全国名校高考数学试题分类汇编（12月 第一期）B12 导数的应用（含解析）

B12导数的应用【数学理卷·届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（11）】22.（本题满分12分）已知函数在处的切线与直线垂直，函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）1（2）b＞3（3）-2ln2（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，

∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．

（2）∵g（x）=lnx+x2-（b-1）x，∴g′（x）=，x＞0，

由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1-b＜0有解，

∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b-1有解，只需要x+的最小值小于b-1，

∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．

（3）∵g（x）=lnx+x2-（b-1）x，

∴g′（x）==0，∴x1+x2=b-1，x1x2=1

∴g（x1）-g（x2）=ln-（-）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt-（t-），0＜t＜1，

则h′（t）=-＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，

又∵b≥，∴（b-1）2≥，

∵0＜t＜1，∴4t2-17t+4≥0，∴0＜t<，h（t）≥h（）=-2ln2，

故所求的最小值为-2ln2．【思路点拨】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．

（2）），由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解即x++1-b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．

（3）g（x1）-g（x2）=ln-（-），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）-g（x2）的最大值．【数学理卷·届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（11）】12.函数，在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为.有以下命题：①是奇函数；②若内递减，则的最大值为4；③的最大值为M，最小值为m，则；④若对恒成立，则的最大值为2.其中正确命题的个数为（）1个 B.2个 C.3个 D.4个【知识点】导数的应用B12【答案解析】B函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；

又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，

则有，解得a=0，b=-4．所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．

①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[-，]内递减，则|t-s|的最大值为，因此②错误；且f（x）的极大值为f（-）=，极小值为f（）=-，两端点处f（-2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=-，则M+m=0，因此③正确．故选B．【思路点拨】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．第Ⅱ卷（90分）【数学理卷·届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（11）】20.（本题满分13分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设,讨论的单调性;(Ⅲ)已知且,证明:【知识点】导数的几何意义；导数的应用；不等式的证明.B11B12E7【答案】【解析】（Ⅰ）1；(Ⅱ)在区间和都是单调递增的，此函数无减区间；(Ⅲ)证明：见解析.解析：（Ⅰ）所以……1分由题意,得……3分(Ⅱ)，所以……4分设当时，，是增函数，，所以，故在上为增函数；……………5分当时，，是减函数，，所以，故在上为增函数；所以在区间和都是单调递增的。……………8分(Ⅲ)因为，由（Ⅱ）知成立，即，………9分从而，即………12分所以。………13分【思路点拨】（Ⅰ）、由导数的几何意义得，解得m值；(Ⅱ)、定义域上导函数大于零的x范围是增区间，导函数小于零的x范围是减区间；(Ⅲ)、由(Ⅱ)知在上单调递增，而，所以，即.【典例剖析】综合法是证明不等式的常用方法，但寻找推证不等式的基础不等式比较困难.本题第(Ⅲ)问的证明，采用了第(Ⅱ)问的结论：函数在上单调递增，从而得，由此变形、拆项，再用对数函数的性质证得结论,总的来说这是一个较典型的考题.【数学理卷·届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（11）】15、对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P.（1）下列函数中具有性质P的有①②③，（2）若函数具有性质P，则实数的取值范围是.【知识点】函数中的新概念问题；导数法求最值.B1B12【答案】【解析】(1)①②；（2），或.解析：（1）①由x=1得：，所以①具有性质P.②设，∵h(0)=-1<0,,∴在上有解，所以②具有性质P.③由，所以③不具有性质P；（2）若函数具有性质P，则在上有解，令，可得h(x)在有最小值，所以或.【思路点拨】（1）只需分析方程xf(x)=1在函数f(x)的定义域上是否有解即可；（2）转化为方程在上有解，即在函数的值域上取值，用导数求函数的值域即可.【数学理卷·届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（11）】10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则().A.B.-1C.2D.1【知识点】指数函数的定点性；向量数量积的坐标运算；导数的应用.B6F2F3B12【答案】【解析】D解析：根据题意得B(0，1),设，则，即函数有最小值0.因为，所以当a时f(x)无最小值；当a>0时，有时f(x)=0,即，显然a=1是此方程的解，故选D.【思路点拨】易得B（0,1），设出点P坐标，利用向量数量积德坐标运算，转化为函数最值问题，再利用导数求函数取得最值得条件.【数学理卷·届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（11）】21.（本小题满分13分）已知函数，其中为常数.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在两个极值点,求证：无论实数取什么值都有,【知识点】利用导数求函数的单调区间。B12【答案】【解析】(1)当时在区间上单调递增当时在上单调递减，在上单调递增，(2)见解析。解析：（1）函数的定义域为,记，判别式=1\*GB3①当即时，恒成立，所以在区间上单调递增=2\*GB3②当时，方程有两个不同的实数根记显然（=1\*romani）若，图象的对称轴，两根在区间可知当时函数单调递增，，所以所以在区间上单调递增（=2\*romanii）若,则图象的对称轴，，所以，当时，，所以，所以在上单调递减当时，，所以，所以在上单调递增综上，当时在区间上单调递增当时在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且；，，又，记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以。【思路点拨】（1）先求出定义域，再结合判别式对方程的进行讨论，进而判断出单调区间；（2）对函数求导后得到根再结合单调性证明即可。【数学理卷·届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（11）】2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是() A. B. C. D.【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．B12B4【答案】【解析】D解析：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值．故选D.【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．【数学理卷·届河南省实验中学高三上学期期中考试（11）】21.(本小题满分12分）设函数 （1）求函数的极值点;（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围;（3）证明：【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）极大值点.(2)(3)略（1）∵，∴的定义域为，当时，，在上无极值点.当，令、随的变化情况如下表：x+0-[来源。科。Z。X递增极大值递减从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一极大值点.(2)由（1）可知，当p>0时，f(x)在处却极大值，此极大值也是最大值。要使f(x)0恒成立，只需0.解得p,故p的取值范围为。(3)令p=1,由（2）可知，lnx-x+10，即lnxx-1.()==.【思路点拨】根据导数的单调性求出极值，再根据求和证明结果。【数学理卷·届河南省实验中学高三上学期期中考试（11）】11.设p:在内单调递增,q:,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】导数的应用B12【答案解析】B由题意得f′（x）=ex++4x+m，

∵f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，ex++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有ex++4x＞5∴m≥-ex--4x不能得出m≥-5

但当m≥-5时，必有ex++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立

∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故选B．【思路点拨】首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出m的范围．【数学理卷·届河北省衡水中学高三上学期期中考试（11）】21、（本小题满分12分）已知函数，在处的切线与直线垂直，函数（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值。【知识点】导数与函数.B11,B12【答案】【解析】(1)a=1（2）{b|b＞3}（3）﹣2ln2解析：解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．【思路点拨】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．（2）），由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．（3）g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最大值．【数学理卷·届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（11）】21．（本小题满分14分）已知函数（1）当时，求的最小值；（2）在区间内任取两个实数,若不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：（其中）.【知识点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案】【解析】(1)；(2)（3）见解析解析：（1）得上递减，上递增。.…………………4分（2），表示点与点连成的斜率，又，，即函数图象在区间任意两点连线的斜率大于1，即内恒成立……….6分所以，当恒成立.设若当上单调递减；当上单调递增……8分又故……………9分（3）由（2）得，，∴，∴，∴，==1﹣，∴+++…+＜．【思路点拨】（1）把a=0代入函数解析式，然后直接利用导数求最小值；（2）把化为，表示点与点连成的斜率，，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立．然后利用分离变量法结合导数得答案；（3）由（2）得，，即得到，然后利用错位相减法求数列的和，放缩后得答案．【数学理卷·届安徽省“江淮十校”高三11月联考（11）WORD版】21.(本小题满分13分)已知函数，其中.若在上恒成立，求实数的取值范围；【知识点】函数导数的应用B12【答案】【解析】解析：即设则7分当时,函数单调递减;当时,函数单调递增;最小值实数的取值范围是;10分【思路点拨】因为即分离处参数，令求导数,确定的单调性，利用单调性进行求解.【数学文卷·届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（11）】22.（本题满分12分）已知函数（均为正常数），设函数在处有极值.（1）若对任意的，不等式总成立，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）（2）∵，∴，由题意，得，解得.

（1）不等式等价于对于一切恒成立.

记，则∵，∴，∴，∴，从而在上是减函数.∴，于是.

（2），由，得，即.

∵函数在区间上单调递增，∴，则有，即，∴时，【思路点拨】根据函数的单调性求出最值求出b的范围，求出单调区间求出m的范围。【数学文卷·届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（11）】12.函数，在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为.有以下命题：①是奇函数；②若内递减，则的最大值为4；③的最大值为M，最小值为m，则；④若对恒成立，则的最大值为2.其中正确命题的个数为（）1个 B.2个 C.3个 D.4个【知识点】导数的应用B12【答案解析】B函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；

又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，

则有，解得a=0，b=-4．所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．

①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[-，]内递减，则|t-s|的最大值为，因此②错误；且f（x）的极大值为f（-）=，极小值为f（）=-，两端点处f（-2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=-，则M+m=0，因此③正确．故选B．【思路点拨】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．第Ⅱ卷（90分）【数学文卷·届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（11）】21.（本小题满分13分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在上的最大值是，求的值；（3）记，当时，求证：对任意，总有【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．B12【答案】【解析】(1)当时，的增区间是；当时，的增区间是，减区间是．(2)；（3）见解析。解析：（1）的定义域是．．当时，，故在上是增函数；当时，令，则，（舍去）当时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数．故当时，的增区间是；当时，的增区间是，减区间是．(4分)（2）①当时，在上是增函数，故在上的最大值为，显然不合题意；②若，即时，，则在上是增函数，故在上最大值为，不合题意，舍去；③若，即时，在上是增函数，在上为减函数，故在上的最大值是，解得：，符合．综合①、②、③得：．（8分）（3），则，当时，，故当时，在上为减函数．不妨设，则，故等价于，即．记，下面证明当时，由得：，从而在上为减函数，故当时，，即有：，故当时，对任意，总有（13分）【思路点拨】（1）求出函数的导函数，对a≥0和a＜0进行分类，当a≥0时，导函数恒大于0，当a＜0时，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号，判断出原函数的单调性；（2）根据（1）中求出的单调区间，判断出函数在（0，1]上的单调性，进一步求出函数在（0，1]上的最大值，由最大值等于﹣2求解a的值，符合条件保留，否则舍去；（3）把函数f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1，求出函数g（x）的导函数后，由a≤﹣2可知其导函数小于0，得到函数g（x）为定义域上的减函数，不妨规定x1和x2的大小，把要证的不等式取绝对值移向变形，使问题转化成证明一个函数的单调性问题，最后利用函数的导函数证明函数单调性．【数学文卷·届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（11）】20.（本小题满分13分）某企业年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1＋eq\f(1,2n))万元(n为正整数)．(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．B12【答案】【解析】(1)An＝490n－10n2，Bn＝500n－eq\f(500,2n)－100.(2)至少经过4年进行技术改造后累计纯利润将超过不改造的累计纯利润．解析：(1)依题意知，数列{An}是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以An＝480n＋eq\f(nn－1,2)×(－20)＝490n－10n2，Bn＝500(1＋eq\f(1,2))＋500(1＋eq\f(1,22))＋…＋500(1＋eq\f(1,2n))－600＝500n＋500(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n))－600＝500n＋500×eq\f(\f(1,2)[1－\f(1,2)n],1－\f(1,2))－600＝500n－eq\f(500,2n)－100.(2)依题意得，Bn>An，即500n－eq\f(500,2n)－100>490n－10n2，可化简得eq\f(50,2n)<n2＋n－10，所以可设f(n)＝eq\f(50,2n)，g(n)＝n2＋n－10.又因为n∈N，f(n)是减函数，g(n)是增函数．又f(3)＝eq\f(50,8)>g(3)＝2，f(4)＝eq\f(50,16)<g(4)＝10，则n≥4时不等式成立，即至少经过4年进行技术改造后累计纯利润将超过不改造的累计纯利润．【思路点拨】（1）根据每年比上一年纯利润减少20万元，可得An的表达式；根据年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（年为第1年）的利润为500（1+）万元，可得Bn的表达式；（2）作差，利用函数的单调性，即可得到结论．【数学文卷·届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（11）】19.（本小题满分13分）已知函数．(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；【知识点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件．B11B12【答案】【解析】(Ⅰ)当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．(Ⅱ)。解析：(Ⅰ)，当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点． 6分(Ⅱ)∵函数在处取得极值，∴，∴，令，可得在上递减，在上递增，∴，即． 13分【思路点拨】(Ⅰ)由f（x）=ax﹣1﹣lnx可求得f′（x）=，对a分a≤0与a＞0讨论f′（x）的符号，从而确定f（x）在其定义域（0，+∞）单调性与极值，可得答案；(Ⅱ)函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值．【数学文卷·届河南省实验中学高三上学期期中考试（11）】21．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．【知识点】导数的应用B12【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）∵，∴且．又∵，∴．∴在点处的切线方程为：，即．（Ⅱ）（i）当，即时，由在上是增函数，在上是减函数，∴当时，取得最大值，即．又当时，，当时，，当时，，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，又因为，所以．（ii）当，即时，在上是增函数，∴在上的最大值为，∴原问题等价于，解得，又∵∴无解综上，的取值范围是．【思路点拨】根据导数的几何意义求出切线方程，利用单调性求出最值求出a的范围。请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【数学文卷·届河南省实验中学高三上学期期中考试（11）】11．函数在定义域上的导函数是，若，且当时，，设、、，则()A．B．C．D．【知识点】导数的应用B12【答案解析】C∵x∈（-∞，1）时，∴（x-1）f'（x）＜0，∴f'（x）＞0，

∴f（x）在（-∞，1）上为增函数，又∵f（x）=f（2-x），∴f（x）图象关于x=1对称，

∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，

又∵a=f（0）=f（2），b=f（），c=f（log28）=f（3），

∴3＞2＞，∴c＜a＜b．故选：C．【思路点拨】先由x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，得函数f（x）在（-∞，1）上为增函数；又f（x）=f（2-x）得f（x）图象关于x=1对称，则f（x）在（1，+∞）上为减函数，然后将f（0），f（），f（log28）化到同一单调区间内比较即可．【数学文卷·届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（11）】21.（本小题满分14分）已知函数，若在上的最小值记为。（1）求；（2）证明：当时，恒有【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用。B12【答案】【解析】（1）；（2）见解析解析：（1）因为，所以（ⅰ）当时，若，则，故在上是减函数；若，则，故在上是增函数；所以………2分（ⅱ）当时，有，则，故在（-1，1）上是减函数，所以……………4分综上，……………6分（2）证明：设h（x）=f（x）﹣g（a），①当0＜a＜1时，g（a）=a3，若x∈[a，1]，h（x）=x3+3x﹣3a﹣a3，h′（x）=3x2+3，∴h（x）在[a，1]上是增函数，所以在设的最大值是，且，所以,故若，得，则在上是减函数，所以在设的最大值是……8分令,则知在上是增函数，所以，，即故………10分②a≥1时，g（a）=﹣2+3a，∴h（x）=x3﹣3x+2，∴h′（x）=3x2﹣3，∴h（x）在[﹣1，1]上是减函数，∴h（x）在[﹣1，1]上的最大值是h（﹣1）=4，∴f（x）≤g（a）+4；综上，当x∈[﹣1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+4．【思路点拨】（1）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求g（a）；（2）设h（x）=f（x）﹣g（a），分类讨论，求最值，可以证明x∈[﹣1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+4．【数学文卷·届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（11）】20.（本小题满分13分）（1）求的单调区间；（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案】【解析】（1）f(x)的增区间为减区间为（2）解析：(1)……………2分当时，增区间为，…………4分当时，则f(x)的增区间为减区间为……6分，设……7分若在上不单调，则，………9分同时仅在处取得最大值，所以只要即可得出:,……11分则的范围：.……………13分【思路点拨】（1）可求得，对参数分与讨论，即可得到f′（x）的符号，从而可求得f（x）的单调区间；（2）可求得，设，利用在上不单调，可得，从而可求得，再利用条件仅在处取得最大值，可求得，两者联立即可求得的范围．【数学文卷·届江西省师大附中高三上学期期中考试（11）】22．（本小题12分）已知函数，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若的最小值为0，回答下列问题：（ⅰ）求实数的值；（ⅱ）设，（）是函数图象上的两点，且曲线在点处的切线与直线平行，求证：．【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】（Ⅰ）时，的单调递增区间是；时，的单调递减区间是，单调递增区间是（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）略解析：（Ⅰ）函数的定义域为，且．当时，，所以在区间单调递增；当时，由，解得；由，解得．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．综上述：时，的单调递增区间是；时，的单调递减区间是，单调递增区间是（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当时，无最小值，不合题意；当时，令，则，由，解得；由，解得．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．故，即当且仅当时，=0．因此，．（ⅱ）因为，所以直线AB的斜率．依题意，可得，即．令，于是==．由（ⅰ）知，当时，，于是，即成立．分==．由（ⅰ）知，当时，，即，于是，即成立．综上，成立．【思路点拨】利用导数求函数的单调区间，注意在函数的定义域内解不等式与，与导数相关的证明不等式问题，通常利用函数的单调性进行证明.【数学文卷·届江西省师大附中高三上学期期中考试（11）】12．若，则下列各结论中正确的是（）A． B．C． D．【知识点】不等式的性质基本不等式，导数的应用E1E6B12【答案】【解析】D解析：因为b＞a＞3,所以,又，当x∈(e,＋∞)时，，所以该函数在区间(e,＋∞)上单调递减，则有，所以选D.【思路点拨】利用导数先判断函数的单调性，利用不等式的性质及基本不等式判断自变量的大小关系，再利用函数的单调性比较大小.【数学文卷·届江西省师大附中高三上学期期中考试（11）】7．函数在(0,1)内有极小值，则()A．B．C．D．【知识点】函数的极值B12【答案】【解析】A解析：因为，若函数在(0,1)内有极小值，则，即，解得0＜b＜1，所以选A.【思路点拨】函数的极小值点即为导数等于0的点，且在左侧导数小于0，右侧导数大于0.【数学文卷·届安徽省“江淮十校”高三11月联考（11）WORD版】9．已知函数，其中，为参数，且．若函数的极小值小于，则参数的取值范围是（）[A.B.C.D.【知识点】导数的应用三角函数的图像与性质B12C3【答案】【解析】D解析：由题意可得，因为，所以，可得函数在和上为增函数，在为减函数，所以在处取得极小值，即，解得，又因为，所以，故选择D.【思路点拨】由题意可得函数在处取得极小值，代入可得不等式，即可得到结果.【数学文卷·届安徽省“江淮十校”高三11月联考（11）WORD版】9．已知函数，其中，为参数，且．若函数的极小值小于，则参数的取值范围是（）[A.B.