人教版初中数学同步讲义练习-9下第02讲 相似三角形及其性质（解析版）

第02讲相似三角形的性质及其判定课程标准学习目标①相似三角形的定义②相似三角形的性质③相似三角形的判定掌握相似三角形的定义及其表示方法。掌握相似三角形的性质并能够熟练应用。掌握相似三角形的判定并能够熟练的判定相似三角形。知识点01相似三角形的定义与性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。用符号“∽”来表示。若△ABC相似于△DEF，A对应D，B对应E，C对应F。则表示为△ABC∽△EDF。对应边的比叫做这两个三角形的相似比。相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。②相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。③相似三角形的面积的比等于相似比的平方。题型考点：①求相似三角形的相似比。②利用相似三角形的性质求值。【即学即练1】1．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠F的度数为（）A．30° B．80° C．70° D．60°【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D＝30°，∠B＝∠E＝80°，∠C＝∠F，∵∠D+∠E+∠F＝180°，∴∠F＝70°．故选：C．【即学即练2】2．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2【解答】解：∵AD＝1，BD＝2，∴AB＝AD+BD＝3．∵△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝1：3．∴△ADE与△ABC的相似比是1：3．故选：B．【即学即练3】3．若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（）A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是1：2，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的面积之比是：1：4，故选：D．【即学即练4】4．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2其中CB＝，DE的长为（）A．6 B． C． D．5【解答】解：∵△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，∴S△ABC：S△ADE＝1：3，∴，∵CB＝，∴DE＝，故选：B．【即学即练5】5．若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝8cm．【解答】解：△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，因而两个三角形面积的比是81：36，相似三角形面积的比等于相似比的平方，则相似比是9：6，则有12：DE＝9：6解得：DE＝8cm．故答案为：8．【即学即练6】6．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A． B．10 C．或10 D．以上答案都不对【解答】解：如图（1）当∠AED＝∠C时，即DE∥BC则AE＝AC＝10（2）当∠AED＝∠B时，△AED∽△ABC∴，即AE＝综合（1），（2），故选C．知识点02相似三角形判定的预备定理判定预备定理内容：平行于三角形其中一边的直线与另两边或两边的延长线相交，所得到的三角形与原三角形相似。图1图2如图1：△AOE∽△ABC；如图2，△AOB∽△COD题型考点：①利用预备定理进行相似三角形的判定。【即学即练1】7．如图，在△ABC中，点D在AB上，AD：BD＝1：2，DE∥BC交AC于E，下列结论中不正确的是（）A．BC＝3DE B．△ADE∽△ABC C． D．【解答】解：∵AD：BD＝1：2，∴AB＝3AD，∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，A结论正确；∵DE∥BC，∴＝，C结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，B结论正确；∵DE∥BC，AB＝3AD，∴S△ADE＝S△ABC，D结论错误，故选：D．【即学即练2】8．如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF．【解答】证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DF∥AC，∴△DBF∽△ABC，∴△ADE∽△DBF．知识点03相似三角形的判定定理1—三边成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似：若两个三角形三边的比相等，则这两个三角形相似。题型考点：①利用判定定理1判定三角形相似。【即学即练1】9．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？【解答】解：∵，∴这两个三角形相似．【即学即练2】10．如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别OA，OB，OC，上的点，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC．求证：△DEF∽△ABC．【解答】解：∵DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴△DEF∽△ABC．知识点04相似三角形的判定定理2—两边及其夹角判定判定定理2的内容：两个三角形的两组对应边的比相等且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。题型考点：①利用判定定理2判定三角形相似。【即学即练1】11．如图，点C在△ADE的边DE上，∠1＝∠2，，请说明△ABC∽△ADE．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，∵，∴，∴△ABC∽△ADE．【即学即练2】12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA．【解答】证明：∵BD＝1，DC＝3，∴BC＝BD+CD＝1+3＝4，∵＝，∴＝，∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA．【即学即练3】13．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，点P从B点出发沿BA方向以每秒1个单位移动，点Q从A出发沿AC方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动．试问经过几秒后，△ABC与△APQ相似？请说明理由．【解答】解：经过2秒后△ABC与△APQ相似．设经过t秒后△ABC∽△APQ，∵AB＝4，AC＝8，∴AP＝4﹣t，AQ＝2t，∴＝，即＝，解得t＝2．同理，当△ABC∽△AQP时，t＝综上所述，经过2或秒后，△ABC与△APQ相似．知识点05相似三角形的判定定理3—两角判定判定定理3的内容：两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。题型考点：①利用判定定理3判定三角形相似。【即学即练1】14．如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF．【解答】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC∽△DEF．【即学即练2】15．已知：如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE．【解答】证明：∵∠ADC＝∠2+∠ADE＝∠B+∠1，∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠B，∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE．【即学即练3】16．已知：如图AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，（1）证明图中的相似三角形；（2）若AB＝3，CD＝1，AC＝2，求AP的长．【解答】解：（1）△ABP∽△DCP．理由：∵∠B＝∠C，∠APB＝∠DPC∴△ABP∽△DCP；（2）连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC2＝AB2﹣AC2＝32﹣22＝5，∵△ABP∽△DCP，∴＝＝，设PC＝x，PB＝3x，∵PB2＝PC2+BC2，∴9x2＝x2+5，∴x＝，∴PA＝AC＝PC＝2﹣题型01相似三角形的性质求线段【典例1】在△ABC中，BC＝15cm，CA＝45cm，AB＝63cm，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，则最长边是（）A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm【解答】解：根据题意，这两个相似三角形的相似比是15：5＝3，最长边是63÷3＝21（cm）．故选：B．【典例2】如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点AD＝12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝16或9．【解答】解：①AD与AC是对应边时，∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，∴＝，即＝，解得AE＝16；②AD与AB是对应边时，∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，∴＝，即＝，解得AE＝9，∴AE＝16或9．故答案为：16或9．【典例3】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，∴＝，即＝，解得DF＝3，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，由勾股定理得：EF＝＝＝．【典例4】如图，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12．求AB，OC的长．【解答】解：∵OA＝2，AD＝9，∴OD＝9﹣2＝7，∵△AOB∽△DOC，∴＝＝，∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，∴＝＝，解得OC＝，AB＝．题型02相似三角形的性质求周长与面积【典例1】若△ABC∽△DEF，且面积比为4：9，其中△ABC的周长为6cm，则△DEF的周长是（）A．4cm B．9cm C．13.5cm D．9cm或13.5cm【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且面积比为4：9，∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为6cm，∴△DEF的周长是9cm，故选：B．【典例2】两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（）A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定【解答】解：∵两个相似三角形，其周长之比为3：2，∴其相似比为3：2，∴其面积比为9：4．故选：C．【典例3】在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A． B． C． D．【解答】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形是面积比为9：1，∴缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的，故选：C．【典例4】已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是36．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′的最短边为10，∴相似比是：＝，∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，故答案为：36．题型03相似三角形的判定【典例1】如图，点C，F在线段BD上，AB∥DE，，求证：△ABC∽△EDF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，∵，∴△ABC∽△EDF．【典例2】如图，点D是△ABC外一点，∠DAE＝∠BAC，∠AEC+∠ACB＝180°．求证：△DAB∽△EAC．【解答】证明：∵∠AEC+∠ACB＝180°，∠AEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠ACB，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC，即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，∴∠DAB＝∠EAC，而＝，∴△DAB∽△EAC．【典例3】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点P在BC上，且∠APD＝90°．求证：△ABP∽△PCD．【解答】证明：∵∠APD＝90°，∠B＝∠C＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，∴∠CPD＝∠BAP，又∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD．【典例4】在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，连接EF．求证：（1）△BAF∽△BCE；（2）△BEF∽△BCA．【解答】证明：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠CEB＝90°．∵∠B＝∠B，∴△BAF∽△BCE．（2）∵△BAF∽△BCE，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA．【典例5】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）△BPQ的面积可能是为5cm2吗？为什么？（2）在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？并说明理由．【解答】解：（1）不存在，理由如下：由勾股定理得：BC＝＝10，∴sin∠B＝，∵BP＝8﹣2t，BQ＝2t，sin∠B＝，如图，在Rt△BPM中，∵sinB＝，∴PM＝PB•sinB，∴S△BPQ＝，即：＝5，整理得：6t2﹣24t+25＝0，Δ＝242﹣4×6×25＝576﹣600＝﹣24＜0，方程无解，即不存在△BPQ的面积为5cm2．（2）△BPQ与△ABC相似有两种情况：①当∠BPQ＝90°时，即PQ∥AC的相似，∴，∴，解得：t＝，②当∠BQP＝90°时，即PQ与AC不平行时的相似．∴，∴，解得：t＝．综上分析：当t＝时△BPQ与△ABC相似．题型04相似三角形的判定与性质【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE＝BC，连接AE，AE与CD交于点F．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）求DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，∴△ADF∽△ECF；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD＝8，∴，即．∵△ADF∽△ECF，∴，即．∵CD＝DF+CF，∴．【典例2】如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE；（2）平行四边形ABCD中，DC＝AB，由（1）得△ADE∽△DBE，∴，∵DC＝7cm，BE＝9cm，∴AB＝7cm，AE＝16cm，∴DE＝12cm．【典例3】如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点E．（1）求证：；（2）若AB＝4，BC＝6，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，∴∠B＝∠AFD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ADF∽△EAB，∴＝．（2）解：∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝＝5．∵＝，∴＝，∴AF＝．【典例4】小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：（1）如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC；（2）如图2，已知∠A＝81°，AC2＝AB•AD，BC＝BD，求∠ABC的度数．【解答】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，∴△ACP∽△ABC；（2）解：∵AC2＝AB•AD，∴AD：AC＝AC：AB，又∵∠CAB＝∠DAC，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB＝∠D，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠D，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝2∠D，∵∠ACD+∠D+∠A＝180°，∠A＝81°，∴2∠D+∠D+81°＝180°，∴∠D＝33°，∴∠BCD＝∠D＝33°，∴∠ABC＝∠BCD+∠D＝66°．题型04相似三角形的应用【典例1】同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像A′B'的高度为（）A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm【解答】解：如图：∵AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OM：OM′，∵OM：OM′＝1：2，∴AB：A′B′＝1：2，∵AB＝1.6cm，∴A′B′＝2×1.6＝3.2cm，故答案选：C．【典例2】如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12m，则楼高CD是（）A．9m B．9.6m C．10.2m D．11.2mm【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.2m，AB＝1.6m，BC＝12m，∴AC＝AB+BC＝13.6（m），∴，∴CD＝10.2m．答：楼高CD是10.2m．故选：C．【典例3】如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是（）A．74.2m B．77.8m C．79.6m D．79.8m【解答】解：在△DEF和△DCB中，∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB，∴＝，即＝，解得：BC＝76（m），∵AC＝1.8m，∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m），即步云阁77.8m，故选：B．【典例4】四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BE＝2.5，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，∵四边形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°，∵∠AHB＝∠EHF，∴△ABH∽△FEH，∴＝，∴＝，∴EF＝4，∴BG＝EF＝4，故选：A．1．两个相似三角形的周长之比是，则它们的面积之比为（）A．1：3 B．3：1 C． D．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：，∴两个相似三角形的相似比为1：，∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，∴它们相应的面积之比是1：3．故选：A．2．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（）A． B． C． D．6【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，∴S△ABC：S△ADE＝1：3，∵△ABC∽△ADE，∴＝，∵CB＝，∴DE＝．故选：A．3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．4．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（）A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08【解答】解：∵AB∥CD，∴△COD∽△BOA，∴，∴，∴x＝0.96，故选：B．5．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，点A、B、C、D为不同的点且都在格点上，如果∠ADC＝∠ABC，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：如图，满足条件的点D有9个．故选：D．6．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝2，CD＝3，则AC的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【解答】解：∵AC平分∠BAD，∴，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC•CE，∴32＝2（2+AE），∴AE＝2.5，∴AC＝AE+CE＝4.5，故选：B．7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是DC的延长线的一个动点，连接OE交BC于点F，当CE＝1时，BF的长是（）A．6 B．6.2 C．6.75 D．7【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOG和△COF中，，∴△AOG≌△COF（ASA），∴AG＝CF，∵AD∥BC，∴△CFE∽△DGE，∴，∴，∵AD＝8，∴AG＝×8＝1，∴CF＝AG＝1，∴BF＝7．故选：D．8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接CE，过点C作CF⊥CE交AD的延长线于点F，连接EF，EF分别交CD、AC于点G、H，M是EF中点，连接DM，则下列结论：①BE＝DF；③FH•GE＝CE2；③∠CDM＝45°；④若AE＝AH，则，正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠BCE+∠ECD＝90°．∵CF⊥CE，∴∠FCD+∠ECD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF．在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF．∴①的结论正确；∵△BCE≌△DCF，∴CE＝CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝∠CFE＝45°．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠CFE．∵∠CHG＝∠FHC，∴△CHG∽△FHC，∴∠HGC＝∠HCF．∵∠CEF＝∠CFE＝45°，∴△EGC∽△FCH，∴，∴CE•CF＝GE•FH，∴CE2＝GE•FH，∴②的结论正确；连接CM，如图，∵△CEF为等腰直角三角形，M是EF中点，∴CM⊥EF，CM＝EM＝FM，∴∠MCF＝∠MCE＝45°，∴△CME为等腰直角三角形，∴CE＝CM，∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝CD，∴．∵∠ECH+∠MCH＝45°，∠MCD+∠MCH＝45°，∴∠ECH＝∠MCD，∴△ECA∽△MCD，∴∠CAE＝∠CDM＝45°∴③的结论正确；在BC上取一点N，使BE＝BN，连接EN，∵AE＝AH，∠BAC＝45°，∴∠AEH＝∠AHE＝67.5°，∴∠CHF＝∠AHE＝67.5°，∵∠ACD＝45°，∴∠CGH＝180°﹣∠ACD﹣∠CHF＝67.5°，∵∠CGH＝∠CFE+∠GCF，∴∠GCF＝22.5°，∴∠ECB＝∠GCF＝22.5°．∵BE＝BN，∠B＝90°，∴∠BEN＝∠BNE＝45°，∵∠BNE＝∠NEC+∠BCE，∴∠BCE＝∠NEC＝22.5°，∴NE＝CN．设BE＝BN＝m，∴NE＝BE＝m，∴CN＝NE＝m，∴BC＝BN+NC＝（+1）m，∴．∴④的结论正确．综上，正确的结论有：②②③④．故选：D．9．D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，如果∠A＝45°，AB＝2，AD＝1，AC＝3，那么要使△ABC和△ADE相似，则AE＝或．【解答】解：要使△ABC和△ADE相似，如图1，∠ADE＝∠B，∴＝，∵AB＝2，AD＝1，AC＝3，∴＝，∴AE＝；如图2，∠ADE＝∠C，∴＝，∵AB＝2，AD＝1，AC＝3，∴＝，∴AE＝；故答案为：或．10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，则旗杆AB的高度为13.5m．【解答】解：设CD与EH交于G，∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴，即：，∴，∴AH＝11.9，∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．故答案为：13.5．11．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是54或平方厘米．【解答】解：（1）分别延长CD，BA交于M，连接BD，设△MBC的面积是S（cm2），∵∠C＝∠DAB＝90°，∴DC2+BC2＝AB2+AD2＝BD2，∴22+92＝72+AD2，∴AD＝6（cm），∴△ADB的面积＝AD•AB＝×6×7＝21（cm2），△DCB的面积＝DC•BC＝×2×9＝9（cm2），∴四边形ABCD的面积＝21+9＝30（cm2），∴△DMA的面积＝（S﹣30）（cm2），∵∠M＝∠M，∠MAD＝∠MCB，∴△MDA∽△MBC，∴＝＝＝，∴＝，∴S＝54（cm2）．（2）分别延长AD，BC交于N，设△NAB的面积是S′（cm2），由（1）知四边形ABCD的面积＝30（cm2），∵∠N＝∠N，∠NCD＝∠A＝90°，∴△NCD∽△NAB，∴＝＝＝，∴＝，∴S′＝（cm2），∴原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或cm2．故答案为：54或．12．如图，四边形ABCD是正方形，点F是边AB上的一点，连接DF，点E是边BC延长线上的一点，且DF⊥DE，连接AC交EF于点Q，若，AF＝1，则EF的长为．【解答】解：过点Q作QH⊥BE于点H，如图：设AQ＝5x，CQ＝3x，则AC＝8x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝DC＝＝4x，∠HCQ＝∠HQC＝45°，∴CH＝CQ＝＝x，∵DF⊥DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴AF＝CE＝1，∴BF＝4x﹣1，HE＝x+1，BE＝4+1，∵AB∥HQ，∴△BFE∽△HQE，∴，∴，解得x＝，∴BF＝4×﹣1＝1，BE＝4×+1＝3，∴EF＝＝＝，故答案为：．13．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）【解答】解：∵CD⊥BG，FG⊥BG，∴∠CDE＝∠FGE＝