边，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.又，所以.（2）因为，所以，因为所以，所以长度为的三条线段可以构成三角形.16.解：（1）当时，，定义域为，所以，因为存在极大值，且存在极小值，所以必须有两个不同的零点，所以，所以或.（2）当时，，定义域为，所以，当时，，所以，当且仅当时，取等号，因为无解，所以.17.证明：（1）如图，取的中点为，连结，因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以，在三角形中，因为，所以，所以，所以，因为平面平面，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由平面得两两垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系，由已知得，，，因为，所以，又，所以为的中点，因为所以，又平面平面，所以，因为平面，所以平面，所以平面的法向量为，，设平面的一个法向量为，所以，则，令，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为，所以平面与平面的夹角为.18.解：（1）因为的离心率为，焦距为，所以，解得，.所以的标准方程为.（2）由题意可设直线的斜率存在，设为，直线的方程为的渐近线方程为，不妨设分别在左､右位置，联立得，联立得，所以，联立得，设，则，由即所以，所以，又，所以的取值范围为.19.解：（1）因为正四面体的质地是均匀的，为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率，所以，进一步得，，所以，，所以的数学期望和方差分别为和.（2）①因为是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，所以是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，当时，当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现