黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷1（共227题）

黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷1（共9套）（共227题）黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷第1套一、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、一抛物线过(1，0)，(3，0)，证明：该抛物线与两坐标轴所围图形面积等于该抛物线与x轴所围图形面积．标准答案：由题意，可设抛物线的方程为y=a(x﹣1)(x﹣3)，a≠0，当a＞0时，抛物线开口向上，顶点(2，﹣a)在x轴下方，与y轴的交点为(0，3a)位于y轴正半轴，当a＜0时，抛物线开口向上，顶点(2，﹣a)在x轴上方，与y轴交点为(0，3a)位于y轴负半轴，但不论哪种情况，抛物线与两坐标轴同时围成的图形的面积S1=∫01丨y丨dx=∫01丨a(x﹣1)(x﹣3)丨dx=∫01丨a丨(1一x)(3一x)dx=抛物线与x轴所围图形的面积S2=∫13丨y丨dx=∫13丨a(x-1)(x-3)丨dx=∫13丨a丨(x-1)(3-x)=显然S1=S2，命题得证．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)2、函数的定义域为()。A、(﹣∞，﹣2]∪[3，+∞)B、[-3，6]C、[﹣2，3]D、[-3，-2]∪[3，6]标准答案：D知识点解析：用试探法解即可3、下列各组中，两个函数为同一函数的组是()。A、f(x)=lgx+lg(x+1)，g(x)=lg[x(x+1)]B、y=f(x)，g(x)=C、f(x)=丨1-x丨+1，g(x)=D、标准答案：C知识点解析：注意两方面，定义域和对应法则4、函数y=丨xcosx丨是()。A、有界函数B、偶函数C、单调函数D、周期函数标准答案：B知识点解析：简单判定即可选出答案5、直线x-1==z+8与直线的夹角为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：两直线的夹角即为两方向向量之间的夹角，取锐角6、下列结论正确的是()。A、若级数an2、bn2均收敛，则级数(an+bn)2收敛B、若级数丨anbn丨收敛，则级数an2、bn2均收敛C、若级数an发散，则an≥D、若级数an收敛，an≥bn，则级数bn收敛标准答案：A知识点解析：对于选项A，因an2+bn2≥2丨anbn丨，且(an2+bn2)收敛，故丨anbn丨收敛，所以根据绝对收敛的性质，anbn也收敛，所以(an+bn)2收敛；选项B无法推出；选项C的一个反例为；选项D必须为正项级数结论才正确，一个反例为an=，bn=．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、函数y=[x]=n，n≤x＜n+1，n=0，±1，±2，L的值域为________．标准答案：{0，±1，±2，L}知识点解析：暂无解析8、设则f(x)=________．标准答案：知识点解析：暂无解析9、=________．标准答案：0知识点解析：暂无解析10、曲线y=ln(1+ex)的渐近线为________．标准答案：y=0，y=x知识点解析：因ln(1+ex)=0，故y=0为水平渐近线；故y=x为斜渐近线．11、函数的间断点为________．标准答案：知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)12、设函数求f[f(x)]．标准答案：由题意，当丨x丨＞1时，f(x)=﹣1，故f[f(x)]=f(﹣1)=1；当丨x丨≤1时，f(x)=1，故f[f(x)]=f(1)=1；综上，f[f(x)]=1，x∈R．知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、若在定义域上连续，试求常数C．标准答案：因f(x)在定义域上连续，故f(x)在x=c处必定连续，所以(x2+1)=c2+1，且f(c)=c2+1，所以=c2+1，解之得c=2或c=﹣2(舍去)．注：c3+c-10=(c﹣2)(c2+2c+5)，c3+c+10=(c+2)(c2-2c+5)．知识点解析：暂无解析17、设f(x)=x(x+1)(x+2)L(x+2012)，求f′(0)．标准答案：注：本题也可使用函数乘积的导数公式推导求解．知识点解析：暂无解析18、设，求标准答案：知识点解析：暂无解析19、设∫xf(x)dx=arctanx+C，求标准答案：等式两边对x求导，得=∫x(1+x2)dx=∫(x+x3)dx=知识点解析：暂无解析20、若u=ln(x2+y)，求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求xylnxdxdy．标准答案：积分区域如下图所示．xylnxdxdy=∫12dx∫01xylnxdy=∫12[xy]01dx=∫12(x-1)dx=知识点解析：暂无解析22、求标准答案：记Sn=因(1项)，(2项)，(3项)，依此类推，(n项)，故Sn=共有项的和，又因为所以根据夹逼准则，知识点解析：暂无解析23、在曲线(a＞0，b＞0，x＞0，y＞0)上求一点，使得曲线在该点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小．标准答案：设切点坐标为(x0，y0)，方程两边对x求导，得故斜率切线方程为y-y0=(x-x0)，令x=0得y=令y=0得x=故面积S=又=1，故S=设f(x0)=x0则f(x0)最大时面积S即为最小，故令f′(x0)==0，得x0=经验证此驻点为f(x0)的极大值点，再根据题意，唯一的极大值点即为最大值点，此时y0=故所求切点为知识点解析：暂无解析24、若f(x)连续，且f(x)+2∫0xf(t)dt=x2，求f(x)．标准答案：等式两边对x求导，得f′(x)+2f(x)=2x，此为关于f(x)的一阶线性微分方程，P(x)=2，Q(x)=2x，故通解为f(x)=e﹣∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e﹣∫2dx(∫2xe∫2dxdx+C)=e-2x(∫2xe2xdx+C)=e-2x(xe2x-e2x+C)=x-+Ce-2x，原等式中，令x=0可得f(0)=0，代入上式可得C=故f(x)=e-2x．知识点解析：暂无解析黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)．标准答案：由xf’=(x)=f(x)+3x2，可得所以q=3x.那么所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx.由题意可得：所以C=2.所以f(x)=3x2+2x.知识点解析：暂无解析设其中Dt，是由x=t，y=t以及坐标轴围成的正方形区域，函数f(x)连续．2、求a的值使得g(t)连续；标准答案：如图，画出积分区域，则根据函数连续定义，满足所以a=0．知识点解析：暂无解析3、求g’(t)．标准答案：当t≠0时，t=0时，所以，g’(t)=f(t)．知识点解析：暂无解析4、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间有如下关系：z=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2．问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?标准答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2－(x+y)=15+13x+31y－8xy－2x2－10y2于是令得驻点又Lxx"(x，y)=－4，Lxy"(x，y)=-8，Lyy"(x，y)=-20，故B2－AC=64－(－4)×(-20)=一16＜0．又A=－4＜0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点．即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时，才能达到最优广告策略．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)5、证明：当x＞0时，成立．标准答案：(1)变形：这是对函数的增量形式令f(t)=lnt，t∈[x,1+x].(2)f(t)=lnt在[x,1+x]应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)-lnx=(x+1-x)，(3)∵x＜ξ＜x+1，故有知识点解析：暂无解析6、设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e－x．标准答案：(1)因为F(x)·G(x)=－1，(2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex由f(0)=1，得C=1故有f(x)=ex．(ii)若F(x)=－f(x)，即f(x)=－f’(x)→lnf(x)=－x+C2，f(x)=Ce-x由f(0)=1，得C=1．故有f(x)=e－x．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、在下列极限求解中，正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：根据洛必达法则可知8、设y=f(x)可导，则f(x－2h)－f(x)等于()．A、f’(x)h+o(h)B、－2f’(x)h+o(h)C、－f’(x)h+o(h)D、2f’(x)h+o(h)标准答案：B知识点解析：9、设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则A、cos4x+CB、C、2cos4x+CD、sin4x+C标准答案：A知识点解析：根据函数的定义，f(x)=F’(x)=(sin2x)’=2cos2x，f’(x)=－4sin2x，f’(2x)=－4sin4x，所以10、设二重积分的积分域D是x2+y2≤1，则等于()．A、B、4πC、3πD、5π标准答案：A知识点解析：积分区域D如图所示：0≤r≤1，0≤θ≤2π．所以11、在区间[－1，1]上，不满足罗尔定理的函数是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：罗尔定理必须满足下列条件：函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且f(x)在区间端点的函数值相等．12、在空间坐标系中，下列为平面方程的是()．A、y2=xB、C、D、3x+4z=0标准答案：D知识点解析：平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0故选D项．另外，A项：y2=x是一条抛物线B项：是两条平面正交线，显然是一空间直线C项：是空间直线方程的一般式．四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)13、标准答案：1知识点解析：14、yy"－(y)2=0的通解为_____________．标准答案：y=C2eC1x知识点解析：令y’=p，则因为所以当p≠0时，则即y’=C1yy=C2eC1xp=0，那么y=C，方程通解为y=C2eC1x15、曲线y=x2(x－3)的拐点坐标是____________．标准答案：(1，－2)知识点解析：y=x2(x－3)=x3－3x2y’=3x2－6xy"=6x－6当y"=6x－6=0时x=1，y=－2.16、设则标准答案：1知识点解析：17、的收敛区间是____________．标准答案：[－1，1]知识点解析：当x=1时，发散，当x=－1时，条件收敛，所以其收敛域为[－1，1)．18、设y=C1e2x+C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_____________．标准答案：y"－5y’+6y=0知识点解析：由二阶常系数齐次线性微分方程通解y=C1e2x+C2e3x，可知特征根为λ1=2，λ2=3，对应特征方程为：(λ－2)(λ－3)=0，即λ2－5λ+6=0，所以对应微分方程为y"－5y’+6y=0．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、若在x=0处连续，求a，b，c．标准答案：因为f(x)在x=0处连续，所以f(0－0)=f(0+0)=f(0)，得：b=ce－4=1所以c=e4，b=1，a为任意实数．知识点解析：暂无解析20、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、求函数哪一点上的切线与直线y=x成60°角?标准答案：设切线斜率为k2＜0，y=x=k1=1解得那么解得知识点解析：暂无解析23、已知u=f(x+y，x2，ysinx)，求标准答案：知识点解析：暂无解析24、求微分方程xy’－y=x2ex的通解．标准答案：原方程化为：知识点解析：暂无解析25、求级数的和数．标准答案：∴对上式两边求导得：对上式两边再次求导，得：于是，对上式两边取x=1，得知识点解析：暂无解析26、当k为何值时，广义积分收敛?当k为何值时，这个广义积分发散?又当k为何值时，广义积分取得最小值?标准答案：当k≠1时，当k=1时，发散，即，当k＞1时，广义积分收敛；当k≤1时，广义积分发散．设则令f’(k)=0，得驻点但当k＜k0时，f’(k)＜0；当k＞k0时，f’(k)＞0，所以，当时，广义积分取极小值，也就是最小值．知识点解析：暂无解析黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、在直角坐标系的第一象限内作4x2+y2=1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标．标准答案：根据题意画出图形：设切点为由4x2+y2=1求导得：切线方程为令x=0得令y=0得则求S(X)的最小值即求的最大值，令则解得唯一驻点．所以切点坐标为知识点解析：暂无解析2、某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是x，y(千件)，甲厂的月生产成本是C1=x2－2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元)．若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本．标准答案：本题为求函数z=f(x，y)=x2+y2－2x+2y+8在条件x+y－8=0下的条件极值．方法一：用拉格朗日乘数法总成本f(x，y)=x2+y2－2x+2y+8，约束条件φ(x，y)=x+y－8，作辅助函数F(x，y)=x2+y2－2x+2y+8+λ(x+y－8)．令解得x=5，y=3．由于驻点(5，3)唯一，实际中确有最小值．所以当x=5，y=3时使总成本最小，最小成本为f(5，3)=38千元．方法二：化条件极值为无条件极值总成本为z=f(x，y)=x2+y2-2x+2y+8，约束条件x+y－8=0，将y=8－x代入f(x，y)中，得z=x2+(8－x)2－2x+2(8－x)+8=2x2－20x+88zx’=4x－20，令zx’=0，得x=5．因为zxx"=4＞0，所以x=5时z取极小值，又因为极值点唯一，所以x=5时，z取最小值，此时y=3，故x=5，y=3时，总成本最小．最小成本为：f(5，3)=38千元．知识点解析：暂无解析3、把一根长为a的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小．标准答案：设围成圆形的长度为x，面积设为S1，则围成正方形的长度为a－x，而面积记为S2，则所以时，圆形面积与正方形面积之和最小．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、证明：当|x|≤1时，|4x－x4|≤5成立．标准答案：令f(x)=4x－x4，则f’(x)=4－4x3=0,x=1.所以f(－1)=－4－1=－5，f(1)=4-1=3.故fmax(x)=3，fmin(x)=－5，所以－5≤f(x)≤3.那么|4x－x4|≤5成立.知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、若x→0时，与xsinx是等价无穷小，则a=()．A、1B、－4C、4D、3标准答案：B知识点解析：当x→0时，xsinx～x2于是，根据题设有故a=-4.6、下列函数中，在[－1，1]上满足罗尔中值定理条件的是()．A、B、f(x)=x+5C、D、f(x)=x+1标准答案：A知识点解析：B、C和D不满足罗尔定理得f(a)=f(b)条件.7、设交换积分次序后I=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析8、已知则下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：9、xyy’=1，y(1)=1的解是()．A、xB、y2=21nx+1C、y2=lnxD、y2=x标准答案：B知识点解析：又因为f(1)=1所以1=2ln1+C，那么C=1，所以y2=2lnx+1.10、设为正项级数，如下说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：选项A当un取时，不对，排除.B选项0≤l≤∞不对，应是l＜1，必收敛，D仍然可用条件收敛，且是发散，故排除，所以选C.四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、标准答案：e6知识点解析：12、设在x=0处连续，则a=___________．标准答案：－1知识点解析：13、的水平渐近线是____________．标准答案：y=1知识点解析：14、已知则k的值为__________．标准答案：知识点解析：15、设曲线y=x2+x+2上点M处的斜率为－3，则点M的坐标是_________．标准答案：(－2，4)知识点解析：y’=2z+1=－3x=－2，代入到原方程得y=4．16、设向量a，b，令|a+b|=|a－b|，a={3，－5，8}，b={－1，1，z}．则z=______________．标准答案：1知识点解析：因为a+b={2，－4，8+x}，a－b={4，－6，8－z}，由|a+b|=|a－b|有解得z=1.五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、设方程ex+ysin(x+z)=0确定z=z(x，y)，求dz．标准答案：(1)令F=ex+ysin(x+z)，Fx’=ex+y[sin(x+z)+cos(x+z)]Fy’=ex+ysin(x+z)，Fz’=ex+ycos(x+z)知识点解析：暂无解析18、计算二重积分其中D={(x，y)|x-x+y－x≤2x，y≥0}．标准答案：知识点解析：暂无解析19、判别的敛散性。若收敛，请说明是绝对收敛或条件收敛．标准答案：(1)这是任意项极数(2)且收敛，收敛，故绝对收敛.知识点解析：暂无解析20、求的收敛半径与收敛域．标准答案：(1)∴收敛半径R=3有－3＜x－2＜3即－1＜x＜5，(2)当x=5时发散(调和级数)；当x=－1时发散(莱布尼兹级数).(3)级数的收敛域[－1，5).知识点解析：暂无解析21、求的通解．标准答案：(1)判别方程的类型：可分离变量方程知识点解析：暂无解析22、求y"+6y’+13y=0满足y(0)=3，y’(0)=一1的特解．标准答案：(1)∵r2+6r+13=0，(2)通解y=e－3x(C1cos2x+C2sin2x).(3)特解：∵y(0)=3，∴3=C1，y’=-3e－3x(C1cos2x+C2sin2x)+e－3x(－2C1sin2x+2C2cos2x)∵y’(0)=－1，－1=－9+2C2，∴C2=4.特解为y=e－3x(3cos2x+4sin2x).知识点解析：暂无解析23、设求dy．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求由方程x-xy－x+y=1(y＜0)所确定的y=y(x)的极值．标准答案：(1)求驻点：2xy2+x22yy’+y’=0，令y’=0，2xy2=0，(y＞0)→驻点x=0.(2)判别极值点2y2+2x2yy’+4xyy’+2x2(y’2+yy")+y"=0，当x=0时y=1代入上式2+0+0+0+y"(0)=0.y"(0)=－2＜0.x=0为极大值点.(3)极大值y(0)=1.知识点解析：暂无解析黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数的定义域是()A、[﹣3，1]B、[﹣3，﹣1)C、[﹣3，﹣1]D、[﹣1，1]标准答案：D知识点解析：因所以﹣1≤x≤1，故选项(D)正确．2、极限等于()A、0B、1C、1/3D、3标准答案：D知识点解析：故选项(D)正确．3、已知f′(1)=1，则等于()A、1B、﹣1C、2D、﹣2标准答案：D知识点解析：根据导数的定义，=﹣2f′(1)=﹣2，选(D)．4、设φ(x)=e﹣tdt，则φ′(x)等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：，选项(C)正确．5、曲线y=x2与直线y=1所围成的图形的面积为()A、2/3B、3/4C、4/3D、1标准答案：C知识点解析：曲线y=x2与曲线y=1的交点坐标为(﹣1，1)和(1，1)，则所围图形的面积为∫-11(x2)dx=选项(C)正确．6、定积分∫-22xcosxdx等于()A、﹣1B、0C、1D、1/2标准答案：B知识点解析：因被积函数xcosx在[﹣2，2]上为奇函数，故∫-22xcosxdx=0。选项(B)正确．7、已知向量=(﹣1，﹣2，1)与向量=(1，2，t)垂直，则t等于()A、﹣1B、1C、﹣5D、5标准答案：D知识点解析：因向量垂直，故=0，即(﹣1)·1+(﹣2)·2+1·t=0，也即﹣5+t=0，故t=5．选项(D)正确．8、曲线y=x2在点(1，1)处的法线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据导数的几何意义，切线的斜率k=y′丨x=1=2x丨x=1=2，故法线方程为y﹣1=，即y=，选(B)．9、设函数f(x)在点x0处不连续，则()A、f′(x0)存在B、f′(x0)不存在C、必存在D、f(x)在点x0处可微标准答案：B知识点解析：根据“可导必连续″，则“不连续一定不可导″，选项(B)正确．10、un=0是级数un收敛的()A、必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、不确定标准答案：A知识点解析：根据收敛级数的性质，un=0是级数un收敛的必要条件．选项(A)正确．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、若函数在x=1处连续，则a=________．标准答案：2知识点解析：=1-a，因f(x)在点x=1处连续，故，即﹣1=1-a，a=2．12、x=0是函数f(x)=的第________类间断点．标准答案：一知识点解析：因，故x=0是函数f(x)的第一类间断点．13、若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于直线y=2x﹣3，则f′(x0)=________．标准答案：2知识点解析：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故f′(x0)=214、函数f(x)=2x3﹣9x2+12x的单调减区间是________．标准答案：[1，2]知识点解析：令f′(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2)=0，得驻点x=1和x=2；当x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故函数的单调递减区间为[1，2]．15、设y=cos(sinx)，则dy=________．标准答案：﹣sin(sinx)cosxdx知识点解析：dy=dcos(sinx)=﹣sin(sinx)cosxdx．16、不定积分∫df(x)=________．标准答案：f(x)+C知识点解析：根据不定积分与微分的关系可得，∫df(x)=f(x)+C．17、∫01=________．标准答案：知识点解析：由定积分的几何意义，∫01表示曲线y=，直线x=0，x=1和x轴所围成的图形的面积，即圆面积，故∫01·π·12=18、“函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)存在″是“函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分″的________条件．标准答案：必要非充分条件知识点解析：根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微分则偏导数一定存在，但反之不一定成立，故“函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)存在″是“函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分″的必要非充分条件．19、微分方程y″﹣4y′﹣5y=0的通解为________．标准答案：y=C1e﹣x+C2e5x知识点解析：原方程的特征方程为r2﹣4r﹣5=0，有两个不相等的实根r1=﹣1，r2=5，故原方程的通解为y=C1e﹣x+C2e5x．20、幂级数的收敛区间为________．标准答案：(﹣∞，+∞)知识点解析：因，故R==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(﹣∞，+∞)．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)21、求极限，其中c为常数．标准答案：=e2c．知识点解析：暂无解析22、求极限标准答案：说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：知识点解析：暂无解析23、设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，求丨x=0．标准答案：方程2xy=x+y两边对x求导，考虑到y是x的函数，得2xyln2·整理得y2xyln2+x2xyln2·故当x=0时，代入原方程可得y=1，所以说明：当得到2xyln2·后，也可直接将x=0，y=1代入，得ln2=知识点解析：暂无解析24、求函数y=xsinx(x＞0)的导数．标准答案：y′=(xsinx)′==(esinxlnx)′=esinxlnx(cosxlnx+sinx·)=xsinx(cosxlnx+)．说明：此题也可用对数求导法求解．知识点解析：暂无解析25、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析26、求定积分∫1exlnxdx．标准答案：∫1exlnxdx=∫1elnx知识点解析：暂无解析27、求由方程ez-xyz=0所确定的二元函数z=f(x，y)的全微分dz．标准答案：先求二元函数z=f(x，y)的偏导数．设F(x，y，z)=e2-xyz，则由二元函数的隐函数存在定理可知，故知识点解析：暂无解析28、求微分方程=xsinx的通解．标准答案：此为一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=xsinx，故原方程的通解为y=e﹣∫p(x)dx(∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C)==elnx(∫xsinx·e﹣lnxdx+C)=x(∫sinxdx+C)=x(﹣cosx+C)．知识点解析：暂无解析29、求平行于y轴且过点P(1，2，3)和Q(3，2，﹣1)的平面方程．标准答案：设平面的法向量为因平面与y轴平行，且沿y轴正向的单位向量为=(0，1，0)，故又平面过点P(1，2，3)和Q(3，2，﹣1)，且=(2，0，﹣4)，故所以可取为与平行的向量．因=(﹣4，0，﹣2)=﹣2(2，0，1)，故可取又平面过点P(1，2，3)(也可用点Q(3，2，﹣1))，故平面方程为2(x﹣1)+0+(x-3)=0，即2x+z﹣5=0．说明：此题也可用平面的一般方程来解．知识点解析：暂无解析30、求二重积分其中D是由y=1，y=x2，x=2所围成的闭区域．标准答案：画出积分区域，将其看成X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x2．故二重积分=∫122xlnxdx=∫12lnxd(x2)=[x2lnx]12-∫12xdx=4ln2-知识点解析：暂无解析31、现有边长为96cm的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大?标准答案：设剪去的小正方形边长为x，则纸盒的容积y=x(96-2x)2，0＜x＜48．y′=(96-2x)2+x·2(96-2x)(﹣2)=(96-2x)(96-6x)，令y′=0，可得x=16(x=48舍去)．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪去的小正方形边长为16cm时，做成的无盖纸箱容积最大．知识点解析：暂无解析32、设函数f(x)在[0，1]上连续，并且对于[0，1]上的任意x所对应的函数值f(x)均为0≤f(x)≤1，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．标准答案：令F(x)=f(x)-x，由于f(x)在[0，1]上连续，故F(x)在[0，1]上也连续．F(0)=f(0)-0=f(0)，F(1)=f(1)﹣1．而对∈[0，1]，0≤f(x)≤1，故F(0)≥0，F(1)≤0．若F(0)=0，即f(0)﹣0=0，f(0)=0，则ξ=0；若F(1)=0，即f(1)﹣1=0，f(1)=1，则ξ=1；当F(0)≠0，F(1)≠0时，F(0)·F(1)＜0，而F(x)在[＜0，1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)-ξ=0，f(ξ)=ξ．综上，在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．知识点解析：暂无解析黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、求椭球面：在点M0(1，2，3)处的切平面和法线方程．标准答案：设则所以切面方程为即6x+3y+2z－18=0，法线方程为：知识点解析：暂无解析设平面图形由曲线y=1－x2(x≥0)及两坐标轴围成．2、求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；标准答案：如图，利用定积分几何意义该平面绕x轴旋转所形成旋转体体积为知识点解析：暂无解析3、求常数a的值，使直线y=a将该平面图形分成面积相等的两部分．标准答案：由题意，直线y=a将平面分成面积相等的两部分积分得即解得知识点解析：暂无解析4、有一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?标准答案：设截下的小正方形的边长为xcm，则正方形容器的底边长48－2x，高为x，容器为V(x)=(48－2x)2·x，其中x的变化范围是0＜x＜24，V(x)=(48－2x)(48－6x)，令V’(x)=0得，驻点坐标x=8，x=24(舍去).V"(x)=24x－384，V"(8)=-192＜0，所以x=8，是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是V(8)=8192.当截去的小正方形的边长是8cm时，容器的容积达到最大8192cm3.知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)5、设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f"(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x－1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F"(ξ)=0．标准答案：设G(x)=F(x)－(x－2)f(1)，则G(x)在[1，2]上连续，在[1，2]内可导，而G(1)=f(1),G(2)=f(2)，于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2).由罗尔定理知在在[1，2]内至少有一点ξ1使G’(ξ1)=0，即F’(ξ1)=f(1).又由F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)知F’(1)=f(1).显然F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)在[1,ξ1]上满足罗尔定理条件.于是在[1,ξ1]内至少有一点ξ使f"(ξ)=0.即在(1,2)内至少有一点ξ使F"(ξ)=0.知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、已知连续函数f(x)满足则f(x)=()．A、f(x)=x2+xB、f(x)=x2一xC、D、标准答案：C知识点解析：暂无解析7、函数在x=0处()．A、连续但不可导B、连续且可导C、不连续也不可导D、可导但不连续标准答案：B知识点解析：则此分段函数在x=0处连续.则故分段函数x=0可导.8、关于的间断点说法正确的是()．A、为可去间断点B、x=0为可去间断点C、x=kπ为第二类无穷间断点D、以上说法都正确标准答案：D知识点解析：的间断点为x=kπ，k∈Z所以为可去间断点.对于x=kπ，当k=0，即x=0时，x=0为可去间断点.当k≠0时，x=kπ为第二类无穷间断点.9、设D：x2+y2≤R2，则A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：在极坐标中，0≤r≤R，0≤θ≤2π，10、抛物面在点M0(1，2，3)处的切平面是()．A、6x+3y－2z－18=0B、6x+3y+2z－18=0C、6x+3y+2z+18=0D、6x－3y+2z－18=0标准答案：B知识点解析：设则切平面方程为6x+3y+2z－18=0.11、幂级数的收敛半径是()．A、0B、1C、2D、+∞标准答案：B知识点解析：收敛半径四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、标准答案：知识点解析：13、设f(x)为连续奇函数，则f(0)=____________．标准答案：0知识点解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)=－f(x)．又f(x)在x=0连续，∴f(0)=－f(0)，故f(0)=0．14、标准答案：知识点解析：15、已知|a|=4，|b|=5，则|a+b|=___________．标准答案：知识点解析：|a+b|2=(a+b)．(a+b)=|a|2+|b|2+2|a||b|·=16+25+2×20×=61故16、若直线y=5x+m是曲线y=x－x+3x+2的一条切线，则常数m=______________．标准答案：1知识点解析：由已知，切线斜率k=y’=2x+3=5，解得x=1，代入曲线方程得y=6，即切点坐标为(1，6)，代入切线方程y=5x+m，解得m=1．17、的定义域是____________．标准答案：D={(x，y)|r2＜x2+y2＜R2}知识点解析：∴定义域D={(x，y)|r2＜x2+y2＜R2}．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、设y=xtanx，求y’．标准答案：y=xtanx=elnxtanx=etanxlnx知识点解析：暂无解析19、分析的间断点，并指明其类型．标准答案：剪短发点为－1,1.f(－1－0)=－1，f(－1+0)=1，x=－1，第一类跳跃间断.f(1－0)=-1，f(1+0)=1，x=－1，第一类跳跃间断.知识点解析：暂无解析20、求标准答案：知识点解析：暂无解析21、设z=f(2x+3y，xy)其中函数f具有二阶连续偏导数，求标准答案：根据复合函数求偏导数法则，为方便表示令μ=2x+3y，因为二阶偏导在定义域内连续，所以f"uv=f"vu，合并得知识点解析：暂无解析22、在一1和2之间求值C，使y=－x，y=2x，y=1+Cx所围图形面积最小．标准答案：三直线所围成区域如图，设其面积为S(C)，则令得当时S’(C)＜0；当时，S’(C)＞0，由极值点的唯一性得当时，三直线所围成图形面积最小.知识点解析：暂无解析23、求标准答案：因为为奇函数，为偶函数，所以知识点解析：暂无解析24、求2yy’+2xy2=xe－x2的通解．标准答案：(y2)’+2xy2=xe-x2，令u=y2，则所以则即其中C为任意常数.知识点解析：暂无解析25、计算二重积分其中D是第一象限内圆x2+y2=2x及直线y=0所围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷第6套一、综合题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、作一圆柱形无盖铁桶，容积为V，其底面积半径r与高h的比应为多少，所用铁皮最省?标准答案：设铁皮面积为S(r)，则S(r)=2πrh+πr2，又πr2h=V，所以S(r)=+πr2，r∈(0，+∞)，所用铁皮最省即求S(r)的最小值．由S′(r)=得S(r)在r∈(0，+∞)上只有唯一的驻点，因而也是S(r)的最小值点，此时h=r，即r：h=1：1时，所用铁皮最小．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)2、证明方程x5+x-1=0只有一个正根．标准答案：令f(x)=x5+x﹣1，则f(x)为连续函数．又f(0)=﹣1＜0，f(1)=1＞0，故由零点定理知f(x)=0在区间(0，1)至少有一个根，又f′(x)=5x4+l＞0，所以f(x)在(0，+∞)内单调递增．因此，f(x)=0至多有一个正根．综上，x5+x﹣1=0只有一个正根．知识点解析：暂无解析3、证明级数xn对于任意的x∈(﹣∞，∞)部是收敛的．标准答案：因为所以xn的收敛域是(﹣∞，+∞)，即幂级数xn对于任意的x∈(﹣∞，+∞)都是收敛的．知识点解析：暂无解析4、若f(x)在(a，b)内具有四阶导数，且f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，其中a＜x0＜x1＜x2＜x3＜x4＜b．证明：在(a，b)内至少有一点ξ，使f(4)(ξ)=0．标准答案：由己知f(x)在(a，b)内四阶可导，且f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，在区间[x0，x1]，[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上分别运用罗尔定理知，存在α1∈(x0，x1)，α2∈(x1，x2)，α33∈(x2，x3)，α4∈(x3，x4)，使得f′(α1)=f′(α2)=f′(α3)=f′(α4)=0又由罗尔定理知，存在β1∈(α1，α2)，β2∈(α2，α3)，β3∈(α3，α4)，使得：f″(β1)=f″(β2)=f″(β3)=0．再由罗尔定理知，存在γ1∈(β1，β2)，)，γ2∈(β2，β3)，使得：f′″(γ1)=f′″(γ2)，最后利用罗尔定理，知存在ζ∈(a，b)，使得f(4)(ξ)=0．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)5、=A、eB、1/eC、e2D、标准答案：C知识点解析：=e2．故应选C．6、=A、1/2B、0C、1D、2标准答案：A知识点解析：由等价无穷小代换，故应选A．7、函数y=ln丨sinx丨的定义城是________．其中k为整数．A、B、x∈(﹣∞，∞)，x≠kπC、x=kπD、x∈(-∞，∞)标准答案：B知识点解析：y=ln丨sinx丨，所以，0＜丨sinx丨≤1，x∈(﹣∞，+∞)，x≠kπ，k为整数，故应选B．8、函数是A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、无法确定标准答案：A知识点解析：=﹣f(x)，f(x)为奇函数，故应选A．9、若∫f(x)dx=xe-2x+c，则f(x)等于________．其中c为常数．A、﹣2xe-2xB、﹣2x2e-2xC、(1﹣2x)e-2xD、(1﹣2x2)e-2x标准答案：C知识点解析：f(x)=(∫f(x)dx)′=e-2x+xe-2x(﹣2)=e-2x(1﹣2x)，故应选C．10、下列级数中为条件收敛的级数是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选项A和B的级数通项极限均不存在，故发散；选项C中级数每一项加绝对值变成收敛，所以，该级数绝对收敛，故应选D．11、设∫0xf(t)dt=a3x，则f(x)等于A、3a3xB、a3xlnaC、3a3x-1D、3a3xlna标准答案：D知识点解析：∫0xf(t)dt=a3x，方程两端同时求导得：f(x)=3a3xlna，故应选D．12、曲线的水平渐近线为A、y=1B、y=2C、x=﹣1D、x=50标准答案：B知识点解析：故已知曲线的水平渐近线为直线y=2，故应选B．13、积分区域D为x2+y2≤2，则=A、2πB、πC、1D、0标准答案：D知识点解析：积分区域关于y轴对称，被积函数f(x，y)=x关于x为奇函数，所以积分值为0，故应选D．14、广义积分∫0+∞e-2xdx=A、不存在B、C、1/2D、2标准答案：C知识点解析：∫0+∞e-2xdx=e-2x丨0+∞=故应选C．四、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、设函数函数f(x)的间断点是________，间断点的类型是________．标准答案：x=0，第二类间断点．知识点解析：因为在x=0处没有定义，且不存在，所以x=0为第二类间断点．16、函数f(x)在点x0处可微，f′(x0)=0是点x0为极值点的________条件．标准答案：必要．知识点解析：可导函数的极值点一定是驻点，但是驻点不一定是极值点。17、函数f(x)在点x0处的左、右导数存在且________是函数在点x0可导的________条件．标准答案：相等，充要．知识点解析：函数f(x)在点x0处的左右导数存在且相等是函数在点x0可导的充要条件．18、设则与向量同方向的单位向量=________．标准答案：知识点解析：与非零向量a同方向的单位向量为19、广义积分∫01(p＞0)当________时收敛，当________时发散．标准答案：0＜p＜1，p≥1．知识点解析：广义积分收敛，即积分存在，且值为一个常数．∫01=100∫01x-pdx=(1-01-p)只有当p＜1时，积分值存在，所以0＜p＜1时广义积分收敛；p≥1时，广义积分发散．20、已知y=xsinx，则dy=________．标准答案：xsinx(cosxlnx+)dx．知识点解析：利用对数求导法，先求导数再求微分．方程两边同时取对数，lny=sinxlnx，方程两边同时关于x求导，因此dy=y′dx=xsinx·21、对函数在区间[1，2]上应用拉格朗日中值定理得f(2)-f(1)=f′(ξ)，则ξ=________，其中(1＜ξ＜2)．标准答案：知识点解析：因为f(x)在[1，2]上连续可导，所以由拉格朗日中值定理得：存在ζ∈(1，2)，使得f(2)-f(1)=f′(ζ)(2-1)，即=f′(ζ)，所以解得22、如果闭区域D由x轴、y轴及x+y=1围成，则(x+y)2dσ________(x+y)3dσ．标准答案：≥．知识点解析：在闭区域内，0≤x+y≤1，因此(x+y)2≥(x+y)3，由二重积分保序性知(x+y)2dσ≥(x+y)3dσ．23、曲线有________拐点．标准答案：两个．知识点解析：y=·(-3x2)=﹣3x2，y″=(-3x2)′=﹣3x(2﹣3x3)，令y″=0，则x=0，当x＜0时，y″＞0；当时，y″＜0；当时，y″＞0，所以函数有两个拐点．24、直线的方向向量=________，与平面2x+5y﹣3z﹣4=0是________的．标准答案：s={2，5，﹣3}，垂直．知识点解析：该直线的方向向量s={2，5，﹣3)，平面的法向量为n={2，5，﹣3)，s／／n，因此直线垂直于平面．五、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)25、求标准答案：利用等价无穷小代换，知识点解析：暂无解析26、求∫eaxsinbxdx．标准答案：设I=∫eaxsinbxdx，解关于I的方程得I=∫eaxsinbxdx=知识点解析：暂无解析27、求标准答案：由及由夹逼准则，得知识点解析：暂无解析28、求其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域．标准答案：=∫02dx∫02-x(3x+2y)dy=∫02[3x(2-x)+(2-x)2]dx知识点解析：暂无解析29、求平行于y轴且经过两点(4，0，﹣2)，(5，1，7)的平面方程．标准答案：平行于y轴的平面方程可设为Ax+Cz+D=0，由已知该平面经过两点(4，0，-2)和(5，1，7)，得所以因此，所求平面方程为-9Cx+Cz+38C=0，即-9x+z+38=0．知识点解析：暂无解析30、求微分方程y″+4y=0的通解．标准答案：此微分方程的特征方程为r2+4=0，r=±2i，所以此微分方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x．知识点解析：暂无解析黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求介于y=x2，与y=2x之间的图形面积．标准答案：解方程组解方程组解方程组于是三条线的交点分别为(0，0)，(2，4)，(4，8)，故所求面积S=∫02(x2-)dx+∫24(2x-)dx=4知识点解析：暂无解析2、求，D：x2+y2=1，x2+y2=2x，y=0所围区域在第一象限部分且x≥标准答案：设由于则由图示得积分区域D满足于是知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、证明方程x=asinx+b(a＞0，b＞0)至少有一个不超过(a+b)的正根．标准答案：设f(x)=x-asinx-b，则f(x)在[0，a+b]上连续．因为f(a+b)≥01)f(a+b)＞0时，又f(0)＜0，由零点定理得，f(x)=x-asinx-b在(0，a+b)内至少有一个零点．2)f(a+b)=0时，x=a+b即为不超过a+b的正根．综上所述方程x=asinx+b(a＞0，b＞0)至少有一个不超过a+b的正根．知识点解析：暂无解析4、设0＜a＜b，证明不等式标准答案：y=lnx在[a，b]上连续，(a，b)内可导，满足拉格朗日定理，于是∈(a，b)，使得，，a＜ξ＜b，因为所以即知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、函数的定义域是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由己知函数，可得解不等式组可得其定义域为故应选B．6、如果函数在(﹣∞，+∞)内连续，则a=A、0B、1/2C、1D、2标准答案：D知识点解析：若f(x)在(﹣∞，+∞)连续，则f(x)在x=﹣1和x=1处连续，所以即a=2．故应选D．7、曲线y=(x+6)e1/x的单调减区间的个数为A、0B、1C、3D、2标准答案：D知识点解析：定义域为(﹣∞，0)∪(0，+∞)令y′=0，则x1=3，x2=﹣2由此可得，单调减区间有两个，分别为(﹣2，0)，(0，3)．故应选D．8、若连续函数f(x)满足则f(7)=A、1B、2C、1/12D、1/2标准答案：C知识点解析：方程两边同时求导=f(x3﹣1)(x3﹣1)′=3x2f(x3﹣1)，得f(x3﹣1)·3x2=1，则f(x3﹣1)=令x=2，则f(7)=故应选C．9、微分方程xy′+y=满足的解在x=1处的值为A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：方程恒等变形为此为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得代入初始条件解得C=0，从而可得y丨x=1=arctan1=故应选A．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、函数f(x)=lnsin(cos2x)的图像关于________对称．标准答案：x=0或y轴．知识点解析：因为f(﹣x)=lnsin[cos2(﹣x)]=lnsin(cos2x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，因此函数图象关于x=0对称．故应填x=0或y轴．11、=________．标准答案：e-3．知识点解析：=e-3，故应填e-3．12、的第一类间断点为________．标准答案：x=0，x=1．知识点解析：f(x)=的间断点为x=0，x=1，x=﹣1，分别求这三个点处的函数极限其中，极限存在的为第一类间断点，极限不存在的为第二类间断点．由此可得第一类间断点为x=0，x=1．故应填x=0，x=1．13、设则=________．标准答案：{﹣7，2，1}．知识点解析：14、直线与平面2x-y﹣3z+7=0的位置关系为________．标准答案：平行．知识点解析：直线的方向向量平面法向量为n={2，﹣1，﹣3}，s·n=18×2+6×(﹣1)+10×(﹣3)=0，所以两向量垂直，直线与平面平行．又因为点在直线上但不在平面内，所以直线与平面平行五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、设存在，求a的值．标准答案：因为所以a=2．知识点解析：暂无解析16、已知当x→0时，与sin2x是等价无穷小，求a的值．标准答案：因为所以a=2．知识点解析：暂无解析17、求由方程确定的隐函数y=y(x)的导数．标准答案：方程可化为方程两边同时对x求导，得解之，得知识点解析：暂无解析18、设f(x)=∫0x，求f(x)的极值．标准答案：根据积分上限求导数公式可得，由得x=0，又由得f″(0)＞0，故由极值存在的第二充分条件得f(0)=0为函数的极小值．知识点解析：暂无解析19、设z=z(x，y)是由x2z+2y2z2+y=0确定的函数，求标准答案：令F(x，y，z)=x2z+2y2z2+y，则知识点解析：暂无解析20、改变积分∫01dxf(x，y)dy+∫14dxf(x，y)dy的积分次序．标准答案：根据原积分，写出两个二次积分对应的积分区域满足的不等式D1：和D2：将D1与D2合并成D，合并后的D是由y=x﹣2，y2=x所围成的区域，可以看成Y型，故D：因此∫01dxf(x，y)dy+∫14dxf(x，y)dy=∫-12dyf(x，y)dx．知识点解析：暂无解析21、求幂级数的收敛域．标准答案：因为an=(﹣1)n所以收敛半径当x=﹣1时，发散；当x=1时，收敛．所以，原级数的收敛域为(﹣1，1]．知识点解析：暂无解析黑龙江省专升本（高等数学）模拟试卷第8套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、计算由y2=9-x，直线x=2及y=﹣1所围成的平面图形上面部分(面积大的那部分)的面积A标准答案：所围成图形的面积或知识点解析：暂无解析2、求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值标准答案：由fx′(x，y)=2x(2+y2)=0，fy′(x，y)=2x2y+lny+1=0得驻点为又因为fxx″(x，y)=2(2+y2)，fxy″(x，y)=4xy，fyy″(x，y)=2x2+则于是，A＞0，AC-B2＞0，故存在极小值知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、证明当x＞0时，ln(1+x)＞标准答案：令函数f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx当x＞0时，f′(x)=故f(x)在(0，+∞)内单调递增，因此f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)-arctanx＞0，即原不等式成立知识点解析：暂无解析4、设函数f(x)在[0，1]上可微，当0≤x≤1时0＜f(x)＜1且f′(x)≠1，证明有且仅有一点x∈(0，1)，使得f(x)=x标准答案：令函数F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]上连续，又由0＜f(x)＜1知，F(0)=f(0)-0＞0，F(1)=f(1)﹣1＜0，由零点定理知，在(0，1)内至少有一点x，使得F(x)=0，即f(x)=x，假设有两点x1，x2∈(0，1)，x1≠x2，使f(x1)=x1，f(x2)=x2，则由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)使f′(ξ)==1这与己知f′(x)≠1矛盾，命题得证。知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、函数f(x)=xsinxA、当x→∞时为无穷大B、在(﹣∞，+∞)内为周期函数C、在(﹣∞，+∞)内无界D、当x→∞时有有限极限标准答案：C知识点解析：采用排除法。当x→∞时，xsinx极限不存在，且不为无穷大，故排除选项A与选项D；显然xsinx非周期函数，故排除选项B；从而选项C正确。6、已知∫f(x)dx=xsinx2+C，则∫xf(x2)dx=A、xcosx2+CB、xsinx2+CC、x2sinx4+CD、x2cosx4+C标准答案：C知识点解析：f(x)=sinx2+xcosx2·2x=sinx2+2x2cosx2，进一步可知∫xf(x2)dx的导数为xf(x2)=x(sinx4+2x4cosx4)故选项C正确。7、下列各平面中，与平面x+2y-3z=6垂直的是A、2x+4y﹣6z=1B、2x+4y﹣6z=12C、D、﹣x+2y+z=1标准答案：D知识点解析：由平面方程x+2y-3z=6可知该平面的法向量为(1，2，﹣3)。由两平面垂直的条件是它们的法向量互相垂直，从而对应法向量内积为零。不难验证四个选项中只有选项D所表示平面的法向量(﹣1，2，1)与(1，2，﹣3)内积为零，故选项D正确。8、有些列关于数项级数的命题(1)若un≠0，则un必发散；(2)若un≥0，un≥un+1(n=1，2，3，…)且un=0，则un必收敛；(3)若un收敛，则丨un丨必收敛；(4)若un收敛于s，则任意改变该级数项的位置所得到的新的级数仍收敛于s，其中正确的命题个数为A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由级数收敛的必要条件，即若级数un收敛，则un=0，逆否命题为若un≠0，则级数un必发散。所以(1)正确；取un=可推出(2)错误；取un=(﹣1)n可推出(3)错误；交错级数收敛，若调整为则发散，所以(4)错误，所以选项B正确。9、已知F(x，y)=ln(1+x2+y2)+f(x，y)dxdy，其中D为xoy坐标平面上的有界闭区域且f(x，y)在D上连续，则F(x，y)在点(1，2)处的全微分为A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因为二重积分为一常数，进而和所以F(x，y)在点(1，2)的全微分为故选项A正确。四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、函数的定义域为________．标准答案：知识点解析：由取交集得答案为11、设函数在x=0处连续，则a=________．标准答案：﹣2．知识点解析：由题意知即12、无穷限积分∫﹣∞0xexdx=________．标准答案：﹣1．知识点解析：∫﹣∞axexdx=13、设函数f(x，y，Z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由三元方程x+y+z+xyz=0确定的函数，则fx′(0，1，-1)=________．标准答案：1知识点解析：暂无解析14、已知函数y=y(x)在任意点处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，若y(0)=π，则y(1)=________．标准答案：知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限标准答案：两次利用洛必达法则，得知识点解析：暂无解析16、求曲线在t=2处的切线方程与法线方程标准答案：当t=2时，由参数方程可得曲线上相应点的坐标为(2，4)曲线在该点的切线的斜率为故所求的切线方程为y﹣4=4(x﹣2)，即y=4x﹣4法线方程为即知识点解析：暂无解析17、(1)验证直线L1：与直线L2：平行；(2)求经过L1与L2的平面方程标准答案：(1)L1的方向向量={1，2，-2}×{5，﹣2，﹣1}=﹣3{2，3，4)，这与L2的方向向量{2，3，4)方向相同，所以L1PL2(2)法1：利用平面束方程(x+2y﹣2z﹣5)+Z(5x﹣2y—z)=0，以L2上的点(-3，0，