2024年全国硕士研究生考试《数学三》真题及答案

2024年全国硕士研究生考试《数学三》真题及答案[单选题]1.设函数，则f（x）()。A.在x＝1，x＝－1处都连续B.在x＝1处连续，x＝－1处不连续C.在x＝1，x＝－1处都不连续D.在x＝1处不连续，x＝－1处连续正确答案：D参考解析：根据题意，可得：由于，，所以在x＝1处不连续。由于，，所以在x＝－1处连续。故选择D项。[单选题]2.设，k为整数，则I的值()。A.只与a有关B.只与k有关C.与a、k均有关D.与a、k均无关正确答案：B参考解析：由于kπ是｜sinx｜的周期，所以。因此，该积分值只与k有关。故选择B项。[单选题]3.设f（x，y）是连续函数，则()。A.B.C.D.正确答案：A参考解析：积分区域为D：，sinx≤y≤1，故交换积分次序可得：故选择A项。[单选题]4.设幂级函数的和函数为ln（2＋x），则()。A.B.C.D.正确答案：A参考解析：方法一：所以，。当n＞0，。所以，。故选择A项。方法二：S（0）＝C＝ln（2＋0）＝ln2所以，。所以，。故选择A项。[单选题]5.设二次型在正交变换下可化成，则二次型f的矩阵A的行列式与迹分别为()。A.－6，－2B.6，－2C.－6，2D.6，2正确答案：C参考解析：由题意可知，A的特征值为1，－2，3。因此，可得，，故选择C项。[单选题]6.设A为3阶矩阵，，若，则A＝()。A.B.C.D.正确答案：C参考解析：由，则可得：故选择C项。[单选题]7.设矩阵，Mij表示A的i行j列元素的余子式。若，且－M21＋M22－M23＝0，则()。A.a＝0或B.a＝0或C.b＝1或D.b＝－1或正确答案：B参考解析：由－M21＋M22－M23＝0，可得A21＋A22＋A23＝0。则，于是b＝a＋1。，可得a＝0或。故选择B项。[单选题]8.设随机变量X的概率密度为，则X的三阶中心距E（X－EX）3＝()。A.B.0C.D.正确答案：B参考解析：根据题意，可得：故选择B项。[单选题]9.随机变量X、Y相互独立，其中X～N（0，2），Y～N（－1，1），记p1＝P{2X＞Y}，p2＝P{X－2Y＞1}，则()。A.B.C.D.正确答案：B参考解析：Y－2X～（－1，32），所以。，所以。因为Φ（x）单增，所以。故选择B项。[单选题]10.设随机变量X，Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z＝｜X－Y｜，则下列随机变量与Z同分布的是()。A.X＋YB.C.2XD.X正确答案：D参考解析：令Z＝｜X－Y｜，则FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{｜X－Y｜≤z}。当z＜0时，FZ（z）＝0。当z≥0时，所以，。显然Z＝｜X－Y｜与X同分布。故选择D项。[问答题]1.设平面有界区域D位于第一象限，由曲线，xy＝3与直线，y＝3x围成，计算。正确答案：详见解析参考解析：积分区域的图像关于y＝x对称，由轮换对称性可得：因此，有：[问答题]2.设函数z＝z（x，y）由方程z＋ex－yln（1＋z2）＝0确定，求。正确答案：详见解析参考解析：将（x，y）＝（0，0）代入原方程，可得z（0，0）＝－1。原方程对x求偏导可得：，从而。继续对x求偏导可得：，从而。原方程对y求偏导可得：，从而。继续对y求偏导可得：，从而。综上，。[问答题]3.设t＞0，平面有界区域D由曲线y＝xe－2x与直线x＝t，x＝2t及x轴围成，D的面积为S（t），求S（t）的最大值。正确答案：详见解析参考解析：根据题意，可得：则S′（t）＝－te－2t（1－4e－2t），令S′（t）＝0，可得t＝ln2。因为t∈（ln2－δ，ln2）有S′（t）＞0，t∈（ln2，ln2＋δ）有S′（t）＜0。所以t＝ln2为S（t）的极大值点即最大值点。故最大值为：。[问答题]4.设函数f（x）具有2阶导数，且f′（0）＝f′（1），｜f″（x）｜≤1，证明：（1）当x∈（0，1）时，；（2）。正确答案：详见解析参考解析：（1）证明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。令。因为F（0）＝0，F（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（｜f″（x）｜≤1）所以F（x）为凹函数，因此F（x）≥0。所以。令。因为F（0）＝0，F（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）－1≤0。（｜f″（x）｜≤1）所以F（x）为凸函数，因此F（x）≥0。所以。综上，。（2）由（1）中由第（1）中综上，。[问答题]5.设矩阵，，向量，。（1）证明：方程组的解均为方程组的解；（2）若方程组与方程组不同解，求a的值。正确答案：详见解析参考解析：（1）证明：由于故，故与同解，故的解均为的解。（2）由于的解均为的解，若与同解，则与题意矛盾，故的解是解的真子集，故基础解系中解向量的个数小于基础解系中解向量的个数，则3－r（A）＜3－r（B），故r（A）＞r（B），又由故r（A）＝3，故r（B）＜3，则，得a＝1。[问答题]6.设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，其中θ∈（0，＋∞）为未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，记X（n）＝max{X1，X2，…，Xn}，Tc＝cX（n）。（1）求c，使得E（Tc）＝θ；（2）记h（c）＝E（Tc－θ）2，求c使得h（c）最小。正确答案：详见解析参考解析：（1）X的概率密度为，X的分布函数为。X（n）的分布函数为：FX（n）（x）＝P{max{X1，X2，…，Xn}≤x}＝P{X1≤x，X2≤x，…，Xn≤x}＝P{X1≤x}·P{X2≤x}……P{Xn≤x}＝Fn（x）X（n）的概率密度为。，令，得。（2）令h′（c）＝0，得。，所以当时，h（c）最小。[填空题]1.当x→0时，与xk是同阶无穷小，则k＝()。正确答案：3参考解析：令，则。则。所以，。因此，k＝3。[填空题]2.()。正确答案：参考解析：令所以，可得，解得：。所以，。因此，[填空题]3.函数f（x，y）＝2x3－9x2－6y4＋12x＋24y的极值点是()。正确答案：（1，1）参考解析：由，可得驻点（1，1）和（2，1）。，，。①对于驻点（1，1）：A＝－6，B＝0，C＝－72，由AC－B2＞0且A＜0可知，驻点（1，1）是f（x，y）的极小值点。②对于驻点（2，1）：A＝6，B＝0，C＝－72，由AC－B2＜0可知，驻点（2，1）不是f（x，y）的极值点。[填空题]4.某产品的价格函数为（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C＝150＋5Q＋0.25Q2（万元），则经营该产品可获得的最大利润为()（万元）。正确答案：50参考解析：根据题意，可得：L（20）＝50，所以最大利润为50万元。[填空题]5.设A为三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵，若r（2E－A）＝1，r（E＋A）＝2，则｜A*｜＝()。正确答案：16参考解析：由r（2E－A）＝1，故λ＝2至少为二重特征根，由r（E＋A）＝2，故λ＝－1至少为一重特征