专题提优突破五　解析几何

专题提优突破五解析几何解析几何解答题考查的内容包括:圆锥曲线的方程、直线与圆锥曲线等相关知识,时常与三角、向量、函数与导数、不等式等知识相结合,求解弦长、面积等几何特征量的最值和定值,知识点以综合考查为主,不考单知识点,注意模型识别,提高计算的速度与准确率.考查的方法有:消元、换元、主元法,整体代换,等价替换,齐次变换,先猜后证,向量法,投影法,点差法等方法.还经常运用平面几何性质简化运算.考查的思想有:全面考查函数与方程、数形结合、分类讨论及转化与化归思想;突出考查运算能力,注重思维能力考查的同时,更通过强化计算能力来区分不同水平的学生;全国卷一般不给图形,需要自己画图,考查数学语言间的转换能力.解析几何解答题多为压轴题,难度较大,考查的难点在于繁杂的运算.解析几何解答题的解题模式为:设参→联立→消元→韦达定理→整体代入→求参(→用参).解题过程中,用到斜率时要注意斜率不存在或斜率为零情况的讨论,不要遗漏特殊情形,不全会可以求特例,结果也很重要.求值问题求值问题一般是在给定条件下求弦长、面积、斜率、点的坐标等几何量或参数问题.求曲线方程与求值问题一般都比较简单或中档难度,往往作为压轴之前的铺垫.典例1(2023·江苏南通校联考模拟预测)已知A,B是椭圆C:x24+(1)若A为线段DM的中点,求点A的坐标;(2)设△DMN,△DAB的面积分别为S1,S2,若S1S2求值问题及处理策略(1)求值主要有求长度、面积、角度、方程等类型;(2)方法是根据所给条件直接求解或列方程(组)求解,在解题过程中要注意几何性质的运用.训练1已知椭圆C:x225+y2(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.定点问题典例2设直线l不经过点P(0,1)且与椭圆C:x24+y2变式若例题中的其他条件不变,将“和为1”变为“积为1”,直线l过定点吗?训练2(2023·江苏泰州统考一模)已知双曲线C:x2a2y(1)求C的方程;(2)证明:以PQ为直径的圆经过定点.定值问题典例3已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程.(2)直线l:y=12x+t与椭圆C相交于M,N两点,已知点P(求解圆锥曲线中的定点、定值问题就是在“变”中寻求“不变”性,主要有两大策略:(1)直接法:引入变量(设点或设直线等)法推理论证,选择适当的变量,构造要求值的函数(或方程),通过化简为定值(恒成立求出定值).(2)间接法:先找后证,即从特殊(或极端)入手→求出定值→证明这个值与变量无关.训练3(2023·江苏南通统考模拟预测)已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三个点在椭圆x22+y2=1上,椭圆外一点P满足OP=2AO,BP=2(1)求x1x2+2y1y2的值;(2)证明:直线AC与OB斜率之积为定值.最值与范围问题圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的热点和难点,主要涉及两个类型:一是以圆锥曲线的定义与几何性质为背景的求最值问题;二是以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与范围问题.典例4已知平面内一动点P(x,y)(x≥0)到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求AD·EB的最小值.求解圆锥曲线中最值与范围问题的两种方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:(1)代数法:把所求量表示成某个变量的函数,转化为求函数的值域或最值问题;常转化为多项式函数、分式函数、三角函数等函数,然后利用函数的单调性、基本不等式、三角函数的有界性以及导数等方法求最值或范围.一般会用到韦达定理整体代入、设而不求等思想方法.(2)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;根据所求量的几何意义,运用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值.训练4已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的方程;(2)过点M(2,0)的直线l(斜率不为零)与椭圆C交于不同的两点E,F(E在点F,M之间),记λ=S△证明、探索性问题圆锥曲线中的证明问题,是高考的热点内容之一,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,若成立,则存在,否则不存在;若探究结论,则应先写出结论,再证明,往往涉及对参数的讨论.典例5(2023·江苏无锡校联考模拟预测)已知曲线E:x26+(1)求实数m的取值范围.(2)已知点P的坐标为(2,1),试问:△APB的内心是否恒在一条定直线上?若是,请求出该直线方程;若不是,请说明理由.证明与探索性问题的处理策略证明问题是恒成立问题,一般处理策略为:根据所给条件,运用代数方法或相关的几何性质,通过恒等变形或推理论证,得到确定的位置关系.探索性问题一般是存在性问题,处理策略为:(1)假设存在→推理论证→得出结论在处理圆锥曲线中的探究问题时,通常先假定所求的要素(点、线、图形或是参数)存在,并用代数形式进行表示.再结合题目条件进行分析,若能求出相应的要素,则假设成立;否则即判定不存在.(2)特殊化→找结论→再验证特殊化可以是特殊值、特殊点