人教版初中数学同步讲义练习-9下第03讲 位似（解析版）

第03讲位似课程标准学习目标①位似的定义与性质②平面直角坐标系中的位似掌握位似图形的概念与位似图形的性质，并且能够熟练的应用其性质解决相关题目。掌握平面直角坐标系中的位似，能够利用位似的性质进行求解坐标与作图等。知识点01位似图形的概念位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。题型考点：①位似图形的概念理解。②位似关系的判断；③确定位似中心【即学即练1】1．下列命题不正确的是（）A．两个位似图形一定相似 B．位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行 C．两个位似图形的位似比就是相似比 D．两个相似图形一定是位似图形【解答】解：根据位似图形变换性质知：位似是相似的特殊形式；A、两个位似图形一定相似，故正确；B、两个位似图形一定相似位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行，故正确；C、两个位似图形的位似比就是相似比，故正确；D、两个相似图形不一定是位似图形，故错误．故选：D．【即学即练2】2．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D．【即学即练3】3．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点M B．点N C．点O D．点P【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，故选：D．【即学即练4】4．用直尺画出下面位似图形的位似中心．【解答】解：如图，点O、P、Q分别为位似图形的位似中心.知识点02位似图形的性质位似图形的性质：①位似图形的特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质。②位似图形的对应点连线交于一点，即位似中心。对应边相互平行或在同一直线上。③位似图形任意一组对应点到位似中心的距离的比值等于相似比。题型考点：①利用位似图形的性质求值。【即学即练1】5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（）A．9 B．12 C．16 D．36【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝4，∴S△DEF＝36，故选：D．【即学即练2】6．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OA：AD＝1：2，△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（）A．6 B．9 C．12 D．27【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．OA：AD＝1：2，∴△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，∴△DEF的周长为3×3＝9．故选：B．【即学即练3】7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC：OF＝3：2，则△ABC的周长与△DEF周长之比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的周长与△DEF周长之比＝3：2．故选：A．【即学即练4】8．如图，△A′B′C和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'＝2AA'，则△A′B′C和△ABC的相似比为（）A．1：4 B．1：3 C．4：9 D．2：3【解答】解：∵OA'＝2AA'，∴OA：OA'＝2：3，∵△A′B′C和△ABC是位似三角形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴＝＝，故选：D．知识点03用坐标表示位似用坐标表示位似：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k。即若A（x，y），以原点为位似中心，相似比为k的对应点的坐标为。题型考点：①求对应点的坐标。②求位似中心的坐标。【即学即练1】9．如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△DEF．若△DEF与△ABC的相似比为2：1．则点F的坐标为（）A．（2，4） B．（2，2） C．（6，2） D．（7，2）【解答】解：∵△ABC与△DEF位似．△DEF与△ABC的相似比为2：1，∴△ABC与△DEF位似比为1：2，∵点C的坐标为（3，1），∴点F的坐标为（3×2，1×2），即（6，2），故选：C．【即学即练2】10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，4），B（6，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（6，8） B．（4，4）或（﹣4，﹣4） C．（﹣6，﹣8） D．（6，8）或（﹣6，﹣8）【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（3，4），∴点A的对应点A'的坐标为（3×2，4×2）或（3×（﹣2），4×（﹣2）），即（6，8）或（﹣6，﹣8），故选：D．【即学即练3】11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（8，0），B（0，6），以某点为位似中心，作出△AOB的位似图形△CED，则位似中心的坐标为（）A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．（0，6）【解答】解：延长OE、AC交于点P，∵△AOB和△CED是位似图形，∴点P为位似中心，由图可知，点P的坐标为（2，2），故选：C．【即学即练4】12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A（3，0），B（2，﹣1），C（6，0），则点B的对应点D的坐标为（）A．（4，﹣2） B．（6，﹣3） C．（4，2） D．（6，3）【解答】解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∴点B的坐标为（2×2，﹣1×2），即（4，﹣2），故选：A．知识点04位似作图位似作图：利用位似，可以将一个图形放大或缩小，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心和图形关键点。分别作他们所在的直线。②根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点。③顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。题型考点：①进行位似作图。【即学即练1】13．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（）A． B． C． D．【解答】解：画出图形，如图所示：故选：D．【即学即练2】14．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到的图形画出来．【解答】解：如图，△A'B'C'与△A''B''C''均满足题意．【即学即练3】15．在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作．（2）如图，△A2B2C2即为所作．【即学即练4】16．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）以原点O为位似中心，在网格中y轴右侧作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2；（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C即为所求．题型01利用位似的性质求值【典例1】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故选：C．【典例2】如图，△ABC与△DEF关于点O位似，且相似比为3：4，则AB与DE的比为（）A．3：4 B．2：7 C．9：16 D．4：3【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O位似，∴△ABC∽△DEF，∵△ABC与△DEF的相似比为3：4，∴AB与DE的比为3：4，故选：A．【典例3】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为（）A．4：7 B．4：3 C．3：4 D．16：9【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∵△ABC与△DEF的周长之比是4：3，∴AB：DE＝4：3，∵AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AO：DO＝AB：DE＝4：3，故选：B．【典例4】如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB'＝1：2，则四边形ABCD与A'B'C'D'的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：3【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OB：OB'＝1：2，∴四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为1：2，∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为1：2．故选：A．【典例5】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC＝，则线段DF的长度为（）A． B． C． D．【解答】解：∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，A（﹣2，0），D（3，0），∴△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，∴＝，∵AC＝2，∴DF＝3，故选：B．题型02坐标表示位似【典例1】如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，已知点A（2，1），则位似中心的坐标是（）A．（1，5） B．（4，2） C．（1，4） D．（5，2）【解答】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心，如图，∴M点坐标为（4，2），故答案为：B．【典例2】如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（）A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6）【解答】解：∵①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为（﹣2，3）∴点P的坐标为（﹣2×2，3×2），即（﹣4，6），故选：D．【典例3】如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．故选：D．【典例4】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2） C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，B（﹣6，﹣4），点B'的对应点A'的坐标为（﹣6×2，﹣4×2）或（﹣6×（﹣2），﹣4×（﹣2）），即点B'的坐标为（﹣12，﹣8）或（12，8），故选：D．【典例5】如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A． B．或 C．（﹣8，16） D．（﹣8，16）或（8，﹣16）【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点A的坐标为（﹣2，4），∴点A的对应点A′的坐标为（﹣2×，4×）或（﹣2×（﹣），4×（﹣）），即（﹣，1）或（，﹣1），故选：B．题型03位似规律题【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，2），以点O为位似中心，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2；再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2⋯⋯以此类推，则点B2023的坐标为（﹣22023，﹣22024）．【解答】解：根据题意，点B的坐标为（1，2），在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2，则B1（﹣2，﹣4），再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2，则B2（4，8），……所以，点，故点B2023的坐标为（﹣22023，﹣22024）．故答案为：（﹣22023，﹣22024）．【典例2】如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是（﹣1，）；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．【解答】解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．故答案为（﹣1，），（﹣，）．题型04位似作图【典例1】如图，点P（﹣6，6）和△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；（2）以点P为位似中心作△DEF，使△DEF与△A'B'C'位似，且这两个三角形在点P的同侧，相似比为2，并写出点A'的对应点D的坐标．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．（2）如图，△DEF即为所求．点D的坐标为（﹣2，2）．【典例2】如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；（3）直接写出点A2和点C2的坐标．【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2BC2即为所求；（3）依据图2可知，A2（1，1），C2（﹣3，﹣1）．【典例3】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1；（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2；（3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所作图形；（2）如图，△O2A2B2即为所作图形；（3）△OA1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为（﹣4，2）．【典例4】如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转180°后得到的图形．（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△OA′B′即为所求；（2）如图所示△OCD即为所求，D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．1．若两个直角三角形都有一个30°的内角，则这两个直角三角形一定（）A．全等 B．相似 C．位似 D．无法确定【解答】解：如果两个直角三角形都有一个30°的内角，那么这两个三角形有两角对应相等，所以这两个三角形相似，因为没有给出对应边的关系，所以两个三角形不一定全等，故选：B．2．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是（）A．△DEF B．△DHF C．△GEH D．△GDH【解答】解：∵△ABC与△GEH是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，∴△ABC与△GEH是位似图形，故选：C．3．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．故选：A．4．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝5，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，∴△OAB∽△OCD，∴．故选：A．5．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△DEF和△ABC的面积比是（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△DEF，∵△ABC和△DEF的相似比为2：3，∴△DEF与△ABC和的相似比为3：2，∴△DEF和△ABC的面积比为9：4，故选：B．6．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，∴△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴BC：EF＝1：2，即2：EF＝1：2，解得EF＝4，即EF的长度为4．故选：B．7．如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝3：4，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（）A．2：3 B．3：4 C．3：7 D．9：16【解答】解：∵五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，∴AB∥A1B1，∴△OAB∽△OA1B1，∴＝＝，∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比为：（）2＝，故选：D．8．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）【解答】解：如图，连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为（0，2），故选：C．9．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为1：3．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故答案为：1：3．10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B对应点B'的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．【解答】解：∵点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点B的对应点B′的坐标是：（﹣9×，﹣3×）或[﹣9×（﹣），﹣3×（﹣）]，即（﹣3，﹣1）或（3，1）．故答案为：（﹣3，﹣1）或（3，1）．11．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣2）或（3，2）．【解答】解：∵△A′B′O与△ABO位似，以原点O为位似中心，且相似比为1：2，B（﹣6，﹣4），∴点B的对应点B′的坐标是（﹣6×，﹣4×）或（﹣6×（﹣），﹣4×（﹣）），即（﹣3，﹣2）或（3，2），故答案为：（﹣3，﹣2）或（3，2）．12．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶