人教版数学九年级上册 第24章 圆 尖子生训练试题

人教版九年级（上）《圆》

一.选择题（共5小题）

1.已知。。的半径为2,A为圆内一定点，AO=l.P为圆上一动点，以AP为边作等腰△

APG,AP=PG,ZAPG=120°,OG的最大值为（）

A.1+73B.1+25/3C.2+V3D.25/3-1

2.如图，00中，弦48J_C£>,垂足为E,尸为血的中点，连接4F、BF、AC,AF交CD

于用，过尸作F”_LAC,垂足为G,以下结论：①静=命；@HC=BF：③MF=FC：

@DF+AH=BF+AF,其中成立的个数是（）

C

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，直线>=1+1与x轴、），轴分别相交于A、B两点,P是该直线上的任一点，过

2

点。（3,0）向以尸为圆心，工48为半径的。尸作两条切线，切点分别为E、F,则四

B.V5C.275

A.D.

4.如图，AB,BC是。。的弦，NB=60°,点。在N8内，点。为ACh的动点，点”，

N,P分别是AQ,DC,CB的中点.若。0的半径为2,则PN+MN的长度的最大值是（）

1+2正C.2+273D.2+V3

5.如图，A8是。。的直径，AB=\O,P是半径0A上的一动点，PCLAB交0。于点C,

在半径0B上取点。，使得OQ=CP,OQ_LAB交。。于点。，点C,。位于AB两侧,

连接CD交A8于点F,点P从点A出发沿A。向终点0运动，在整个运动过程中，△

CFP与△OF。的面积和的变化情况是（)

A.一直减小B.一直不变

C.先变大后变小D.先变小后变大

填空题（共9小题）

6.如图，等边△ABC中，AB=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD,

取CQ的中点E,连接BE,则线段BE的最大值与最小值之和为.

7.如图，AB是半圆。的直径，点C在半径0A上，过点C做CCAB交半圆。于点O.以

CD,CA为边分别向左、下作正方形CDEF,CAGH.过点B作GH的垂线与GH的延长

线交于点/,M为的中点.记正方形CDEF,CAGH,四边形BC4/的面积分别为Si,

S2,S3.

Si

（1）若ACBC=2：3,则_L的值为；

S2

（2）若。，O,M在同条直线上，则二s一+s的值为

S3

8.如图，直线），=-x+机（相＞0）与x轴、y轴分别交于点A,B,C是AB的中点，点。

在直线y=-2上，以CC为直径的圆与直线A8的另一交点为E,交y轴于点F,G,已

知CE+DE=6垃,FG=2后,则CD的长是.

9.如图，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,AC=10,BC=8,点D是BC上一点,BC=3CD,

点P是线段4c上一个动点，以为直径作O。，点何为由的中点，连接AM,则AM

的最小值为

10.如图，半径为5的。。与y轴相交于4点，B为G）O在x轴上方的一个动点（不与点A

重合），C为y轴上一点且NOCB=60°,/为△BC。的内心，则△4。的外接圆的半径

的取值（或取值范围）为.

11.如图，A8是半圆0的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,。是前上的一个动点,

连接AQ.过点C作CELA。于E,连接BE,则BE的最小值是

12.如图，已知等边aABC内接于。。，点P为AB上任意一点(点P不与点A、点8重合),

连结尸8、P0,取BC的中点O,取0尸的中点E,连结OE,若NOED=a,则/PBC的

度数为.(用含a的代数式表示)

13.如图，已知A(6,0),B(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点8圆心的经过原

点。，BCLx轴于点C,点。为。B上一动点，E为A。的中点，则线段CE长度的最大

值为_______

14.如图，矩形4BCD中，4B=4,AO=8,点E,尸分别在边40,BC上，且点B,尸关

于过点E的直线对称，如果EF与以CQ为直径的圆恰好相切，那么AE=

AED

三.解答题(共36小题)

15.如图，。0为AABC的外接圆，。为0C与A8的交点，E为线段0C延长线上一点,

且NE4C=ZABC.

(1)求证：直线AE是。0的切线.

(2)若。为A3的中点，CD=6,AB=\6

①求0。的半径；

②求△A8C的内心到点0的距离.

F.

16.如图，半圆。的直径AB=20,将半圆。绕点B顺针旋转45°得到半圆。'，与AB交

于点P.

(1)求AP的长；

(2)求图中阴影部分的面积(结果保留TT).

(X

V

17.如图，在△ABC中，AB=AC,以A3为直径的。0交3C于点。，过点。作EFLAC

于点E,交AB的延长线于点F.

(1)判断直线DE与。。的位置关系，并说明理由;

(2)如果AB=5,BC=6,求。E的长.

18.如图，已知直线必交。。于A、B两点,AE是。。的直径，点C为。。上一点，且

AC平分NB4E,过C作CD_LB4,垂足为D

(1)求证：CD为OO的切线；

(2)若C£)=2A。，。0的直径为20,求线段AC、AB的长.

19.如图，已知圆。的圆心为。，半径为3,点M为圆。内的一个定点，OM=遥,AB.

C。是圆。的两条相互垂直的弦，垂足为M.

(1)当4B=4时，求四边形4。8c的面积；

(2)当43变化时，求四边形A。8c的面积的最大值.

20.如图(1),ZABC=90°,。为射线3c上一点，。8=4,以点。为圆心，2a长为半

径作O。交BC于点。、E.

(1)当射线BA绕点8按顺时针方向旋转多少度时与。0相切？请说明理由.

(2)若射线54绕点8按顺时针方向旋转60°时与。。相交于M、N两点，如图(2),

求谕的长.

21.如图，OOi与002相交于点A和3,经过4作直线与001相交于D与。。2相交于C,

设弧8c的中点为M,弧3。的中点为N,线段8的中点为K.求证：MKLKN.

22.ZsABC的内切圆分别切8C、C4、A8于点。、E、F,过点尸作BC的平行线分别交直

线D4、DE于点H、G.求证：FH=HG.

23.以0为圆心，I为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS

的最大值和最小值.

24.如图，已知锐角的外心为0,线段0A和8c的中点分别为点M,N.若NABC

=4N0MN,NACB=6N0MN.求/0MN的大小.

25.设点0(0,0)、点A(2,0),分别以0、4为圆心，半径为2八r作圆，两圆在第一

象限的交点为P.

(1)当r=1时，求点P的坐标；

(2)当2<=<2时，能否找到一定点Q，使尸。为定值？若能找到，请求出Q点的坐

3

标及定值；若不能找到，请说明理由.

26.如图，已知以Rtz^ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆O。，NB的平分线BE交4C

于。，交。。于E,过E作EF〃AC交BA的延长线于F.

(1)求证：EF是切线；

(2)若48=15,EF=\0,求AE的长.

B在直线/上，且满足AFi-AF2=BFI-8放=2”，M,N分别为△AF1F2,△8FIF2的内

切圆的圆心.

(1)设0M与Fi尸2相切于点Pi,0N与F1F2切于点尸2,试判断P1与P2的位置关系，

并加以证明；

28.如图，以Rt^ABC的直角边45为直径的。0交斜边AC于点。，过点。作。。的切线

与BC交于点E,弦。M与AB垂直，垂足为4.

(1)求证：E为BC的中点；

(2)若的面积为12n,两个三角形△4"。和的外接圆面积之比为3,求4

DEC的内切圆面积Si和四边形OBED的外接圆面积S2的比.

29.如图，在。A8C。中，过4,B,C三点的交4。于E,且与C。相切.

(1)求证：AC=BC；

(2)若AB=4,BE=6,求00的半径长.

30.如图，AB是。。的直径，BC交。。于点£>,E是弧8。的中点，AE与BC交于点尸,

NC=2NEAB.

(1)求证：AC是的切线：

31.如图，在△A8C中，ZC=90°,以BC为直径的。。交AB于点O,。。的切线。E

交AC于点E.

(1)求证：E是AC中点；

(2)若AB=10,BC=6,连接CD,OE,交点为F,求OF的长.

32.如图，点。为RtZXABC斜边AB上的一点，以。4为半径的。。与BC切于点D,与

AC交于点E,连接AO.

(1)求证：AO平分/84C；

(2)若NBAC=60°,04=2,求阴影部分的面积(结果保留IT).

33.如图，AC是。。的直径，BC是。。的弦，点P是。。外一点，连接力，PB,AB,已

知NP8A=/C.

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)连接0P,若0P〃BC,且OP=8,。。的半径为2五,求BC的长.

34.如图，A8是。。的直径，点C在A8的延长线上，CZ)与。0相切于点。，CE1AD,

交A。的延长线于点E.

(1)求证：NBDC=NA；

(2)若CE=2百，DE=2,求A。的长.

(3)在(2)的条件下，求弧8。的长.

35.己知△ABC内接于。0,过点A作直线EF.

(1)如图①，AB是直径，要使E尸是。。的切线，还须添加一个条件是(只需写出三

种情况).

(I)(II)(III)

(2)如图(2),若AB为非直径的弦，ZCAE^ZB,则EF是。0的切线吗？为什么？

36.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆。0,交BC于点。，连接AD过

点。作垂足为点E.

(1)求证：DE是00的切线；

心。恰好落在AB上，00分别与43、AC相交于点E、F.

(1)判断直线BC与。。的位置关系并证明；

(2)若。。的半径为2,AC=3,求8。的长度.

38.已知：如图1,在。。中，直径AB=4,CD=2,直线A。，BC相交于点E.

(1)/E的度数为；

(2)如图2,AB与CO交于点尸，请补全图形并求NE的度数；

(3)如图3,弦AB与弦CO不相交，求NAEC的度数.

E

DD

C

⑴(2)(3)

39.如图，。是△ABC的外心，/是△ABC的内心，连A/并延长交BC和。0于。、E两点.

(1)求证：EB-EI-,

(2)若AB=4,AC=3,BE=2,求A/的长.

40.如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径作00,分别交AC、BC于点、D、E,点F

在AC的延长线上，且NA=2NCB£

(1)求证：8F与相切.

(2)若BC=CF=4,求8尸的长度.

41.如图，以AABC的边AB为直径的。。交AC的中点D,DE与。。相切，且交BC于E.若

。。的直径为5,AC=8.求DE的长.

B

~/DC

42.在00中，A8是00直径，AC是弦，ZBAC=50°.

(I)如图(1),。是AB上一点，AD=AC,延长CD交。。于点E,求NCE0的大小；

(II)如图(2),。是AC延长线上一点，AD=AB,连接8。交。。于点E,求NCE0

43.如图，在。。中，A8为直径，AC为弦.过BC延长线上一点G,作GO_LA。于点。,

交AC于点E,交。。于点F,M是GE的中点，连接CF,CM.

(1)判断CM与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若/ECF=2/A,CM=6,CF=4,求MF的长.

44.如图，。0的直径A8的长为2,点C在圆周上，NC4B=30°,点。是圆上一动点,

DE〃AB交CA的延长线于点E,连接CQ,交AB于点、F.

图1图2

(I)如图1,当NAC£>=45°时，请你判断OE与O。的位置关系并加以证明;

(II)如图2,当点F是C。的中点时，求△CDE的面积.

45.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点。，交BC于点、E,延长

AE至点F,使连接FB,FC.

(1)求证：四边形ABFC是菱形；

(2)若AO=7,BE=2,求半圆和菱形A8FC的面积.

46.如图，已知A8是。。的直径，C,。是。。上的点，OC//BD,交于点E,连结

BC.

(1)求证：AE=ED；

(2)若A8=10,ZCBD=36°,求众的长.

47.已知48是。0的直径，A8=2,点C,点。在。。上,CD=\,直线A£),BC交于点

E.

(I)如图1,若点E在。。外，求NAEB的度数.

(II)如图2,若点E在。。内，求/AE8的度数.

二会

图1图2

48.如图，己知。0是等边三角形ABC的外接圆，点。在圆上,在CD的延长线上有一点

F,DF=DA,BC交CF于E.

(1)求证：EA是。。的切线；

(2)求证：BD=CF.

49.如图，AB是。。的直径，弦CD垂直平分04,垂足为点〃，连接并延长C0交©0于

点、E,分别连接OE,BE,DB,其中/E£)B=30°,/CQE的平分线DV交CE于点G,

交。。于点M延长CE至点凡使尸G=F£).

(1)求证：。尸是OO的切线；

(2)若。。半径r为8,求线段OB,BE与劣弧OE所围成的阴影部分的面积.

50.如图，AH是圆。的直径，AE平分/以凡交。。于点E,过点E的直线FGLAF,垂

足为凡8为直径。〃上一点，点E、尸分别在矩形ABCD的边BC和C。上.

(1)求证：直线FG是。。的切线；

(2)若AZ)=8,EB=5,求。。的直径.

参考答案与试题解析

选择题（共5小题）

1.己知。。的半径为2,A为圆内一定点，AO=1.P为圆上一动点，以4尸为边作等腰△

APG,AP=PG,NAPG=120°,0G的最大值为（）

A.1+V3B.1+2aC.2+73D.2a-1

【解答】解：如图，将线段0A绕点。顺时针旋转120°得到线段0T,连接AT,GT,

OP.则40=07=1,AT=y/3,

•：/\AOT,△4PG都是顶角为120°的等腰三角形,

.../O4T=/B4G=30°,

：.ZOAP=ZTAG,她=耿=返

ATAG3

•OA=AT

APAG"

.,.△OAPs△窗G,

...空=熟=遮，-;op=2,

TGTA3

：.TG=2^

'：OG^OT+GT,

；.OGW1+2次，

，OG的最大值为1+2次，

故选：B.

2.如图，。。中，弦ABLCO,垂足为E,尸为CBD的中点，连接AF、BF、AC,AF交CD

于M,过F作尸“LAC,垂足为G,以下结论：®CF=DF;②HC=BF：@MF=FC：

®DF+AH=BF+AF）其中成立的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：•••尸为施的中点，

•*.CF=DF.故①正确，

：.ZFCM^ZFAC,

'：ZFCG=ZACM+ZGCM,ZAME=ZFMC=ZACM+ZFAC,

：.NAME=/FMC=ZFCG>NFCM,

：.FC>FM,故③错误，

'：ABVCD,FHA.AC,

：.ZAEM=ZCGF=90°,

：.ZCFH+ZFCG=90°,/BAF+NAME=90°,

:.NCFH=NBAF,

.••CH=BF>

：.HC=BF,故②正确，

VZAGF=90°,

：.ZCAF+ZAFH=9Q°,

，同的度数+/的度数=180°,

,方的度数+靠的度数=180°,

•••福谛=赢命=徐第:=亦+前，故④正确，

故选：C.

3.如图，直线>=工+1与x轴、)，轴分别相交于A、B两点,尸是该直线上的任一点，过

2

点0(3,0)向以P为圆心，LB为半径的。尸作两条切线，切点分别为E、F,则四

2

A.B.遥C.275D.

【解答】解：如图，连接OP,

:直线y=L+l与x轴、y轴分别相交于A、8两点，

2

当x=0时，y=l,当y=0时，x=-2,

・"(-2,0),B(0,1),

AAB=V22+12=V5,

:过点。(3,0)向以P为圆心，LB为半径的。尸作两条切线，切点分别为E、F,

2

：.DE=DF,PELDE,

"：PE=PF,PD=PD,

:APED空/\PFD(555),

；O尸的半径为返,

2

当。P_LAP时，OP最小，此时。P=A£>・sin/BAO=5X

四边形PEDF面积=2s&PED=2X1.PEXDE=也DE,

_22_

四边形PEDF面积的最小值为返xJa[7)2_(V5_}2=^3_.

故选：A.

4.如图，AB,BC是。。的弦，NB=60°,点。在内，点。为怠h的动点，点

N,P分别是AD,DC,CB的中点.若。。的半径为2,则PN+MN的长度的最大值是（）

B.1+2加C.2+2愿D.2+V3

【解答】解：连接。C、04、8Q,作0”，AC于H.

'：ZA0C=2ZABC=120",

\"0A=0C,0H±AC,

.•.NCOH=/AOH=60°,CH=AH,

：.CH=AH=OC'sin600=«,

；.AC=2我，

,:CN=DN,DM=AM,

.\M7V=-k4C=V3>

"：CP=PB,AN=DN,

：.PN=ljiD,

2

当20是直径时，PN的值最大，最大值为2,

：.PM+MN的最大值为2+73.

故选：D.

5.如图，AB是O。的直径，AB=\Q,P是半径OA上的一动点，PCJ_AB交。。于点C,

在半径0B上取点。，使得OQ=CP,OQ_LA8交。。于点。，点C,。位于A3两侧,

连接8交A8于点尸，点P从点A出发沿A0向终点0运动，在整个运动过程中，△

CFP与△OFQ的面积和的变化情况是（）

B.一直不变

C.先变大后变小D.先变小后变大

OF=a,

y--Cx+a)x=xy+^a(y

22

'CPC//DQ,

•PC=PF(

**DQ而’

•••x-_y-a'9

ya+x

'.a=y-x,

22

.".Sm—xy+—Cy-x)(y-x)——(x+y)—2^L

222

故选:B.

二.填空题（共9小题）

6.如图，等边△ABC中，4B=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD,

取CD的中点E,连接BE,则线段BE的最大值与最小值之和为_2、行

【解答】解：延长CB到T,使得BT=BC,连接AT,DT,AD.

：△ABC是等边三角形，

：.BA=BC=AC=BT=2,ZACB=60°,

，NCAT=90°,

.•.AT=C7・sin60。=2我，

'：AD=\,

A2A/3-1WDTW2的I,

,:CB=BT,CE=DE,

.\BE=1.DT,

2

...2、厄T_w8庆?m+1.

22

线段BE的最大值与最小值之和为2次，

故答案为2，§.

7.如图，AB是半圆。的直径，点C在半径0A上，过点C做CD_LAB交半圆。于点C.以

CD,CA为边分别向左、下作正方形C£)E凡CAGH.过点8作GH的垂线与GH的延长

线交于点/，M为H/的中点.记正方形COEF,CAGH,四边形的面积分别为Si,

S2,S3.

(1)若AC：BC=2：3,则红的值为旦；

S2-2一

(2)若力，O,M在同条直线上，则红*2的值为殳金.

-

S32-

【解答】解：（1）如图，利用AD,BD.

•：AB是直径，

.•.NA£>B=90°,

VDC1AB,

：.ZACD=ZDCB=90c，,

AZADC+ZCAD=90°,NADC+/BDC=90°,

NBDC=ZDAC,

：.△AC£>s/\ocB,

CD：CB=AC：CD,

'：AC-CB=2：3,

可以假设AC=2k,BC=3k,

二CD2=6底

.S1-CD26k2^3

s2AC24k22

故答案为3.

2

(2)当D0.M共线时，设C£)=〃，AC=h,

•：CD2=AC'BC,

2

.•.BC=A-,

b

22,,22_卜22

：.AB=b+^—=a,CO=OA-AC^a-,HM=MI=±1HL-±1CB=

bb2b222b

,CCO//HM,

•,DC=OC,

'*DH西r

•a-2b

••―r\»

a+b「

2b

整理得：M[(k)2+k-i]=o

aaa

•也wo,

a

.•也=我-1或-F-l(舍弃)，

a22

..S1+S2^a^=1+也)2,

$3b,彳a

b

•S[+$2=5-反

•—^■一丁

故答案为皂区.

2

8.如图，直线y=-x+m（相＞0）与x轴、y轴分别交于点A,B,C是A8的中点，点。

在直线y=-2上，以CC为直径的圆与直线AB的另一交点为E,交y轴于点尸，G,已

知CE+DE=6近,FG=2依，则CD的长是3\乐.

【解答】解：如图，设CQ的中点为。'，延长BA交直线y=-2于M,直线y=-2交

y轴于P,作CH_LOB于H,连接O'F,作A/_LDW于J,O'N1FG于N.

•.♦CD是。。'的直径，

：.ZCED=90°,

•.•直线y=-x+〃z(机＞0)与x轴、y轴分别交于点A,B,

•・•A(m,0),B(0,m),

：・OA=OB,

：.ZOAB=45°,

•：DM,

：.ZEMD=ZOAB=45°,

VZDEA/=90°,

；・ED=EM,

：.EC+ED=EC+EM=CM=6&,

"：JALDM,

：.ZAJM=W°,

：.AJ=JM=2,AM=2&,

.•.BC=CA=4五,

(8,0).B(0,8),C(4,4),设。(〃3-2),贝ljO'N=L(m+4),O'F=1JCD

22

=7V(m-4)2+62,

"：O'NLFG,

.,.尸N=依，

222

在RtZXO'FN中，(泥)+A(/77+4)2=工[(m-4)+6],

44

解得m=\,

•••8=Y(卜4)2+62=34

故答案为3-y5-

9.如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=10,BC=8,点。是BC上一点，BC=3CD,

点尸是线段AC上一个动点，以为直径作。。，点M为防的中点，连接AM,则AM

的最小值为

B

【解答】解：如图，连接。M,CM,过点A作ATLCM交CM的延长线于T.

B

••,PM=DN-

J.0MLPD,

：.ZMOD=90°,

；.NMCD=L/MOD=45°,

2

VZACB=90°,

，N4CT=45°,

'：AT±CT,

：.ZATC=90a,

：AC=10,

；.AT=AC・sin45°=5&,

,JAM^AT,

：.AM的最小值为5&,

故答案为572.

10.如图，半径为5的OO与>轴相交于A点，8为。。在X轴上方的一个动点（不与点A

重合），C为y轴上一点且/OC8=60°,/为△8CO的内心，则△A/O的外接圆的半径

的取值（或取值范围）为—殳反」.

：.ZCBO+ZCOB=\20°,

■:1是内心,

：.ZIOB^^ZCOB,NIBO=、NCBO,

22

：.NIOB+NIBO=L(NCOB+CBO)=60°,

2

.,.ZO/B=180°-ZIOB-Z/BO=120°,

"：OA=OB,ZAOI=ZBOI,01=01,

：./\AIO^/\BOI(SAS),

.,.NA/O=/B/O=120°,

作△A。/的外接圆OG,连接4G,OG,作GDJ_OA于£>.

；NA/O=120°=定值，0A=5=定值，

；•点G的运动轨迹是0,

.•.△40/的外接圆的半径是定值，

"：GA=GO,GDLOA,NAGO=120°,

AZAGD=^ZAGO=120°,AD=OD=^-,

22

5__

：.AG=―—

sin60°±3_3

2

故答案为_§返.

3

11.如图，AB是半圆。的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,。是窗L的一个动点,

连接AD过点C作CELAO于E,连接8E,则BE的最小值是代-2.

AZA£C=90°,

在点。移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动,

'：AB是直径，

AZACB=90°,

在RtZ\ABC中，：AC=4,AB=5,

'BC=VAB2-AC2=V52-42=3,

在RtZ\BC。’中，BO1=ylBC2+C0'5=Y22+32=Y13,

"：O'E+BE^O'B,

.•.当O'、E、B共线时，8E的值最小，最小值为O'B-O'E=Ji§-2,

故答案为：A/13■2.

12.如图，已知等边AABC内接于。。，点尸为窟上任意一点（点尸不与点4、点8重合）,

连结尸以P0,取BC的中点。，取0P的中点E,连结QE,若NOED=a,则NP3C的

度数为60°+a.（用含a的代数式表示）

【解答】解：如图：连接OZ）、OB,

•.•等边△ABC内接于。。，

AOD1BC,0。=工08,NOBO=30°.

2

点是。尸的中点，

OEIJOP,

2

•：OB=OP,

：.OD=OE,

：.ZOED=ZODE=a,

.*.Z£OD=180°-2a.

因为四边形OOEB内角和为360°,

AZBED=360°-90°-60°-(180-2a)-a=30°+a,

Z£05=180°-30°-(30+2a)=120-2a.

•：OB=OP,

.•.NP=NO2P=L(180°-ZPOB)=▲(180-120+2a)=30°+a.

22

/P5c=/O8P+/O8C=30°+a+30°=60°+a.

故答案为60°+a.

13.如图，已知A(6,0),B(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点8圆心的经过原

点O,轴于点C,点。为上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大

值为_5旬!^_.

【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点4',连接B4',BD,DA'.

22=5

由题意AC=。'=2,BC=3,BD=OB=^2+4：'

BA=J32+22=y/~13,

'：AC=CA',DE=EA,

:.EC=XDA',

2

'：DA'WBO+BA',

：.DA'W5+V7§,

'.DA'的最大值为5+我,

，EC的最大值为史运，

2

故答案为包Y亘

2

14.如图，矩形ABC。中，AB=4,AD=8,点E,尸分别在边A。，BC上，且点8,尸关

于过点E的直线对称，如果E尸与以C。为直径的圆恰好相切，那么AE=6-a.

【解答】解：如图，设。。与EF相切于M,连接E8,作EH_LBC于H.

由题意易知四边形AE/7B是矩形，设AE=B"=x,

由切线长定理可知，ED=EM,FC=FM,

F关于EH对称,

:.HF=BH=x,£D=EM=8-x,FC=FM=8-2x,EF=\6~3x,

在RtAEF/Z中,EF2=EH2+HF2,

/.42+X2=(16-3x)2,

解得x=6-&或6+依(舍弃)，

.".AE=6-

故答案为：6-

三.解答题(共36小题)

15.如图，。。为△ABC的外接圆，。为0C与AB的交点，E为线段0C延长线上一点,

且NE4c=/4BC.

(1)求证：直线AE是。。的切线.

(2)若。为AB的中点，CD=6,AB=\6

①求。。的半径；

②求△A8C的内心到点0的距离.

【解答】解：（1）证明：连接A。，并延长A0交于点凡连接CF

是直径

ZACF=90°

.••ZF+ZMC=90°,

VZF=AABC,ZABC=ZEAC

：.ZEAC=ZF

.♦.NEAC+N欣C=90°

.♦.NEA尸=90°,且40是半径

直线AE是OO的切线.

(2)①如图，连接AO,

:。为AB的中点，0。过圆心,

J.0D1AB,AO=BO=LB=8,

2

'：AO2^AD1+DO2,

：.AO2=32+(AO-6)2,

3

二。。的半径为空；

3

②如图，作NCAB的平分线交C。于点H,连接BH,过点“作“M_LAC,HN1.BC,

'：OD±AB,AD=BD

：.AC=BC,且AO=B£>

平分乙4CB,且AH平分/CAB

.•.点〃是△A8C的内心，且HM_LAC,HNLBC,HDLAB

：.MH=NH=DH

在RtAACD中，AC=J知％口2=482+/2=10=BC,

丁SAABC=SMCH+SAABH+SMCH,

A-lx16X6=AX10XMH+AX16XD//+AX10义NH,

2222

:.DH=%,

3

:0H=CO-CH=CO-(CD-DH),

：.OH=2L-(6-A)=5.

33

16.如图，半圆O的直径AB=20,将半圆。绕点8顺针旋转45°得到半圆O',与A8交

于点P.

(1)求AP的长；

(2)求图中阴影部分的面积(结果保留TT).

A'

【解答】解：（1）AOBA'=45°,O'P=0'B,

...△O'PB是等腰直角三角形，

：.PB=y[2PO,

：.AP=AB-8P=20-10&；

(2)阴影部分面积为：

S阴影=S扇形。4p+SwPB=』XTTX100+10X10XA=25TT+50.

42

17.如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。交BC于点。，过点。作EFLAC

于点E,交A3的延长线于点F.

(1)判断直线OE与。0的位置关系，并说明理由；

(2)如果A8=5,BC=6,求QE的长.

【解答】解：(1)相切，理由如下:

连接AD,OD,

为。。的直径，

AZADB=90°.

J.ADLBC.

•・・A8=AC,

：.CD=BD=lj3C.

2

•：OA=OBt

J.OD//AC.

：・/ODE=/CED.

VDEIAC,

:・NODE=/CED=90°.

・•・OD±DE.

・・・OE与。。相切.

⑵由⑴知NAOC=90°，

・••在RtZ\AZ)C中，由勾股定理得

AD=^AC2-(-|BC)2=^52-(-1X6)2=4-

'：SACD=^AD'CD^1AC-DE,

22

.".AX4X3=AX5DE.

22

：.DE=^-.

5

18.如图，已知直线公交(DO于A、8两点，AE是。。的直径，点C为。。上一点，且

AC平分/物E,过C作CD_L%,垂足为D

(1)求证：C。为。0的切线；

(2)若CD=2A。，。。的直径为20,求线段AC、A8的长.

【解答】证明：(1)连接。。.

・・,点C在。0上，04=0。，

：.ZOCA=ZOAC,

VCD1B4,

：.ZCDA=90°,

：.ZCAD+ZDCA=90°,

TA。平分NB4E,

：.ZDAC=ZCAOf

：.ZDCO=ZDCA+ZACO=ZDCA+ZDAC=90°,

・・・CQ是。。切线.

(2)作。/于尸，

AZOCD=ZCDF=ZOFD=90°,

・・・四边形CDFO是矩形，

：.OC=FD,OF=CD,

t：CD=2AD,设A£>=x,则OF=C£)=2x,

*：DF=OC=\09

：.AF=10-xf

在RtZsAO/中，A尸+O产=。42,

・•・(10-x)2+(2x)2=d,

解得x=4或0(舍弃)，

：.AD=4,AF=6,AC=4旄，

OFLAB,

：.AB=2AF=U,

19.如图，已知圆。的圆心为。，半径为3,点M为圆。内的一个定点，0M=遥,AB、

CD是圆。的两条相互垂直的弦，垂足为M.

(1)当AB=4时，求四边形AQBC的面积；

(2)当42变化时，求四边形AOBC的面积的最大值.

B

【解答】解：(1)作。E_LCD于E,。尸_LAB于凡连接。8,0C,

那么AB=g_Q4,

OF—^5，

又OE^+OF1=OM2=5,

：.OE=0,

：.CD=6,

'.S|jqa®ADBC—XABXCD=12;

2

(2)设OE=x,OF=y,则/+丁=5,

,；AB=2也_乂2,CD=2ylq_y2,

2242

S四边彩ADBC=ABxCD=2正/x79-y=V-X+5X+36=

2『百2普,

.•.当«=昌寸，四边形AQBC的最大面积是13.

20.如图(1),NABC=90°,O为射线BC上一点，。8=4,以点。为圆心，2d张为半

径作00交8c于点。、E.

(1)当射线84绕点8按顺时针方向旋转多少度时与相切？请说明理由.

(2)若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与。。相交于M、N两点，如图(2),

求谕的长.

【解答】解：(1)当射线BA绕点8按顺时针方向旋转45°或135°时与。。相切.

理由如下：如图，设切点为F,连OF.则0F_L8F,

在RtZXOB尸中，OF=2&,08=4,

，cosNOM=W=&_,

0B2

；.NOBF=NBOF=45°,

AZAB45°,

同理：当/AB尸=135°时，A8旋转的此时8尸的反向延长线上，

工当射线84绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与。。相切.

(2)过点O作OH_LA8于点H,

•.•射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与。。相交于M、N两点,

：.N4BC=30°,

，04==Lx4=2,

22

在RtAOM“中，0M=2&,

.•.cosNMO"=PIl=返，

0M2

：.ZMOH=45a,

:"NMON=90°,

二谕的长为：9。“兀X