6.5.2平面与平面垂直的判定（教学设计）高一数学（北师大版2019）

北师大版必修第二册第六章《立体几何初步》6.5.2平面与平面垂直的判定（教学设计）【教学目标】1.掌握平面与平面垂直的判定定理；（数学抽象、直观想象）2.能利用平面与平面垂直的判定定理解决问题（逻辑推理）【教学重点】平面与平面垂直的判定定理及其应用【教学难点】平面与平面垂直的判定定理的理解及其应用【教学过程】一、实例分析，提出问题（1）为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？（2）如果你是一名质检员，你会怎样去判断一面墙与地面是否垂直呢？（3）建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直.系有铅锤的线是垂直于地面的，如果系有铅锤的线紧贴墙面，就说明墙面垂直于地面.这种判断方法的理论依据是什么？这3个问题都可以转化为两个平面垂直的问题，今天我们就来讨论如何判断两个平面垂直。猜想：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.证明：已知：如图，AB⊂α，AB⊥β.求证：α⊥β.假设α∩β=a，∵a⊂β，AB⊥β，∴AB⊥a.在平面β内过点B作直线BC⊥a，则∠ABC是二面角αaβ的平面角.而AB⊥BC，故αaβ是直二面角，∴α⊥β.由此，我们就得到了：二、抽象概括，得出概念平面与平面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言：l⊂α，l⊥β⇒α⊥β图形语言：【概念辨析】1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.（1）若a∥α，a⊥β，则α⊥β；(√)（2）若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β；(√)（3）经过已知平面的垂线，有且只有一个平面与已知平面垂直. (×)（1）正确，理由如下：∵a∥α，∴α内必存在一条直线b∥a.又a⊥β，∴b⊥β.又b⊂α，∴α⊥β.（2）正确，理由如下：∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b⊂α.又b⊥β，∴结合（1）中结论可得α⊥β.（3）错误.理由如下：不妨设平面α的垂线为a，显然，过直线a的平面有无数个.根据面面垂直的判定定理，过直线a的平面都与平面α垂直，故命题错误.三、典例剖析，理解概念课本P246例8课本P246例9【方法点拨】证明面面垂直的常用方法1.定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角.2.判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直.3.性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.

【当堂训练】如下图，矩形ABCD所在平面与半圆弧eq\o(CD,\s\up8(︵))所在平面垂直，M是eq\o(CD,\s\up8(︵))上异于C，D的点.求证：平面AMD⊥平面BMC.证明由已知有平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.又在矩形ABCD中，BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面CMD.∵DM⊂平面CMD，∴BC⊥DM.∵M为eq\o(CD,\s\up8(︵))上异于C，D的点，且DC为直径，∴DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，∴DM⊥平面BMC.∵DM⊂平面AMD，∴平面AMD⊥平面BMC.四、迁移应用，掌握概念1.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AE/AC＝AF/AD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，∴AC＝AB2＋BC由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE•AC，∴AE＝67，∴λ，平面BEF⊥平面五、当堂检测，巩固达标1.如右图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点.求证：平面BDC1⊥平面BDC.证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.∵AC＝eq\f(1,2)AA1，D为AA1的中点，∴AC＝AD.又AD⊥AC，∴△ADC是等腰直角三角形.∴∠ADC＝45°.同理可得∠A1DC1＝45°.∴∠CD