高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第05讲复数(分层精练)(原卷版+解析)

第05讲复数(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知为虚数单位，复数，则（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·统考二模）已知，则（

）A．2 B． C．4 D．103．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（

）A．1 B． C．0 D．5．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在复数范围内解得方程的两根为，则（

）A．4 B．1 C．2 D．36．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）若复数z满足，则（

）A． B． C． D．7．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知（，i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．8．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）已知复数，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要二、多选题9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知复数，则下列选项正确的是（

）A．z的虚部为1B．C．为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第一象限10．（2023·吉林·统考二模）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．的共轭复数是B．的虚部是C．D．若复数满足，则的最大值是11．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（

）A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数C．的模长等于 D．的共轭复数为12．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知，且，则（

）A．当时，必有B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆C．D．三、填空题13．（2023·高三课时练习）若关于x的方程有实数根，则锐角______．14．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．四、解答题15．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，若复数对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在的图象上，分别求实数的取值范围．16．（2023·高一课时练习）已知复数，求的值．B能力提升1．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（

）A．3 B．2 C．0 D．13．（2023·全国·高一专题练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数、指数函数与三角函数联系起来，将指数函数的定义域扩充为复数域，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，的共轭复数在复平面内所对应的点位于第______象限．4．（2023·高三课时练习）（1）已知，，求证：；（2）求函数的最小值．C综合素养1．（2023·高一课时练习）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（

）．A．；B．；C．；D．在复平面内对应的点位于第二象限．2．（2023·高一课时练习）已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是______．3．（2023·高一课时练习）对于复数，，称复数是关于的变换．(1)计算复数关于的变换的结果；(2)若复数关于的变换在复平面上所对应的点在线段上，求．4．（2023·高一单元测试）已知复数是虚数单位.(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.第05讲复数(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知为虚数单位，复数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以.故选：D.2．（2023·福建福州·统考二模）已知，则（

）A．2 B． C．4 D．10【答案】B【详解】因为，所以，所以.故选：B.3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】已知，得，所以，所以其在复平面内对应的点为，在第四象限；故选:D4．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【详解】解：，所以，，的实部为0．故选：C5．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在复数范围内解得方程的两根为，则（

）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由题意，在中，解得：，∴，故选：C.6．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）若复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由可得，所以.故选：A7．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知（，i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为（，i为虚数单位），所以，所以，所以，故选：B8．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）已知复数，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【详解】设，，当时，即，，充分性；取，则，，不必要性.综上所述：“”是“”的充分不必要条件.故选：A二、多选题9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知复数，则下列选项正确的是（

）A．z的虚部为1B．C．为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第一象限【答案】AC【详解】，则z的虚部为1，选项A正确；，选项B错误；为纯虚数，选项C正确；在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；故选：AC．10．（2023·吉林·统考二模）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．的共轭复数是B．的虚部是C．D．若复数满足，则的最大值是【答案】AD【详解】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，复数的虚部为，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，令，则，即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.故选：AD.11．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（

）A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数C．的模长等于 D．的共轭复数为【答案】ABC【详解】对于A：，对应的点位于第二象限，故A正确；对于B：，为纯虚数，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.故选：ABC.12．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知，且，则（

）A．当时，必有B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆C．D．【答案】BD【详解】A项：，故错误；B项：因为，故正确；C项：，当与i对应向量同向时取等，故错误；D项：，当与对应向量反向时取等，故正确.故选：BD.三、填空题13．（2023·高三课时练习）若关于x的方程有实数根，则锐角______．【答案】【详解】，，若关于x的方程有实数根，则，解得，则锐角，故答案为：.14．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．【答案】-2【详解】，由，所以复数为实数，则，，此时，满足.故答案为：-2四、解答题15．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，若复数对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在的图象上，分别求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）；（3）．【详解】复数的实部为，虚部为．（1）由题意得，解得或；（2）由题意，得，解得；（3）由已知得，解得．16．（2023·高一课时练习）已知复数，求的值．【答案】【详解】解：因为，所以所以所以，，所以B能力提升1．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】设，则因为，所以因为，所以，即.当时，，即，有两组满足条件，当时，或，所以，，但时，不符合题意，故个数为4，故选：C.2．（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（

）A．3 B．2 C．0 D．1【答案】D【详解】对于①，的平方根有两个，分别为和，故①错误；对于②，1的平方根是和1，故②错误；对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；对于④，设的平方根为，则，即，故，解得或，所以的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故④正确；综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为.故选：D.3．（2023·全国·高一专题练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数、指数函数与三角函数联系起来，将指数函数的定义域扩充为复数域，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，的共轭复数在复平面内所对应的点位于第______象限．【答案】二【详解】依题意得,，其共轭复数的实部,虚部分别为，，因为,所以,因此的共轭复数在复平面内所对应的点位于第二象限,故答案为：二.4．（2023·高三课时练习）（1）已知，，求证：；（2）求函数的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）5【详解】（1）设复平面上的点，是复数，所对应的点，∴向量，是复数，所对应的向量，∴，，当，不共线时，平行四边行对角线所成向量（如下图所示），∴向量，是复数所对应的向量，∴，∴在中由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”的性质可得，，，∴；当且仅当，共线且方向相同，即且时，，当且仅当，共线且方向相反，即且时，，综上所述，.（2）∵∴令，，，∴由第（1）问证明的不等式，有则，当且仅当且，即时，等号成立.∴时，函数的最小值为.C综合素养1．（2023·高一课时练习）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（

）．A．；B．；C．；D．在复平面内对应的点位于第二象限．【答案】B【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确：对于C，因为，，所以，故C错误；对于D，依题意可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，因为，所以，则该点位于第四象限，故D错误.故选：B.2．（2023·高一课时练习）已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是______．【答案】【详解】由已知，虚数也是实系数一元二次方程的根，所以，解得，，则、的坐标为，，所以，，因是钝角，故，解得，又当，共线时有，即．所以的取值范围是．故答案为：3．（2023·高一课时练习）对于复数，，称复数是关于的变换．(1)计算复数关于的变换的