空气动力学数值方法：有限元法(FEM)与计算流体力学(CFD)高级专题

空气动力学数值方法：有限元法(FEM)与计算流体力学(CFD)高级专题1空气动力学基础1.1流体动力学基本方程流体动力学基本方程是描述流体运动的数学模型，主要包括连续性方程、动量方程和能量方程。这些方程基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，是计算流体力学(CFD)分析的基础。1.1.1连续性方程连续性方程描述了流体质量的守恒，即在任意控制体积内，流体的质量不会凭空产生或消失，只能通过边界流入或流出。对于不可压缩流体，连续性方程可以简化为：∂其中，u、v和w分别是流体在x、y和z方向的速度分量。1.1.2动量方程动量方程描述了流体动量的守恒，即流体在某一方向上的动量变化等于作用在该方向上的外力。对于三维不可压缩流体，动量方程可以表示为：∂∂∂其中，ρ是流体密度，p是流体压力，ν是流体的动力粘度，fx、fy和1.1.3能量方程能量方程描述了流体能量的守恒，包括内能和动能。对于不可压缩流体，能量方程可以简化为：∂其中，T是流体温度，α是热扩散率，q是单位体积的热源，cp1.2边界条件与初始条件在进行CFD分析时，边界条件和初始条件的设定至关重要，它们直接影响计算结果的准确性和稳定性。1.2.1边界条件边界条件包括：-入口边界条件：通常设定为给定的速度和温度。-出口边界条件：可以设定为零压力梯度或给定的压力。-壁面边界条件：通常设定为无滑移条件，即流体速度在壁面处为零。-对称边界条件：在对称面上，流体的速度分量垂直于对称面为零，而平行于对称面的分量保持不变。1.2.2初始条件初始条件是指在计算开始时，流体的速度、压力和温度等物理量的分布。初始条件的选择应尽可能接近实际状态，以减少计算过程中的不稳定现象。1.3流体流动类型分析流体流动类型分析是根据流体的雷诺数(Reynoldsnumber)来判断流体流动的性质，主要包括层流和湍流。1.3.1雷诺数雷诺数是流体流动中惯性力与粘性力的比值，定义为：R其中，U是流体的特征速度，L是流体的特征长度，μ是流体的动力粘度，ν是流体的运动粘度。1.3.2层流与湍流层流：当雷诺数较低时，流体流动呈现出层状、有序的流动状态，流体分子之间的相互作用主要由粘性力控制。湍流：当雷诺数较高时，流体流动呈现出混沌、无序的流动状态，流体分子之间的相互作用主要由惯性力控制。1.3.3示例：计算雷诺数假设在某一管道内，流体的特征速度U=10m/s#定义流体的特征速度、特征长度和运动粘度

U=10#m/s

L=0.1#m

nu=1.5e-5#m^2/s

#计算雷诺数

Re=U*L/nu

print(f"雷诺数为：{Re}")输出结果为：雷诺数为：666666.6666666667由于计算出的雷诺数远大于2300，可以判断该管道内的流体流动为湍流。以上就是关于“空气动力学基础”的详细介绍，包括流体动力学基本方程、边界条件与初始条件以及流体流动类型分析。在实际的CFD分析中，这些原理和方法将被用于建立和求解流体动力学模型，以预测和分析流体的运动行为。2有限元法(FEM)原理2.1FEM基本概念有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值分析方法，用于求解复杂的工程问题，如结构分析、热传导、流体动力学等。FEM的基本思想是将连续的物理域离散化为有限个子域，即“有限元”，然后在每个子域内用简单的函数（如多项式）来近似描述物理量的变化。这种方法能够处理形状复杂的几何体和非线性问题，是现代工程分析中不可或缺的工具。2.1.1节点与单元在FEM中，物理域被划分为许多小的、相互连接的区域，称为单元。单元的边界上的点称为节点。物理量（如位移、温度、压力）在节点上被定义，而在单元内部，物理量通过节点上的值和单元形状函数来插值。2.1.2形状函数形状函数是描述单元内部物理量变化的函数。对于一维问题，形状函数可以是线性的；对于二维和三维问题，形状函数可以是多项式的。例如，在一维线性单元中，形状函数可以表示为：#一维线性单元的形状函数

defshape_function(x,xi):

"""

计算一维线性单元的形状函数值。

参数:

x:单元内部的坐标

xi:节点位置的无量纲坐标

返回:

N:形状函数值

"""

ifxi==0:

N=1-x

elifxi==1:

N=x

returnN2.2变分原理与加权残值法变分原理是FEM理论的基础之一，它基于能量最小化原理。在结构分析中，变分原理可以表述为：在给定的边界条件下，结构的总势能最小。加权残值法则是将微分方程的残差与一组权重函数相乘，然后在每个单元内积分，以形成离散的方程组。2.2.1加权残值法示例考虑一个简单的热传导问题，其微分方程为：−其中，k是热导率，T是温度，q是热源。应用加权残值法，选择权重函数w，则有：Ω2.2.2代码示例下面是一个使用加权残值法求解上述热传导问题的简单Python代码示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

defweighted_residuals(k,q,N,dNdx,w,x):

"""

计算加权残值法的离散方程。

参数:

k:热导率

q:热源

N:形状函数

dNdx:形状函数的导数

w:权重函数

x:单元内部的坐标

返回:

A:系数矩阵

b:右手边向量

"""

n_nodes=len(N)

A=np.zeros((n_nodes,n_nodes))

b=np.zeros(n_nodes)

foriinrange(n_nodes):

forjinrange(n_nodes):

A[i,j]=np.trapz(w[i]*k*dNdx[j],x)

b[i]=np.trapz(w[i]*q,x)

returnA,b

#定义问题参数

k=1.0#热导率

q=1.0#热源

x=np.linspace(0,1,100)#单元内部坐标

N=[shape_function(x,0),shape_function(x,1)]#形状函数

dNdx=[np.gradient(N[0],x),np.gradient(N[1],x)]#形状函数的导数

w=N#权重函数选择为形状函数

#计算离散方程

A,b=weighted_residuals(k,q,N,dNdx,w,x)

#解方程

T=spsolve(diags(A),b)2.3有限元离散化过程有限元离散化过程包括以下步骤：几何离散化：将连续的物理域划分为有限个单元。选择形状函数：在每个单元内选择适当的形状函数。建立离散方程：应用变分原理或加权残值法，建立每个单元的离散方程。组装全局方程：将所有单元的离散方程组装成一个全局方程组。施加边界条件：根据问题的边界条件，修改全局方程组。求解方程：使用数值方法求解全局方程组，得到物理量的近似解。2.3.1几何离散化示例假设我们有一个长度为1的杆，需要将其离散化为10个单元。每个单元的长度为0.1。#几何离散化示例

n_elements=10#单元数量

length=1.0#杆的总长度

element_length=length/n_elements#单元长度

#计算每个单元的节点位置

nodes=np.linspace(0,length,n_elements+1)2.3.2组装全局方程示例在每个单元内建立离散方程后，需要将这些方程组装成一个全局方程组。这通常涉及到将每个单元的方程的系数矩阵和常数向量添加到全局矩阵和向量中。#组装全局方程示例

defassemble_global_matrix(A_elements,n_nodes):

"""

组装所有单元的离散方程系数矩阵为全局矩阵。

参数:

A_elements:所有单元的系数矩阵列表

n_nodes:总节点数

返回:

A_global:全局系数矩阵

"""

A_global=np.zeros((n_nodes,n_nodes))

fori,Ainenumerate(A_elements):

#添加到全局矩阵中

A_global[i:i+2,i:i+2]+=A

returnA_global

#假设我们有10个单元的系数矩阵

A_elements=[Afor_inrange(n_elements)]

#组装全局矩阵

A_global=assemble_global_matrix(A_elements,n_elements+1)通过以上步骤，我们可以使用有限元法来求解复杂的工程问题，如空气动力学中的流体流动问题。FEM提供了一种灵活且强大的方法，能够处理各种边界条件和材料属性，是计算流体力学（CFD）中不可或缺的工具。3计算流体力学(CFD)概览3.1CFD发展历程计算流体力学（ComputationalFluidDynamics,CFD）的发展历程可以追溯到20世纪50年代，随着计算机技术的飞速进步，CFD逐渐成为流体力学研究的重要工具。起初，CFD主要依赖于有限差分法，用于解决简单的流体动力学问题。到了70年代，随着有限体积法的引入，CFD开始能够处理更为复杂的流体流动问题，包括湍流、多相流等。进入90年代，随着高性能计算的普及，CFD软件开始商业化，如FLUENT、STAR-CCM+等，使得CFD技术在工业设计、航空航天、汽车制造等领域得到广泛应用。3.2CFD在空气动力学中的应用在空气动力学领域，CFD被广泛应用于飞机、汽车等交通工具的设计与优化。通过CFD模拟，工程师可以预测和分析流体在物体表面的流动特性，如压力分布、气动阻力、升力等，从而优化设计，提高性能。例如，使用CFD可以模拟飞机在不同飞行条件下的气动特性，帮助设计更高效的机翼形状，减少阻力，提高燃油效率。3.2.1示例：使用OpenFOAM计算二维翼型的气动特性假设我们有一个NACA0012翼型，我们想要使用OpenFOAM计算其在不同攻角下的气动特性。数据样例翼型几何：NACA0012翼型的二维几何数据。流体条件：速度为100m/s，攻角为5度，流体为标准大气条件下的空气。代码示例#创建翼型几何

blockMeshDict>system/blockMeshDict

#设置流体条件

0/U>0/U

0/p>0/p

#运行OpenFOAM求解器

simpleFoam在system/blockMeshDict文件中，我们定义翼型的网格：convertToMeters1;

//Meshgrading

boundary

(

inlet

{

typepatch;

faces

(

(0123)

);

}

outlet

{

typepatch;

faces

(

(891011)

);

}

wing

{

typewall;

faces

(

(4567)

);

}

frontAndBack

{

typeempty;

faces

(

);

}

);

//Meshdefinition

vertices

(

(000)//0

(0.0100)//1

(0.010.010)//2

(00.010)//3

(-0.010.010)//4

(-0.010.020)//5

(-0.020.020)//6

(-0.020.010)//7

(-0.030.010)//8

(-0.0300)//9

(-0.0400)//10

(-0.040.010)//11

);

blocks

(

hex(01234567)(1001001)simpleGrading(111)

hex(4567891011)(1001001)simpleGrading(111)

);

edges

(

);

boundary

(

inlet

{

typepatch;

faces

(

(0123)

);

}

outlet

{

typepatch;

faces

(

(891011)

);

}

wing

{

typewall;

faces

(

(4567)

);

}

frontAndBack

{

typeempty;

faces

(

);

}

);

mergePatchPairs

(

);在0/U文件中，我们设置流体的初始速度：dimensions[01-10000];

internalFielduniform(100*cos(5*pi/180)100*sin(5*pi/180)0);

boundaryField

{

inlet

{

typefixedValue;

valueuniform(100*cos(5*pi/180)100*sin(5*pi/180)0);

}

outlet

{

typezeroGradient;

}

wing

{

typenoSlip;

}

frontAndBack

{

typeempty;

}

}在0/p文件中，我们设置流体的初始压力：dimensions[1-1-20000];

internalFielduniform0;

boundaryField

{

inlet

{

typezeroGradient;

}

outlet

{

typefixedValue;

valueuniform0;

}

wing

{

typezeroGradient;

}

frontAndBack

{

typeempty;

}

}运行simpleFoam求解器后，我们可以在后处理软件中查看计算结果，分析翼型的气动特性。3.3CFD软件工具介绍3.3.1FLUENTFLUENT是ANSYS公司的一款CFD软件，广泛应用于工业界。它支持多种数值方法，包括有限体积法、有限元法等，能够处理复杂的流体流动问题，如湍流、多相流、化学反应等。3.3.2STAR-CCM+STAR-CCM+是Siemens公司的一款CFD软件，以其强大的网格自动生成和多物理场耦合能力著称。它适用于从初步设计到详细分析的各个阶段，能够模拟从微观到宏观的流体流动现象。3.3.3OpenFOAMOpenFOAM是一款开源的CFD软件，由OpenFOAM基金会维护。它提供了丰富的物理模型和数值方法，适用于学术研究和工业应用。OpenFOAM的灵活性和可扩展性使其成为CFD领域的热门选择。以上软件工具均具备强大的计算能力和直观的用户界面，能够帮助工程师和科学家高效地进行CFD模拟和分析。4FEM在CFD中的应用4.1网格生成技术网格生成是有限元法(FEM)应用于计算流体力学(CFD)中的关键步骤。它涉及将连续的流体域离散化为一系列有限的、互不重叠的子域，即单元。这些单元构成了计算网格，网格的质量直接影响到数值解的准确性和计算效率。4.1.1网格类型结构化网格：网格单元排列有序，通常为矩形或六面体，适用于形状规则的几何体。非结构化网格：网格单元排列无序，可以是三角形、四面体等，适用于复杂几何体。4.1.2网格生成算法示例使用Python的gmsh库生成一个简单的2D非结构化网格。importgmsh

#初始化gmsh

gmsh.initialize()

#创建一个新模型

gmsh.model.add("simple_mesh")

#定义几何体

lc=0.1#网格尺寸

p1=gmsh.model.geo.addPoint(0,0,0,lc)

p2=gmsh.model.geo.addPoint(1,0,0,lc)

p3=gmsh.model.geo.addPoint(1,1,0,lc)

p4=gmsh.model.geo.addPoint(0,1,0,lc)

#创建线

l1=gmsh.model.geo.addLine(p1,p2)

l2=gmsh.model.geo.addLine(p2,p3)

l3=gmsh.model.geo.addLine(p3,p4)

l4=gmsh.model.geo.addLine(p4,p1)

#创建线环

ll=gmsh.model.geo.addCurveLoop([l1,l2,l3,l4])

#创建平面

s=gmsh.model.geo.addPlaneSurface([ll])

#同步几何体

gmsh.model.geo.synchronize()

#生成网格

gmsh.model.mesh.generate(2)

#保存网格

gmsh.write("simple_mesh.msh")

#启动图形界面查看网格

gmsh.fltk.run()

#关闭gmsh

gmsh.finalize()4.1.3网格质量检查网格质量检查是确保网格适合FEM计算的重要步骤。通常，检查包括单元形状、大小、扭曲度等。4.2流体方程的有限元求解在CFD中，有限元法用于求解流体动力学的基本方程，如Navier-Stokes方程。这些方程描述了流体的运动和行为。4.2.1Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是流体动力学的核心，描述了流体的动量守恒。在无量纲形式下，二维不可压缩流体的Navier-Stokes方程可以表示为：∂∂∂其中，u和v是流体的速度分量，p是压力，Re4.2.2有限元求解示例使用Python的FEniCS库求解二维不可压缩流体的Navier-Stokes方程。fromfenicsimport*

#创建网格

mesh=UnitSquareMesh(32,32)

#定义函数空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,'P',2)

Q=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定义变量

u=Function(V)

v=TestFunction(V)

p=Function(Q)

q=TestFunction(Q)

#定义雷诺数

Re=100

#定义弱形式

F=(u*u.dx(0)+u*v.dx(1)-p*div(v)+1/Re*inner(grad(u),grad(v))*dx

-div(u)*q*dx)

#求解

solve(F==0,u,bc)

#更新压力

solve(div(u)*q*dx==0,p)

#保存结果

File("velocity.pvd")<<u

File("pressure.pvd")<<p4.3CFD中的后处理与可视化后处理和可视化是CFD分析的重要组成部分，用于解释和展示计算结果。4.3.1后处理技术后处理技术包括数据的分析、统计和可视化。例如，计算流体的平均速度、压力分布、涡量等。4.3.2可视化示例使用Python的matplotlib库可视化流体的速度和压力分布。importmatplotlib.pyplotasplt

frommpl_toolkits.mplot3dimportAxes3D

frommatplotlibimportcm

fromfenicsimport*

#加载结果

u=Function(V)

p=Function(Q)

u_file=HDF5File(MPI.comm_world,"velocity.h5","r")

p_file=HDF5File(MPI.comm_world,"pressure.h5","r")

u_file.read(u,"/velocity")

p_file.read(p,"/pressure")

#创建可视化

fig,ax=plt.subplots(subplot_kw={"projection":"3d"})

x,y=u.function_space().mesh().coordinates().T

u_x,u_y=u.split(True)

p_values=pute_vertex_values()

#绘制速度分布

surf=ax.plot_trisurf(x,y,u_x,cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.2)

fig.colorbar(surf,shrink=0.5,aspect=5)

#绘制压力分布

fig,ax=plt.subplots()

triang=tri.Triangulation(x,y)

ax.tricontourf(triang,p_values,cmap=cm.coolwarm)

plt.colorbar()

plt.show()通过上述步骤，我们可以生成一个非结构化网格，求解流体方程，并可视化结果，从而深入理解流体在特定条件下的行为。5高级FEM与CFD技术5.1自适应网格细化5.1.1原理自适应网格细化(AdaptiveMeshRefinement,AMR)是一种在有限元法(FEM)和计算流体力学(CFD)中优化计算资源的技术。它基于局部误差估计，动态调整网格的密度，以提高计算效率和精度。在流体动力学模拟中，AMR可以自动在流体边界层、激波或高梯度区域增加网格密度，而在流体平稳区域减少网格密度，从而节省计算资源。5.1.2内容自适应网格细化通常包括以下步骤：初始化网格：从一个粗网格开始，进行初步的计算。误差估计：基于计算结果，评估每个网格单元的误差。网格细化：在误差较大的区域，细化网格，增加单元数量。网格重构：确保细化后的网格保持良好的几何形状和连通性。重新计算：在细化后的网格上重新进行计算。迭代：重复上述步骤，直到满足收敛条件或达到预设的计算资源限制。5.1.3示例在Python中，使用pyamr库可以实现自适应网格细化。以下是一个简单的示例，展示如何在二维空间中应用AMR：importnumpyasnp

frompyamrimportAMR

#定义初始网格

initial_grid=np.zeros((128,128))

#创建AMR对象

amr=AMR(initial_grid,refinement_factor=2)

#模拟数据（例如，流体速度）

data=np.random.rand(128,128)

#应用自适应网格细化

amr.refine(data,threshold=0.1)

#获取细化后的网格

refined_grid=amr.get_grid()

#打印细化后的网格形状

print("Refinedgridshape:",refined_grid.shape)在这个例子中，我们首先创建了一个128x128的零矩阵作为初始网格。然后，使用pyamr库的AMR类初始化AMR对象。我们随机生成一些数据，代表流体的速度分布，然后调用refine方法进行网格细化。最后，我们获取细化后的网格并打印其形状。5.2多物理场耦合分析5.2.1原理多物理场耦合分析(MultiphysicsCoupling)是指在FEM和CFD中同时考虑多种物理现象的相互作用，如流体流动、热传导、结构变形等。这种分析方法可以更准确地模拟实际工程问题，因为许多工程系统都是多物理场耦合的。例如，在飞机机翼的设计中，需要同时考虑空气动力学、结构力学和热力学的影响。5.2.2内容多物理场耦合分析的关键在于正确处理不同物理场之间的耦合条件。这通常涉及到：物理场的分离：首先，独立地模拟每个物理场。耦合条件的定义：确定物理场之间的相互作用，如热流、力的传递等。迭代求解：在每个时间步或迭代中，更新耦合条件，重新求解所有物理场。收敛检查：检查所有物理场的解是否收敛，如果不收敛，则继续迭代。5.2.3示例使用FEniCS库，可以进行多物理场耦合分析。以下是一个简单的示例，展示如何在FEniCS中耦合流体流动和热传导：fromfenicsimport*

importmatplotlib.pyplotasplt

#创建网格和函数空间

mesh=UnitSquareMesh(32,32)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

Q=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定义流体流动和热传导的方程

u=Function(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant(1)

a=dot(grad(u),grad(v))*dx

L=f*v*dx

#求解流体流动方程

solve(a==L,u,bc)

#定义热传导方程

T=Function(Q)

s=TestFunction(Q)

k=Constant(0.1)

a_T=k*dot(grad(T),grad(s))*dx

L_T=u*s*dx

#求解热传导方程

solve(a_T==L_T,T)

#可视化结果

plt.figure()

plot(u)

plt.title('FluidVelocity')

plt.figure()

plot(T)

plt.title('TemperatureDistribution')

plt.show()在这个例子中，我们首先创建了一个单位正方形网格，并定义了流体流动和热传导的函数空间。然后，我们定义了边界条件和流体流动的方程，求解流体流动方程得到流体速度分布。接着，我们定义了热传导方程，其中热传导系数k为0.1，热源为流体速度u。最后，我们求解热传导方程得到温度分布，并使用matplotlib库可视化结果。5.3并行计算与高性能计算5.3.1原理并行计算和高性能计算(ParallelComputingandHighPerformanceComputing,HPC)是处理大规模FEM和CFD问题的关键技术。通过将计算任务分解到多个处理器或计算机上同时执行，可以显著减少计算时间。在HPC中，通常使用分布式内存架构，每个处理器拥有自己的内存空间，通过网络进行通信和数据交换。5.3.2内容并行计算和HPC在FEM和CFD中的应用包括：并行求解器：使用并行算法求解线性系统，如直接求解器和迭代求解器。并行网格划分：在多个处理器上同时进行网格划分，以减少预处理时间。并行后处理：并行处理计算结果，如可视化和数据分析。负载均衡：确保每个处理器的计算任务大致相等，以避免瓶颈。通信优化：减少处理器之间的数据交换，以提高并行效率。5.3.3示例在Python中，使用mpi4py库可以实现并行计算。以下是一个简单的示例，展示如何在FEniCS中使用MPI进行并行计算：fromfenicsimport*

frommpi4pyimportMPI

#初始化MPI通信器

comm=MPI.COMM_WORLD

#创建网格和函数空间

mesh=UnitSquareMesh(32,32)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定义方程

u=Function(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant(1)

a=dot(grad(u),grad(v))*dx

L=f*v*dx

#求解方程

solve(a==L,u,bc)

#并行计算结果的收集

ifcomm.rank==0:

#主处理器收集所有结果

u_all=[u.vector().get_local()]

foriinrange(1,comm.size):

u_all.append(comm.recv(source=i))

u_all=np.concatenate(u_all)

else:

#从处理器发送结果给主处理器

comm.send(u.vector().get_local(),dest=0)

#可视化结果（仅在主处理器上执行）

ifcomm.rank==0:

plt.figure()

plot(u)

plt.title('ParallelComputedSolution')

plt.show()在这个例子中，我们首先初始化了MPI通信器。然后，创建了网格和函数空间，并定义了边界条件和方程。求解方程后，我们使用MPI的通信功能收集所有处理器的结果。最后，仅在主处理器上执行结果的可视化。通过这种方式，我们可以有效地利用多处理器进行并行计算，减少计算时间。6案例研究与实践6.1飞机翼型的CFD分析6.1.1原理在飞机翼型的计算流体力学(CFD)分析中，有限元法(FEM)被用于求解流体动力学方程，特别是纳维-斯托克斯方程。这种方法通过将连续的流体域离散化为有限数量的单元，每个单元内假设流体特性（如速度、压力）是连续的，从而将偏微分方程转化为代数方程组。FEM在处理复杂几何形状和边界条件时具有优势，能够提供高精度的流场和翼型性能预测。6.1.2内容几何建模：使用CAD软件创建飞机翼型的三维模型。网格生成：将翼型模型离散化为有限元网格，网格质量直接影响计算结果的准确性。物理建模：定义流体属性（如密度、粘度）和边界条件（如来流速度、压力）。求解方程：应用有限元法求解纳维-斯托克斯方程，计算流体在翼型周围的流动。后处理与分析：可视化流场，分析升力、阻力等关键性能指标。6.1.3示例假设我们使用Python的FEniCS库来模拟一个简单的二维翼型周围的流体流动。以下是一个简化示例，展示如何设置和求解问题：fromfenicsimport*

importmatplotlib.pyplotasplt

#创建网格

mesh=Mesh("airfoil.xml")#假设我们已经有了一个翼型的网格文件

#定义函数空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,"Lagrange",2)

Q=FunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

#定义边界条件

inflow=Constant((1.0,0.0))

outflow=Dir