新课标人教A版数学必修2导学案

高一数学必修2导学案答案

【答案01】棱柱、棱锥、棱台的结构特征

问题1：若干个平面多变性能够围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多

面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点

问题2：一个平面图形绕它旋转所在的平面内的•条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转

体。这条定直线叫做旋转体的轴。

问题3：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,

由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面

叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与地面的公共顶点叫做棱柱的顶

点。四棱柱表示为棱柱AC',按边分三、四、五棱柱。按侧棱分直棱柱、斜棱柱、正棱柱。

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做

棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面

的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。四棱锥表示为棱锥S-ABCD

按边分三、四、五棱锥，按底面多边形分正棱锥，一般棱锥。

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

四棱台表示为棱台ABCD-A'B'C'D'按边分三、四、五棱台，按底面多边形分正棱台，一般

棱台。

问题4：四棱柱（底面变成平行四边形）一平行六面体（侧棱与底面垂直）一直平行六面体（底

面为矩形）一长方体（底面为正方形）一正四棱柱（侧棱与底面边长相等）一正方形。

问题5：

⑴不一定是，例：

（2）不是，如五棱柱等

例1：是

例2：3个

达标检测：LA2.A3.A4.A5.C6.D7.

【答案02］圆柱、锥、台、球、组合体的结构特征

问题1：它们都是旋转体

问题2：以矩形的•边所在直线为旋转轴，其余三边形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转

轴叫做圆柱的轴，垂直与轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的

曲面叫做圆柱的侧面，不垂直与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。表示圆柱00'。

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做

圆锥。表示为圆锥S0。

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。表示为00'。

问题3：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。半圆的

圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。表示为球0。

问题4：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体；一种是由简单几何体拼接而成；一

种是由简单几何体截去或挖去一部分而形成。

例1解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成平面图形（矩形），连接AB'

则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离

AB'=2\l+7r2

例2：8cmBB'

达标训练：

1.A2.D3.C4.C5.C6.D7.8倍

【答案03］空间几何体的三视图

问题1：由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫

做投影。光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面。

问题2：光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影；在一束平行光线照射下形成的投影叫做

平行投影。

问题3：光线从几何体的前面向后面的正投影等到的投影图叫做儿何体的正视图；光线从几何

体的左面向右面的正投影等到的投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面的

正投影等到的投影图叫做几何体的俯视图。

例1：见教材12页

长对正，高平齐，宽相等。

例2：见教材13页

达标训练：

1.D2.C

【答案04］空间几何体的直观图

例1：见教材16页

例2：见教材17页

例3：见教材18页

/Z2

达标训练：1.A2.理一

16

【答案05］空间几何体结构周测试

1.D2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.D9.B10.All.V7412.4113.B14.②

④

15.解：设长方体的长、宽、高分别为：a、b、c.

由已知得：2帅+2bc+2ac=11,4。+4b+4c=24

IJq-+/?、+，-J(a+b+c)--(2ab+2bc+2ac)5

16.(1)解：设所求圆柱的底面半径为r,则

2,

：.S=2rx%=——x+4x

3

(2)当x=3时，Smm=6

【答案06］空间几何体的表面积和体积

问题1：棱柱的侧面展开图是由多个长方形组成的平面图形.棱锥的侧面展开图是由多个三

角形组成的平面图形.棱台的侧面展开图是由多个梯形组成的平面图形.所以棱柱、棱锥、

棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面

积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。

例1:分析：我们知道四面体的展开图是由四个全等的正三角形所组成的；那么我们就解:

先求AABC的面积，易求SAABC='孑，四面体S-ABC的表面积S=4x4二=6a2

圆柱的侧面展开图是矩形S衣=2"+2m/=2"(r+/)

问题2：圆锥的侧面展开图是扇形+m7=+/)

圆台的侧面展开图是扇环S&=7r(r,2+r2+r,l+rl)

例2：解：由圆台的表面积公式得花盆外壁的表面积

5=^x[(—)2+—xl5+—xl5]-^-x(—)2«1OOO(CW2)=O.1(/?72)

2222

柱体体积：Y=Sh

问题3：椎体体积：V=！S〃

3

台体体积：丫=；(5+网+5，)人

例3：解：六角螺帽的体积是六棱住体积与圆柱体积的差，即

V=^xl22x6xl0-3.14x(y)2X10«2,956((.7H3)

螺帽的个数为5.8x1000(7.8x2.956)«252

达标训练：1.D2.D3.D4.D5.A6.16〃7.28

【答案07]球的体积和表面积

知识链接:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

半圆的半径在球体中分别叫做球的半径.设球的半径为R,截面圆半径为r,球心与截面圆圆心

的距离为d,则R、r、d三者之间的关系「二/”二^

问题1:答案见教材32页

4R0

问题2:V=-TTR3,S=4〃R2

3

例1：见教材27页

445125

例2：V=—冗炉=一〃•(一)3=---7rcmy

3326

变式1:解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是

796•弓y-g万马=]42

2x之4.5

达标测试：

1--4CBBD5.86.326兀7.50%8,1：272：3739.73:91:3

10.1211.2500万

【答案08］空间几何体习题课

例1.(DC⑵D例2.A例3.D4.C例5.B例6.B

达标测试：1---6CADBA

9.—^―10.2^T(V3+1)

【答案09］平面

问题1.生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面,黑板面，海面都给我们以平面的印象，儿何

里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，儿何里的平面是无限延展的。

问题2.水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°,且横边画成邻边的2倍长

(如图)

A

问题3.平面的表示平面通常用希腊字母a、8、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用

表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面

ABCD等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时.，应画成虚线或不画

Aea

问题4.AeaB^a

例1、XXXXV

问题5.不一定一定

问题6.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

问题7.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面a,

使AGa、Bea、CGa0

问题8.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共

直线。

符号表示为：PGanB=>anP=L,且PdL

达标：

①三点确定个平曲⑨蛤根据公理2③不一定

（l）AwaB更a

（2）/£am生a

⑶ac/?=/

Pea

ar\f3=1

Pel

(5)mua

Qcl

Icm=P

Q电a

【答案10]空间直线与直线的位置关系1

问题1.共同特征是：既不相交，也不共面，即不在同一个平面内。

思考.通过观察思考后发现：直线AB'与直线CC'既不平行也不相交，还不共面。即不在同

一平面内。

问题2.我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。

问题3:「it面百线.「相交：同一平面内，有且只有一个公共点

1八一,I平行：同一平面内，没有公共点

I异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

问题4.1.2.3.5.是异面直线

问题5.1和5对

例1.AD、DC、CC|、DDrD]C|、B©

问题6.AB与GHAB与CDEF与GH

问题7.有平行

例2.（考虑到学生第一次接触空间四边形，先结自制模

型简单介绍什么叫空间四边形，再分析如何证明）

分析：如何判定一个四边形是平行四边形？

怎样证明EH〃FG?证明关键是什么？

证明：如图，连结BD.

：E、H分别是AB、AD的中点

EH是△ABD的中位线EH=LBD

2

...EH〃BD,

同理，FG〃BD,FG=-BD

2

EH#FG,且EH=FG

...四边形EFGH是平行四边形。

变式练习：菱形梯形

达标：1.相交或异面2（1）平行⑵异面4.D5.C

【答案11]空间直线与直线的位置关系2

知识链接1：我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。

2.平行,相交,异面

3.平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a〃b=>a〃c

b//cJ

NADC+/AiBiCi=180°

问题1.从图中可看出,ZADC=ZA1D1C1

问题2.那么这两个角相等或互补

问题3.在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两

直线的错开程度，如图.

在空间，如图所示，正方体ABCD—EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画

异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。作直线a'//a,

b'〃b则把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（或夹角）.

异面直线所成的角的范围（0°,90°]

问题4.这个角的大小与0点的位置无关.

例:L解（1）与直线84成异面直线有AD、CD、8£、CQ、G。、»D

（2）•.•耳8〃GCNA/f是异面直线34和G。所成的角易求得所成的角为45

例2.90°、90°、90°、45°、60°例3.60°

达标:1.⑴⑶⑹对(2)(4)⑸错2.A3.D4.45°

【答案12］直线与平面、平面与平面的位置关系

问题1.问题2.结论.直线与平面的位置关系有且只有三种：

(1)直线在平面内一一有无数个公共点；)

(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点：

(3)直线与平面平行一一没有公共点；

问题3.4.见教材49页

问题5.6见教材50页

例1B例2.D

达标1—6ADCCBC

【答案13］直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定

实例探究：平行

问题1.(1)a与b共面于分(因为a〃b)(2)不可能相交

判断对错：XXX

例1.证明：连接BD

因为AE=EB,AF=FD,

所以EF〃BD

EF.平面BCD,BDU平面BCD

由直线与平面平行的判定定理得

EF〃平面BCD

练习1.证明：设4G中点为匕连结NF,FCI”

：N为A4中点，NF〃G4又：BC〃G4，M是BC的中点，\/出耳

；.MC〃Gg，NFCM为平行四边形二MN〃平面A4G。/’/

问题3.不一定平行A区」

判断对错：XXV

例2.证明：因为ABCD-A£G2为正方体，

所以48=4片，。©〃4耳。£=4月，

又ABHA\B］,=所以AG〃A3,

AG=A8,所以2GA4为平行四边形。

所以GBu平面QB。，D\AHC\B。又O/(X平面G^O,C/u平面

由直线与平面的判定定理得■A〃平面G8D,同理。由〃平面，又

所以平面A8QJ/平面C/O。

练习2:证明：连结BM、BN、BG并延长交AC、AD,CD分别于卡、F、H»

VM,N、G分别为△ABC、AABD,ABCD的重心,

连结PF、FH、PH有MN〃PF,又PFu平面ACD,；.MN〃平面ACD。

同理：MG〃平面ACD,MGCIMN=M,

平面MNG〃平面ACD

(2)分析：因为aMNG所在的平面与aACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积

之比，实则求这两个三角形的对应边之比。

2]1

.,.MG=-PH,又PH=—AD,；.MG=—AD

323

同理：NG=-AC,MN=-CD,

二AMNGSAACD,其相似比为1：3,

达标1.C

2.平行或相交3.平行4.平行.证明略

【答案14］直线与平面、平面与平面平行的性质

A问题1：1)平行或异面2)过这条直线做一个平面与原平面相交，交线即是。

A问题2:异面或平行

A问题3：由于直线a与平面a内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平

面a相交，则直线a就平行于这条交线

B自主探究1：已知：a〃a,aUB,an3=b0求证：a〃b。_

证明：由2〃(1,知la与a无公共点，又因为a与b在同一平面B内，

贝Ua〃b/b,

例1：(1)过p画一条直线与B'C平行，即可

⑵1〃B/C,B，C〃面AC,则［平行于面AC

例2：如图：已知a〃b,且@〃明过a做B与a交于c,则2〃(:，又有a〃b,则6〃的由

直线与平面平行的判定定理知b〃a

自主探究2:由a〃6,any=a,3Ay=b知a,b无公共点，又a,b在同一平面Y内，

贝a〃b

例3:略

达标检测：

1：略2:B3;C4:C5:C6:平行或在内7：平行或相交

【答案15］直线与平面垂直的判定

例1：解：在和AA8。中，A

*/AB=8m,BC=BD=6m,AC=AD=1m

AB2+BC2=62+S2=102=AC2

AB2+BD2=62+82=IO2=AD2

：.ZABC=ZABD=90°

即ABYBC,ABLBD

又•••B,C,O不共线

AB!_平面BCD,即旗杆和地面垂直;

例2：已知a//b,aA.a,则b-La吗？

已知：a//b,a±a.求证；bla

证明：设m是a内的任意一条直线

a.La

mua

muan£>_La

例3：1)45°,2)30°

达标检测：

1)D；2)D3)解：连结BD交AC于0,

VE,F是正方形ABCD边AD,AB的中点,AC±BD,

AEFIAC.

GCl^EABCD

力=卜nEFlGC.

EFc平面ABCD

VACnGC=C,

；.EFJ_平面GMC.

【答案16］平面与平面垂直的判定

例1：取BD中点0,连OA,0C,则/AOC为二面角A-BD-C的平面角。

由勾股定理知AO=OC=1,再由余弦定理（或勾股定理）知NA0C=90°

判断对错：XXJ

例2：证明：设在。。所在平面为a,由已知条件，

PAla,BC在a中，所以P4_L8C.

因为C是圆周上不同于A,8的任意一点，

AB是O。的直径，所以ZBC4是直角，即6C_LAC.

又因为PA与AC是^PAC所在平面内的两条相交直线，

所以，平面PAC,

又因为BC在平面PBC内，

所以，平面PAC_L平面尸8c.

例3：证明:⑴；PA_L平面ABC,APA1BC,又NABC=90°,即BCJ_AB,，BCJ_平面PAB,

平面PAB_L平面PBC。

⑵由⑴知BC_L平面PAB,；.BCJ_AE,又，AEJ_PB,...AE_L平面PBC,...平面AEFJ_平面PBC。

⑶由⑵知AE_L平面PBC,AAE1PC,又AF_LPC,...PC_L平面AEF,上平面AEF_L平面PAC。

达标检测：

1)D2)D3)D4)A

【答案17】直线与面垂直的性质

问题2：证明:假定b不平行于a,设acb=O,b'是经过点。的两直线a平行的直线.

a//b',ala,:.b'1a即经过同一点。的两直线b,b'都与a垂直,这是不可能的，因此b

〃a.

达标检测：

1)2)略3)C4)D5)A6)B

【答案18］平面与面垂直的性质

探究1：在B内作直线BELCD,垂足为B,则/ABE是二面角a-CD-0的二面角，由a_L0

知，AB±BE,又AB_LCD,BE与CD是。内的两条相交直线，所以AB_LB。

探究2：2)D

问题3:如右图，设aC0=c,过点P在平面a内作直

线b，c,根据平面平面垂直的性质定理有b_L0。

因为过一点有且只有一条直线与平面B垂直，所以直

线a与直线b重合，因此，有aua。

例1：解：在a内作垂直于a与B交线的直线b,

因为a_L0,所以b_LB，

因为a_LB，所以a〃b,

又因为a<za,所以a〃a,

即直线a与平面a平行。

探究3：垂直

达标检测：

1)略2)B

3)解:在AABD中,3AB=AD,取BD的中点E,

连结AE,则AE为BD的中线；.AE_LBD

又：面BCDn面ABD=BD,面ABD±面BCD

；.AE_L面BCD

【答案19】《空间线面、面面关系》习题课1

例1：1.B.2.C.3.B

题型二：

B例2如图6-79,AABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F,

G分别是EB和AB的中点。

求证：FG_L平面ABC；FD〃平面ABC。

证明:连CG

由于F,G分别是EB和AB的中点，则FG//EA.

图6一79

又EA垂直于平面ABC,则FG_L平面ABC.

由于DC垂直于平面ABC,则DC//FG

而DC=FG=a.

所以四边形FGCD为平行四边形.

所以FD//GC

又GCuABC,FDuABC,

所以FD〃平面ABC

B例3如图，PA1矩形厢在管J平面的中点.

(1)求证：MN〃平面PA。；(2)求证：MNLCD；

⑴证明:过点N作NF//CD交PD于F,连AF

根据题意可知NF=AM,NF〃AM

则四边形AMNF为平行四边形.

所以AF//NM

又AFuPAD,NMctPAD

则MN〃平面PAO

(2)由于PA，矩形胭足的平面，所以PA,A8

又由于AO，4B,AOcPA=A

所以A8，PAOJ^AB〃CD

则CD1PAD，又AFuPAO,则CD±AF

又AF〃NM,则MNLCO.

题型三：一面直线角、线面角、二面角的问题

例4D

例5A

例6：四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，/SBA=45。，/SBC=6O。，M为AB的中点，求

(1)BC与平面SAB所成的角。

(2)SC与平面ABC所成角的正切值。

答⑴60°;(2)—

6

【达标检测】

2/on

1.A;2C.3;D,4.D;5.B6.V,7.12;8.60°;9,d或2d.10.

(1)45°(2)60°

11.P为AABC所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D为PC的中点,

证明：直线PC与平面ABD垂直

证明：由于AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，

则AOJ.PC,8。J.PC，又ADcBD=D

则直线PC与平面ABD垂直

12.如图，PA_L平面ABC,AE1PB,AB1BC,AFJ_PC,PA=AB=BC=2(1)求证：平面AEFJ_平面

PBC；

(2)求二面角P—BC—A的大小：

由于曲则_ABC,PA1BC

XBC&LAB,BC±PAB,

而解uPAB,BC1AE,

H⑴VT证Hr明l：

又岫iPB,AE±PBC

又解uAEF

则面循FLPBC

⑵45°

【答案20］空间线面、面面关系习题课2

例1：(1)D(2)B

例2:证明：

(1)连接EF,BD因为ABCD-A|B|GD是正方体

.-.BB1//DDI,BBI=DD1

则四边形BDD|B1为平行四边形，所以BD〃B|D|

又因为E,F为AB,AD的中点

EF//BDEF//B,D,

EF<ZCB[D],E[D]uCB,D1

EF//CB.D,

⑵因为ABCD-ABGD是正方体

AAt±AiDt,AAl±A,B,

AAtJ_A|B|C]D],EJD,uA]B|C|D|

AAt，BQ

又因为A|4G2是正方形

AiC]±B|D|,A4|cA|C|=At

BD1AA.C.C,叩|uCBD

AA]C|C_LCB|D|

例3：解：过B点作BE平行且等于AC,连接CE,ED

BE平行且等于AC

二.四边形ABEC为平行四边形

/EBD为异面直线AC与BD所成的角或其补角

CE=AB=CD=10,

•.•BD=8,BE=6

■(1)证明：连结A|C|交B|D|于点E,连接AE

ABCD-A|B|GD|是正方体

AAj/ZCC.JlAAj=CC(

,四边形AA|GC为平行四边形

二C/AC且AC=AC

ABCD为正方形，。为AC中点

同理：E为A|G

AO//EC,HAO=EC]

二四边形AOCF为平行四边形

/.AE//C,O,又•CQ(X面AB|D1,AEu面AB1D1

，CQ〃面AB|D|

(2)•••ABCD-A|B|C|D]是正方体

A±面A]B]C]D[,；B]D1u面A[B]C[D]

AA,1B,D,,vA|B£D|是正方形

A|C|,LB|D|\Ajf")A©=A,

BQi_L面人人©°,•••A.Cu面AA£1C

RR1A,C

同理：AD,IA^A^PIB.D,=D,

A,C_L面AB]D]

(3)连结AB1交A》与点F,连接BF,CF,BC，AC

；.F为AB1的中点，设正方体棱长为2

AB=BB1=2,AC=B.C=272

BFJ.AB|,CFJ.AB1

.•.NCFB为二面角B-ABrC的平面角

XCBJ.面ABB|A|

.•.NCBF为90。，CB=2,BF=V^

tanZCFB=V2

达标训练：「6：CADBBC

7.平行菱形8.60°

9.①③④*②或②③④今①

10证明：连接AC交BD与点O,连接MO

•.•四边形ABCD为平行四边形

.•.O为AC中点，M为PC中点

MO//AF,AFU面MBD,MOu面MBD

AF〃面MBD

(2)平行

连接AJ交Ag与点O

O为A£的中点，D为BC中点

DO〃A|B,A|B(Z面ADC1，DOu面ADC)

A]B〃面ADC1

12I-J_La

,乙.L^BEF-A

【答案21】直线的倾斜角与斜率

问题3

定义：当直线1与x轴相交时.，我们取x轴作为基准，”轴正向与直线1向上方向之间所成

的角。叫做直线1的倾斜角.[0。，180。）

规定当直线/与x轴平行或重合时，

它的倾斜角为0°.当直线L与x轴垂直时，.倾斜角为90°

问题4

升高量

坡度（比）=

一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.攵=tana=—~—

x-X]

问题52

1-22

例1：解：直线的斜率=-----

AB-4-37

-1-11

直线BC的斜率kBC==—上

BC42

直线。的斜率=1

040-3

由&B＞0及J＞。知，直线46与勿的倾斜角均为锐角；由&c＜。知，直线8c的

倾斜角为钝角.

例2解：取直线上某一点为4的坐标是（X1，M）,根据斜率公式有：玉=%

设芯=1,则％=1,于是％的坐标是（1,1）.过原点及4（1,1）的直线即为4

4是过原点及A2（X2，%）的直线，4是过原点及43（%3，力）的直线，乙过原点及4（X4，%）

的直线.

达标训练：1,D2,A3,B4,B5,除=G&=_走6,(-2,1)

33

【答案22】直线的倾斜角与斜率习题课

3

题型一(1U=-

⑵女=一(

(3)不存在

题型二(D)

变式：

•当。£(0,兀),P=7v-a,

当a=0,2=0

题型三

TTSoTT

(l)ae[0,-)u[-^)

24

TTTT

(2)ae[0,-]u(-,^)

42

八7t2乃

(3)ae[0,-]u(—

题型四丁十7

a=2或a=—

2

题型五解：设D点坐标为（x,y）

砥8=3,"co=-^7，心B-kcD=T

x-3

x+3y=3

得

2x+y=1

。。1）

题型六人4一1或人23

变式Awl

达标训练：5

l.C2.D3.B4.B5.五6.2

“8625、“1829、

7.A(—,—),A(—,—)

131355

【答案23】直线的点斜式方程

问题1、

学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（光,丁）满足的

关系式。

问题2、学生根据斜率公式，可以得到，当XW/时，k=匕&，即y一九=女鱼一%）

x-x0

（1）

问题3、学生验证，教师引导。然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以

叫做直线的点斜式方程,简称点斜式（pointslopeform）.

问题4、学生分组互相讨论，然后说明理由。

问题5、（1）无轴所在直线的方程是什么？＞轴所在直线的方程是什么？

（2）经过点1（％,）且平行于X轴（即垂直于y轴）的直线方程是什么？

（3）经过点匕（％0，,））且平行于y轴（即垂直于为轴）的直线方程是什

么？

教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。

A例1.直线/过点P（-3,2）,且倾斜角为物5,求直线的点斜式方程，并画出直线I

学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）-

个定点；（2）有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。

教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那

些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。

问题7、引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特

殊情形。学生独立求出直线/的方程：y=kx+b（2）

再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解

斜截式方程概念的内涵。

问题8、深入理解和掌握斜截式方程的特点

问题9、使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。

问题10、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。

B例2.直线楠训•燧X同口）：的例e是/隹么？//2

（2的条俳是什么？

掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中女力的

几何意义。

教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考（1）/J//2时，

有何关系？（2）时，尤，《；仇，么有何关系？在此由学生得出结论:

Z]II12=匕=忆2,且々：&；/1_1_，2=k[k，2=-1

达标测试厂

L⑴y+3i)⑵一年+在

(3y-3=0(4)y+2=-6(X+4)

2-(l)l,45°(2)73,60°

3.⑴y=^-x-2(2)y=-2x+4

4.(1)Z,//Z2(2)/1±/2

5.2x-5y=0或y-2=-(x-5)

9

6.〉一石=_2(》一粉

【答案24】直线的两点式方程

3y—y

问题1：(1)y_2=_(x—1)(2)y~~-----(%―九])

22一%]

问题2：当天=当时，直线与X轴垂直，所以直线方程为：％=再；当x=%时，直线与

y轴垂直，直线方程为：y=H

XV

例1一+土=1例25x+3y-6=0,x+13y+5=0

ab

达标检测：

।⑴受r言，⑵言二言八、xyi小、工

2(l)-+^-=l,(2)—+y1

23—5o

x

3，⑴/八工x+；y=1i，(2)£+；y=1i或-e£+=y=1,

-JJJJJ/

4舌+己=1或会上1

5.x+y=1或2x+3y=0

【答案25】直线的一般式方程

问题1任何一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x,y

的二元一次方程都表示一条直线。

问题2：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都

不能表示与％轴垂直的直线。

问题3(1)A=0且B关0且CX0(2)B=0且A/0且C*0

(3)A=0且BW0且C=0(4)B=0且AW0且C=0

4

例ly+4=——(x-6),4x+3y-12=0

例2y=；x+3;女==-6;b=3

检测：

].(l)y+2=-g(x—8),化成一般式x+2y-4=0

⑵》-2=0

(3)x+y-1=0

(4)2x-y-3=0

5177

2.(1)-3,5：(2)—5；(3),0；(4)—,—

4263

A

3(1)当B¥0时，直线1的斜率是——；当B=0时、直线1的斜率不存在。

B

(2)当C=0进，A,B不全是零时，方程Ax+By+C=0表示通过原点的直线。

习题3。2

l.(l)V3x-3y-6-873=0

(2)x+2=0

(3)4x+y—7=0

(4)2x+y-6=0

⑸>-2=0

(6)3x-4y-12=0

10(1)4x+y-14=0

(2)7x-2y-20=0

(3)x-2y-3=0

【答案26】两条直线的交点坐标

知识链接：

1.点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式；

2.相交和平行，相交，平行和异面

学习过程：

问题1：如果两条直线Aix+B1y+品=0,和A2x+Bzy+C2=0相交，由于交点同时在两条直线

上，交点坐标一定是它们的方程组成的方事组Aix+Biy+Q=0

[_A2x+B2y+C2=O的解；

反之，如果方程组/Aix+Biy+Ci=0

Y

A?x+B2y+C2=0

只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线Aix+Biy+q=O和A2x+B2y+C2=O的交点

例1解：解方程组：

3x+4y)—2=0,解左力得/口:x=-2

2x+y+2=0

所以两条直线的交点是M(—2,2)。

x—2y+2=0x=2

例2解：解方程组得

2x-y-2=0y=2

••.11与匕的交点是(2,2)设经过原点的直线方程为y=kx

把(2,2)代入方程，得k=l,所求方程为y=x

例3证明：联立方程[“+2)'-1=°得,=1即乂(1,一1)

2x-3y-5=0[y=-1

代入：x+2y—1+A.(2x—3y—5)=0得0+X0=0

；.M点在直线上

问题2(1)XB2-(2)XBi得(AIB2—A2BI)X=BIC2-B2CI

讨论：1.当AIB2—A2BWO时，方程组有唯一解

2.当A1B2—A2B=0,BIC2-B2CI^0时，方程组无解

3.当AIB2-A2B=O,B1C2-B2c产0时,方程组有无穷多解。

例4

解(1)相交交点坐标(d);(2)平行，无交点(3)同一条直线，无穷多解

达标检测

1习题3。3

1(1)直线八与相交,交点坐标为(23)

(2)两条直线平行

(3)两方程表示同一条直线

4

2(1)A=3,CW—2；(2)A#3；(3)A=——

3

13

3(1)mw—7,且mw—1;(2)加=一7;(3)加=一不

2x+y-l=0

2x7一7=0得x=3

3解法一：解方程组《

x+2y-l=0…

•••这两条直线的交点坐标为(3,-1)又•••直线x+2y-5=0的斜率是一地

二所求直线的斜率是3,所求直线方程为y+l=3(x-3)即3x-y-10=0

解法二：所求直线在直线系2x-y-7+A(x+2y-l)=0中

经整理，可得(2+A.)x+(28-1)y-X-7=0

2+2

=3解得入=1/7因此，所求直线方程为3x—y—10=0

22-1

【答案27］点到直线的距离

学习过程：

C

A问题1X。—(---)

c

问题2J，。—(---)

B

问题3

4+」

|2x(-l)+lx2-10|

例1解：①根据点到直线的距离公式，得d=2石

722+12

②直线3x=2平行于y轴,_5

d----(―1)

3~3

37

J=2-(--)

③直线2y+3=O平行于x轴,22

问题4夹在两条平行直线间公垂线段的长。

问题5可转化为点到直线的距离。

例2解：将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率：

22

li的斜率ki=—，12的斜率k2=—，

77

因为％=1<2，所以li//12

先求与轴的交点A的坐标，容易知道点A的坐标为(4,0)

16x4-21x0-112323/—

点A至IJ直线/2的距高为：d=一/一I==—V53

762+2123底159

所以，A与4间的距离为巨屈。

159

问题6任意两条平行直线都可以写成如下形式

/i:4x+8y+G=0

%:Ax+By+C?R(G*。2)PR_G|

则两平行线/1与/2间的距离为：T团一方二？

例3解:设AB边上的高为h,则SA双=|A期

=7(3-1)2+(1-3)2=2后,A8边上的高力就是。到"的距离。

y-3

A8边所在直线的方程为x-1

1-33-1

达标训练

।24,5V13

526

3解：在直线2x-7y—6=0上任取点P(x。，y。),则2x°—7y。-6=0,点P(x。，y。)到直线2x

d=网-7%+冈=|6+8|=14回

-7y+8=0的距离是也+H)2后53

4.3x±4y=0

5.x+y-3=0或3x+y-5=0

6.A点关于x=0的对称点为(-3,-1),A点关于y=x的对称点为(-1,3)都在BC上

BC的方程为x-2y+l=0所以B(0,0.5)C(1,1)

【答案28】直线的交点坐标与距离公式习题课

例1解：BC的中点D(1,3)AD=2A/2

例2解：分两种当与AB平行时，x+3y-5=O当过AB中点时，x=-l

例3解：4x+y-ll=0

例4解：交点(-1,2)方程为5x+3y—1=0

达标训练A(-1,5)

31、-3I

ID,2B,3D,4A,5(z一，)或(,一)，

5555

6解：由题得：网=优3_(_1)『+(2-5)2=5.

•••SaABc=g|AM%=10,.../?=4(//为点C到直线A8的距离).

3

设点C坐标为(％,%)，A5的方程为了一2=-1。-3),即3x+4y—17=0.

3%-%+3=°

由|3-7|，

-4

I5

解得卜=-1或＜%=屋

1%=2［尤=8

...C点坐标为(一1。)或弓,8).

7解：由题，若截距为0,则设所求/的直线方程为y=履.

-12±3内

=3-\/2,k

2

若截距不为0,则设所求直线方程为x+y-a=0.

-----，=3'72,a=l或a=13,

V2

-12+3V14

二所求直线为y=*2*x，彳+^-1=0或苫+丁-13=0.

7?

8解：当过尸点的直线垂直于x轴时，。点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为5,

当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在，

设过P点的直线为y=Z(x—2),即G—y—2k=0.

46

-2k-------2k-

3J3

由4:-------——=4,解得女二».

VF7T3

7T

...直线倾斜角为

6

7T

综上，该直线的倾斜面角为