备考2025年高考数学一轮复习第一章单元质量测试(一)

单元质量测试(一)eq\a\vs4\al()时间：45分钟eq\a\vs4\al()满分：100分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2024·广东湛江爱周中学高三月考)设集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝()A．(－1，2) B．(－1，3)C．(2，3) D．(－1，＋∞)答案D解析由x2－2x－3<0，得－1<x<3，∴A＝{x|－1<x<3}，则A∪B＝{x|x>－1}＝(－1，＋∞)．故选D.2．(2024·山东潍坊昌乐二中高三月考)命题p：“∀x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤eq\f(1,2)”的否定为()A．∀x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2)B．∀x∉N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2)C．∃x∉N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2)D．∃x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2)答案D解析由全称量词命题∀x∈M，p(x)的否定为存在量词命题∃x∈M，¬p(x)，可得¬p：∃x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2).故选D.3．若m>n>0，p<q<0，则一定有()A.eq\f(m,q)>eq\f(n,p) B.eq\f(m,q)<eq\f(n,p)C.eq\f(m,p)>eq\f(n,q) D.eq\f(m,p)<eq\f(n,q)答案B解析由m>n>0，p<q<0，可得|m|>|n|>0，|p|>|q|>0，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n,p)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,q)))，而eq\f(m,p)，eq\f(m,q)，eq\f(n,p)，eq\f(n,q)均为负数，所以eq\f(n,p)>eq\f(m,q).而eq\f(m,p)与eq\f(n,q)的大小无法比较．故选B.4．已知集合A＝{x||x＋1|＜1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－2≥0))))，则A∩(∁RB)＝()A．(－2，－1) B．(－2，－1]C．(－1，0) D．[－1，0)答案C解析由题意知，A＝{x|－1＜x＋1＜1}＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|2－x≥2}＝{x|x≤－1}，∴∁RB＝{x|x＞－1}，∴A∩(∁RB)＝{x|－1＜x＜0}＝(－1，0)．故选C.5．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是()A．{x|x>5a或x<－a}B．{x|x>－a或x<5a}C．{x|－a<x<5a}D．{x|5a<x<－a}答案B解析依题意x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0，由于a<0，故5a<－a，所以原不等式的解集为{x|x>－a或x<5a}．故选B.6．(2024·湖南永州高三一模)“函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减”是“函数g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析因为函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，所以a<0，由函数g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函数，得g(x)＝g(－x)，即x4－(a＋1)x＝x4＋(a＋1)x，所以a＝－1，故“函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减”是“函数g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函数”的必要不充分条件．故选B.7．(2024·湖南常德一中开学考试)已知0<m<1，0<n<1，且2log4m＝log2(1－n)，则eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)的最小值是()A．18 B．16C．10 D．4答案B解析因为0<m<1，0<n<1，且2log4m＝log2(1－n)，所以log2m＝log2(1－n)，所以m＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(9,n)))(m＋n)＝10＋eq\f(n,m)＋eq\f(9m,n)≥10＋2eq\r(\f(n,m)×\f(9m,n))＝16，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(9m,n)，即m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(3,4)时，等号成立，所以eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)的最小值是16.故选B.8．已知a＞0，b＞0，定义H(a，b)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋22－b，\f(9,a)＋2b))，则H(a，b)的最小值是()A．5 B．6C．8 D．1答案A解析由定义H(a，b)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋22－b，\f(9,a)＋2b))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(H（a，b）≥a＋22－b，,H（a，b）≥\f(9,a)＋2b，))所以2H(a，b)≥a＋22－b＋eq\f(9,a)＋2b＝a＋eq\f(9,a)＋22－b＋2b≥2eq\r(a·\f(9,a))＋2eq\r(22－b·2b)＝6＋4＝10，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,a)，,22－b＝2b，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1))时取等号．所以H(a，b)≥5，即H(a，b)的最小值为5.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．(2024·福建莆田锦江中学高三第一次阶段考试)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中正确的是()A．a>0B．不等式bx＋c<0的解集为{x|x<－4}C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))D．a＋b＋c>0答案AD解析对于A，D，由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，得ax2＋bx＋c＝a(x－3)·(x－4)＝a(x2－7x＋12)，故a>0，b＝－7a，c＝12a，a＋b＋c＝6a>0，故A，D正确；对于B，bx＋c<0，解得x>eq\f(12,7)，故B错误；对于C，cx2－bx＋a<0即12ax2＋7ax＋a<0，解得－eq\f(1,3)<x<－eq\f(1,4)，故C错误．故选AD.10．(2023·河北沧县中学模拟)在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且abc＝2，则下列结论正确的是()A．a2b＜2＋ab2 B．ab＋a＋b＞2eq\r(2)C．a＋b2＋c2≥4 D．a＋b＋c≤2eq\r(2)答案ABC解析对于A，a2b＜2＋ab2，即a2b－ab2＜2，也就是ab(a－b)＜2＝abc，在△ABC中，ab＞0，a－b＜c，则ab(a－b)＜abc成立，故A正确；对于B，ab＋a＋b＞ab＋c≥2eq\r(abc)＝2eq\r(2)，故B正确；对于C，a＋b2＋c2≥a＋2bc≥2eq\r(2abc)＝4，当且仅当a＝2，b＝c＝1时取等号，故C正确；对于D，边长为1，eq\r(2)，eq\r(2)的三角形，满足abc＝2，但a＋b＋c＝1＋2eq\r(2)＞2eq\r(2)，故D错误．11．已知a，b为正实数，则下列命题正确的是()A．若a2－b2＝1，则a－b＜1B．若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，则a－b＜1C．若ea－eb＝1，则a－b＜1D．若lna－lnb＝1，则a－b＜1答案AC解析当a2－b2＝1时，(a－b)(a＋b)＝1，∵a＞0，b＞0，∴0＜a－b＜a＋b，∴a－b＝eq\f(1,a＋b)＜1，故A正确；当eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1时，不妨取a＝3，b＝eq\f(3,4)满足条件，则a－b＝eq\f(9,4)＞1，故B错误；由ea－eb＝1，可得ea－b＋b－eb＝eb(ea－b－1)＝1，∵b＞0，∴eb＞1，∴ea－b－1＜1，即ea－b＜2，∴a－b＜ln2＜lne＝1，故C正确；不妨取a＝e2，b＝e满足条件，则a－b＝e2－e＞1，故D错误．故选AC.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＜x＜4))))，B＝{x|ax－1≥0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析∵A∪B＝B，∴A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不满足A⊆B，舍去；当a＞0时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,a)))))，要使A⊆B，则eq\f(1,a)≤1，解得a≥1；当a＜0时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,a)))))，此时eq\f(1,a)＜0，不满足A⊆B，舍去．综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．13．(2023·北京西城区期末)已知三个不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．答案3解析将不等式②等价变形，eq\f(c,a)>eq\f(d,b)⇔eq\f(bc－ad,ab)>0.由ab>0，bc>ad，可得②成立，即①③⇒②；若ab>0，eq\f(bc－ad,ab)>0，则bc>ad，故①②⇒③；若bc>ad，eq\f(bc－ad,ab)>0，则ab>0，故②③⇒①.所以可以组成3个正确命题．14．(2023·山东师范大学附中模拟)已知随机变量X～N(4，σ2)，且P(X≤3)＝P(X≥a＋1)，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0＜x＜a)的最小值为________．答案eq\f(9,4)解析由正态分布的对称性可知3＋a＋1＝2×4，解得a＝4，因为0＜x＜4，所以4－x＞0，由基本不等式得eq\f(1,x)＋eq\f(4,4－x)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,4－x)))·[x＋(4－x)]＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4－x,x)＋\f(4x,4－x)＋4))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4－x,x)·\f(4x,4－x))))＝eq\f(9,4)，当且仅当eq\f(4－x,x)＝eq\f(4x,4－x)，即x＝eq\f(4,3)时等号成立，所以原不等式的最小值为eq\f(9,4).四、解答题(本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知a＞1，b＞1，M＝eq\f(a2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)，N＝eq\f(b2,a－1)＋eq\f(a2,b－1).(1)试比较M与N的大小；(2)分别求M，N的最小值．解(1)M－N＝eq\f(a2,a－1)－eq\f(b2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)－eq\f(a2,b－1)＝－eq\f(（a－b）2（a＋b）,（a－1）（b－1）)，因为a＞1，b＞1，所以a＋b＞0，a－1＞0，b－1＞0，(a－b)2≥0，所以－eq\f(（a－b）2（a＋b）,（a－1）（b－1）)≤0，所以M≤N.(2)因为M＝eq\f(a2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)＝eq\f