第17讲重难点拓展基本不等式（三大题型归纳分层练）（原卷版）

第17讲重难点拓展：基本不等式【人教A版2019必修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01巧用“1”的代换求最值问题 1题型02分离消元法求最值 3题型03利用基本不等式证明不等式 5分层练习 7夯实基础 7能力提升 10创新拓展 18题型01巧用“1”的代换求最值问题【解题策略】常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．【典例分析】【例1】若x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．【变式演练】【变式1】（2324高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（

）A．6 B．16 C．20 D．18【变式2】已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值．【变式3】（2324高一上·甘肃·期末）已知.若，求的最小值.题型02分离消元法求最值【解题策略】对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．【典例分析】【例2】已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值．【变式演练】【变式1】已知x>0，y>0，xy＝x＋y＋3，求xy的最小值．【变式2】（2324高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为．【变式3】已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________．题型03利用基本不等式证明不等式【解题策略】利用基本不等式证明不等式的策略从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．【典例分析】【例3】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.【变式演练】【变式1】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.【变式2】已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.【变式3】已知a，b都是正数，求证：eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).【夯实基础】一．选择题（共1小题）1．（2023秋•城关区校级期中）已知，，且，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．8三．填空题（共3小题）2．（2024春•黄浦区校级期末）若正数，满足，则的最小值为．3．（2023秋•斗门区校级月考）已知，，若，则的最小值为．4.设正数，满足，的最小值为．5．（2023秋•深圳期末）已知，，若，则的最小值为．四．解答题（共2小题）6．（2023秋•汉寿县校级期中）（1）已知，为正数，且满足，求的最小值；（2）已知，求的最大值．7．（2022春•会宁县校级期中）已知，，求证：．【能力提升】一．多选题（共4小题）1．（2023秋•岳阳期末）已知实数，满足且，则下列说法正确的是A． B． C． D．的最小值为92．（2023秋•汕尾期末）已知，为正数，且，则A． B． C． D．3．（2023秋•开福区校级期末）若，，，则下列说法正确的有A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是4．（2023秋•河池月考）下列说法正确的有A．若，则的最大值是 B．若，，都是正数，且，则的最小值是3 C．若，，，则的最小值是2 D．若，则的最小值是4二．填空题（共2小题）5．（2023秋•建邺区期末）若，，均为正数，且，则的最小值是．6．（2023秋•浦东新区校级期中）已知正数，满足，则取到最小值时，．三．解答题（共4小题）7．（2023秋•莲池区校级期中）解答下列问题：（1）设正数，满足，求的最小值；（2）已知，，比较与的大小．8．（2023秋•重庆期中）（1）已知，求的最小值；（2）若、，且满足条件，求的最小值．9．（2023秋•长治期末）已知，，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．10．（2023秋•西安期末）若，，且．（1）求的取值范围；（2）求的最小值，以及此时对应的的值．【创新拓展】一．多选题（共1小题）1．（2023秋•浑南区校级月考）下列说法正确的是A．若，则的最小值为 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若，，则的最小值为二．填空题（共1小题）2．（2023秋•盐城期末）已知正实数，满足，则的最小值为．三．解答题（共6小题）3．（2023秋•镇江月考）已知，为正实数．（1）若，求的最小值；（2）若，，试判断与的大小关系并证明．4．（2023秋•江北区校级月考）（1）已知，，求的取值范围；（2）若实数，，满足．试判断与的大小并说明理由．5．（2023秋•石河子校级月考）（1）已知，，，比较与的大小；（2）已知，，，求的取值范围；6．（2324高一上·贵州黔西·阶段练习）已知，，且.(1)求ab的最小值；(2