自动控制原理 课件 项目4 控制系统的根轨迹法

项目四控制系统的根轨迹法任务一根轨迹的基本概念与绘制任务二广义根轨迹任务三开环零点、极点对系统性能的影响任务四应用根轨迹法分析系统实例任务五应用MATLAB绘制根轨迹任务一根轨迹的基本概念与绘制任务一根轨迹的基本概念与绘制根轨迹是当开环系统某一参数(如根轨迹增益K∗)从零变化到无穷大时,闭环特征方程的根在s平面上移动的轨迹。根轨迹增益K是Ⅰ型开环传递函数对应的系数。可以应用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。一、根轨迹的基本概念假设某控制系统的动态结构图如图所示。其开环传递函数为系统闭环传递函数为任务一根轨迹的基本概念与绘制闭环特征方程为s2

+2s+K

∗=0,特征根为当系统参数K∗从零变化到无穷大时,闭环极点的值也是不断变化的。当K∗=0时,系统的两个闭环极点分别为s1=0与s2=-2。当0<K∗<1时,极点s1,2均为负实数,并且分布在负实轴上。当K∗=1时,s1,2=-1。当K∗>1时,两个极点s1,2=-1±j1-K∗变成一对共轭复极点。随着K∗的增大,两个极点的实部保持不变,其沿平行于虚轴的直线从正、负两个方向趋于无穷远。任务一根轨迹的基本概念与绘制当K∗从0变化到∞时系统的特征根如表所示系统根轨迹图如右图所示依据根轨迹图能分析当参数(如K∗)变化时,对应根的变化过程和趋势,进而分析系统的稳定性、动态性能,以及参数变化对系统性能的影响。依据根轨迹图能分析当参数(如K∗)变化时,对应根的变化过程和趋势,进而分析系统的稳定性、动态性能,以及参数变化对系统性能的影响。(一)稳定性开环增益从零变化到无穷大时,根轨迹全部落在左半s平面,因此当K∗>0(或K=0.5K∗>0)时,系统是稳定的;随着K∗的变化,使得系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面,则在相应K∗(或K)值下系统是不稳定的;系统在根轨迹与虚轴交点处为临界稳定,对应的K∗(或K)值就是临界根轨迹增益。任务一根轨迹的基本概念与绘制(二)动态性能当0<K∗<1(或0<K<0.5)时,闭环特征根为负实根,系统呈现过阻尼状态,阶跃响应为单调上升过程。当K∗=1(或K=0.5)时,闭环特征根为二重实根,系统呈现临界阻尼状态,阶跃响应仍为单调上升过程,但响应速度较0<K∗<1时快。当K∗>1(或K>0.5)时,闭环特征根为一对共轭复根,系统呈现欠阻尼状态,阶跃响应为振荡衰减过程,且随着K∗的增加,阻尼比减小,超调量增大。上述分析表明,根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,利用根轨迹可以分析当系统参数(K∗或K)变化时系统动态性能的变化趋势。任务一根轨迹的基本概念与绘制任务一根轨迹的基本概念与绘制控制系统的一般动态结构图如图所示,相应的开环传递函数为G(s)H(s)。二、根轨迹方程假设系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的闭环特征方程为任务一根轨迹的基本概念与绘制则在s平面上的根轨迹方程为根轨迹方程可以用幅值条件和相角条件来表示。幅值条件为幅值条件为三、根轨迹的绘制法则1根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点;如果开环零点个数m少于开环极点个数n,则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。任务一根轨迹的基本概念与绘制法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致,即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统的特征方程都是实系数方程,依代数定理,其特征根必为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。当K∗从零连续变化到无穷大时,特征方程的系数是连续变化的,因而特征根的变化也必然是连续的,即根轨迹具有连续性。法则3实轴上的根轨迹s平面上实轴的某一区域,若其右侧开环实数零、极点个数之和为奇数,则该区域必是根轨迹或根轨迹的一部分。任务一根轨迹的基本概念与绘制法则4根轨迹的渐近线当n>m时,有n-m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为φa、交点为σa的一组渐近线趋向于无穷远处,且有法则5根轨迹的分离点(或会合点)两条或两条以上根轨迹分支相遇又分离的点,称为根轨迹的分离点或会合点,根轨迹与实轴的交点如右图。任务一根轨迹的基本概念与绘制法则6根轨迹与虚轴的交点若根轨迹与虚轴相交,则意味着闭环特征方程出现纯虚根。实部和虚部方程为法则7

根轨迹的出射角和入射角出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角,以θpi表示;入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角,以φzi表示,根轨迹的出射角和入射角如图所示。任务一根轨迹的基本概念与绘制开环极点与零点的分布如图所示。任务一根轨迹的基本概念与绘制法则8根之和若开环传递函数G(s)H(s)的分子、分母阶次差(n-m)≥2时,系统闭环极点之和等于系统开环极点之和,即λi为系统的闭环极点(特征根);pj为系统的开环极点。四、根轨迹绘制实例任务一根轨迹的基本概念与绘制【例】某单位反馈系统的开环传递函数为试概略绘制系统根轨迹,并求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点。解：系统有三个开环极点,为p1=0,p2=-1,p3=-2,分别标在s平面上。根据法则1和法则2可知,系统有三条根轨迹分支,分别起始于开环极点,并沿渐近线终止于无穷远。根据法则3,实轴上的根轨迹区段为(-∞,-2]和[-1,0]。根据法则4,根轨迹的渐近线与实轴的交点和夹角分别为任务一根轨迹的基本概念与绘制解方程得到d1=-1.577,d2=-0.423。显然分离点位于实轴上[-1,0]间,故取d2=-0.423。根据法则5

，可得根据法则6，求根轨迹与虚轴交点，得根轨迹与虚轴的交点为对应于K∗=6的两个闭环极点,第三个闭环极点可由根之和法则求得。此系统根轨迹图如图所示。任务二广义根轨迹任务二广义根轨迹在s平面右半部具有开环极点或开环零点的反馈系统,称为非最小相位系统;反之,若全部开环极点和开环零点在s平面左半部,则称为最小相位系统。绘制非最小相位系统根轨迹的基本规则与绘制最小相位系统根轨迹的基本规则完全相同,可完全按根轨迹绘制基本规则进行分析计算。一、非最小相位根轨迹【例】某单位负反馈系统的开环传递函数为试概略绘制系统根轨迹。解：该系统有四个开环极点,分别为p1=0,p2=1,p3,4=-2±j3.46,给定系统的有限开环零点为z=-1。根据法则1和法则2,可知系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹分支,分别起始于开环极点,并沿渐近线终止于开环零点z=-1与无穷远。根据法则3,实轴上的根轨迹区段为(-∞,-1]和[0,1]。根据法则4,根轨迹的渐近线与实轴的交点和夹角分别为任务二广义根轨迹根据法则5,起始于开环极点p1=0,p2=1的两条根轨迹分支脱离实轴时的分离点坐标,以及起始于开环极点p3,4=-2±j3.46的两条根轨迹分支由复平面进入实轴时的会合点坐标解得分离点:

d1=0.46会合点:

d2

≈-2.22任务二广义根轨迹根据法则6,起始于开环极点p1=0,p2=1的两条根轨迹与虚轴相交,解得根据法则7,起始于开环极点p3,4=-2±j3.46的两条根轨迹分支在p3,p4处的出射角为绘制的系统根轨迹图如右图所示从绘制的根轨迹图中可知,欲使给定的非最小相位负反馈系统稳定,必须使闭环根都在s平面的左半部分,开环增益K∗的取值范围为23.3<K∗<35.7。此类系统一般称为条件稳定系统,即K∗既不能大也不能小。任务二广义根轨迹任务二广义根轨迹在绘制反馈系统的根轨迹时,其参量并非都是系统的根轨迹增益K∗(或开环增益K),有时为研究除根轨迹增益K∗外其他参量对系统性能的影响,还常以时间常数、反馈系数等为参量绘制根轨迹图的参变量。除根轨迹增益K∗(或开环增益K)以外的其他参量从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。二、参数根轨迹绘制参变量的根轨迹的法则内容和使用方法,同绘制以根轨迹增益K∗为参量的普通根轨迹一样。但必须明确,等效开环传递函数G′(s)H′(s)对应的闭环零点与原系统的闭环零点并不一定一致。在确定系统闭环零点、估算系统动态性能时,必须回到原系统对开环传递函数进行分析。任务二广义根轨迹有时需要研究两个参量同时变化对系统性能的影响。例如,在设计一个校正装置传递函数的零、极点时,就需要研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此,需要绘制几个参量同时变化时的根轨迹,所作出的根轨迹是一组曲线,称为根轨迹簇。三、根轨迹簇的绘制任务二广义根轨迹四、零度根轨迹在负反馈条件下系统特征方程为根轨迹方程为相角条件为则称相应的常规根轨迹为180°根轨迹。在正反馈条件下,系统特征方程为根轨迹方程为相角条件为绘制的根轨迹称为0°根轨迹。任务三开环零点、极点对系统性能的影响任务三开环零点、极点对系统性能的影响根轨迹是由开环零、极点决定的,因此在系统中增加开环零、极点或改变零、极点在s平面上的位置,都可以改变根轨迹的形状。如果系统的性能不能满足要求,则通过调整开环系统零、极点的分布,可以改变根轨迹的形状,进而改善系统的品质。一、增加开环零点对根轨迹的影响设开环传递函数为其闭环根轨迹如图右所示,系统是不稳定的。任务三开环零点、极点对系统性能的影响若一个开环零点,则开环传递函数为渐近线与实轴的交点和夹角为改变零点z的值,可以改变渐近线的位置σa值,从而改变根轨迹的走向和趋势。(1)z<p,零点z位于极点p的左侧,此时σa>0。起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于s平面的右半部,系统仍然是不稳定的,其根轨迹如右图。z<p

闭环根轨迹任务三开环零点、极点对系统性能的影响(2)z=p,(s-z)与(s-p)相消,σa=0。起始于坐标原点的两条根轨迹位于虚轴上,系统临界稳定,其根轨迹如图所示。(3)z>p,σa<0,起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于s平面的左半部,系统稳定,其根轨迹如右侧图。z=p

闭环根轨迹z>p

闭环根轨迹任务三开环零点、极点对系统性能的影响(4)z=0,零点与位于坐标原点的一个极点相消,系统成为无开环零点,只有两个开环极点的系统,其根轨迹如图所示,系统是稳定的。综述，附加的开环零点对根轨迹的影响为：改变了实轴上根轨迹的分布;改变了根轨迹渐近线与实轴的交点坐标值;使根轨迹向左移动(偏移),附加零点越靠近虚轴,这种作用越大。z=0闭环根轨迹二、增加开环极点对根轨迹的影响如右图所示,设开环传递函数为其根轨迹如图(a)所示,系统始终是稳定的。增加一个开环极点,其开环传递函数为当p分别取-4和0时的根轨迹如图(b)和图(c)所示。增加开环极点后,能改变实轴上根轨迹的分布;增加根轨迹渐近线条数,能改变渐近线与实轴的交点坐标,使交点坐标向右移动;使根轨迹向右偏移,降低系统的稳定度,开环极点离虚轴越近,这种作用越大。任务三开环零点、极点对系统性能的影响任务四应用根轨迹法分析系统实例任务四应用根轨迹法分析系统实例【例】已知单位负反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹分析系统的稳定性,若主导极点阻尼比ξ=0.5,求系统的性能指标。解:将开环传递函数写成零、极点的形式为绘制系统根轨迹图,如右图所示。根据阻尼比的要求,确定闭环主导极点s1和s2的位置。在s平面上作出ξ=0.5时的阻尼线,使其与实轴负方向的夹角β=arccosξ=60°,阻尼线与根轨迹的交点为s1。从根轨迹图上可得s1,2=-0.33±j0.58。利用根轨迹图和幅值条件方程可求出s1点对应的开环根轨迹增益K∗。任务四应用根轨迹法分析系统实例为了验证s1,2是闭环的主导极点,必须求出K∗=1.02时的第三个闭环极点s3。任务四应用根轨迹法分析系统实例由于n-m=3>2,根据法则8,有s3距离原点较远,故s1,2为闭环主导极点,系统可以近似为二阶系统,闭环传递函数为其中ωn=0.66,ξ=0.5,系统性能指标为任务五应用MATLAB绘制根轨迹应用MATLAB绘制控制系统的根轨迹指令如下。(1)

num：分子数组,由开环传递函数分子的各项系数构成。(2)

den：分母数组,由开环传递函数分母的各项系数构成。(3)

tf2zp：将传递函数模型转换成零、极点模型。(4)

zp2tf：将零、极点模型转换成传递函数模型。(5)

conv()：多项式乘积。任务五应用MATLAB绘制根轨迹(6)

rlocus:产生或绘制根轨迹图,其格式为rlocus(num,den)

[r,K]=rlocus(num,den)或

[r,K]=rlocus(num,den,K)不直接显示根轨迹图,而是显示矩阵r和增益向量K值。其根轨迹图可以用plot()来绘制。(7)

rlocfind(num,den)：求某一特征根所对应的具体值。应用MATLAB绘制控制系统的根轨迹时,其增益向量K是自动生成的,因而应用MATLAB绘制系统的根轨迹,完全决定于数组num和den。任务五应用MATLAB绘制根轨迹任务五应用MATLAB绘制根轨迹【例】单位反馈系统的开环传递函数为应用MATLAB绘制控制系统的根轨迹,并分析系统稳定性。解：键入如下程序代码num=[13];den1=[165];den=conv(den1,den1);figure(1);rlocus(num,den);

%绘制根轨迹[k,p]=rlocfind(num,den);figure(2);k=158;num1=k∗[1,3];den=[1,6,5];den1=conv(den,den);[num,den]=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den);

%脉冲响应title(‘Impu