全国数学试题分类解析汇编（11月第四期）N单元 选修4系列

N单元选修4系列目录N单元选修4系列 1N1选修4-1几何证明选讲 1N2选修4-2矩阵 1N3选修4-4参数与参数方程 1N4选修4-5不等式选讲 1N5选修4-7优选法与试验设计 1N1选修4-1几何证明选讲【数学理卷·届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（11）】15．如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,,若与圆相切,则线段的长为．【知识点】与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．N1【答案】【解析】解析：∵，∴可设AF=4k，BF=2k，BE=k＞0．由相交弦定理可得：，∴，解得．

∴．∴,根据切割线定理可得：，解得．故答案为。【思路点拨】利用相交弦定理和切割线定理即可得出．【数学文卷·届河北省衡水中学高三上学期期中考试（11）】22、选修4-1：几何证明选讲如图过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B、C两点，且AB=AC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，求AF的长；求证：AD=3ED【知识点】切割线定理；三角形相似的判定与性质.N1【答案】【解析】（1）AF=3；（2）证明：见解析.解析：（1）延长BE交圆E于点M，连接CM，则∠BCM=90°，又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以BC=，根据切割线定理得:，所以AF=3--------5分(2)过E作EH⊥BC与H，则△EDH∽△ADF,从而有,又由题意知BH=所以EH=1，因此，即AD=3ED--------10分【思路点拨】（1）根据切割线定理知，只需求出线段BC的长，为此延长BE交圆E于点M，连接CM，在Rt△BCM中求得BC=，从而得AF=3；（2）取BC中点H连接EH，由△EDH∽△ADF可证得结论.【数学文卷·届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（11）】15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，，则【知识点】与圆有关的比例线段．N1【答案】【解析】4解析：∵AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，∴OB⊥BC．在Rt△OBC中，．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∵∠A=∠ADO，∴∠BOC=∠DOC．又∵OB=OD，OC为公共边．∴△BOC≌△DOC．∴CD=CB=4．【思路点拨】利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB．即可得出．N2选修4-2矩阵N3选修4-4参数与参数方程【数学理卷·届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（11）】14．在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．N3【答案】【解析】解析：由得，，代入得，解得或（舍），

所以曲线与的公共点到极点的距离为，

故答案为：．【思路点拨】联立与消掉即可求得，即为答案．【数学文卷·届湖南省长郡中学届高三月考试卷（三）word版】12.在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为______.【知识点】极坐标的意义.N3【答案】【解析】解析：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，因为圆心（0,0）到直线的距离d=2,半径r=4,所以截得的弦长为.【思路点拨】先把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用直角坐标方程求弦长.【数学文卷·届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（11）】14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、，则【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3【答案】【解析】7解析：∵∠AOB=，∴，∴AB=7．故答案为：7．【思路点拨】利用余弦定理即可得出．N4选修4-5不等式选讲【数学理卷·届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（11）】20．（本小题满分13分）等比数列{an}的前n项和为Sn.已知]任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记(n∈N*)．证明：对任意的n∈N*，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)成立．【知识点】数学归纳法．N4【答案】【解析】（1）-1；（2）见解析解析：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，eq\f(a2,a1)＝b，即eq\f(bb－1,b＋r)＝b，解得r＝－1.…………5分(2)证明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2n＋1,2n)＞eq\r(n＋1).①当n＝1时，左式＝eq\f(3,2)，右式＝eq\r(2)，左式＞右式，所以结论成立．②假设n＝k时结论成立，即eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)＞eq\r(k＋1)，…………8分则当n＝k＋1时，eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＞eq\r(k＋1)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＝eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))eq\r(k＋2)，即证eq\f(2k＋3,2)eq\r(k＋1k＋2)，由均值不等式eq\f(2k＋3,2)＝eq\f(k＋1＋k＋2,2)eq\r(k＋1k＋2)成立，故eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))eq\r(k＋2)成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)成立．…………12分【思路点拨】（1）由已知中因为对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．根据数列中an与Sn的关系，我们易得到一个关于r的方程，再由数列{an}为等比数列，即可得到r的值．（2）将b=2代入，我们可以得到数列{an}的通项公式，再由bn=2（log2an+1）（n∈n），我们可给数列{bn}的通项公式，进而可将不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)进行简化，然后利用数学归纳法对其进行证明．【数学文卷·届河北省衡水中学高三上学期期中考试（11）】23、选修4-5：不等式选讲设函数（1）求函数的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围。【知识点】分段函数最小值求法；不等式恒成立求此时范围.N4【答案】【解析】(1)；（2）.解析：（1）